3.2. Логические операции над высказываниями

Сложные высказывания образуются из простых при помощи союзов «и», «или», оборотов «если,… то», «тогда и только тогда» и т. д. В математической логике эти союзы называются логическими связками.

Истинность сложного высказывания зависит от того, истинны или ложны входящие в него простые высказывания.

Над высказываниями можно выполнять следующие логические операции: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция.

Отрицанием (инверсией) высказывания A называется новое высказывание , которое истинно тогда, когда исходное высказывание ложно, и ложно тогда, когда исходное высказывание истинно. Отрицанию соответствует частица «не», или выражение «не верно, что…».

Например. Высказывание A – «В 1 байте 10 бит» – ложное высказывание, отрицанием этого высказывания является высказывание – «Не верно, что в 1 байте 10 бит», которое является истинным высказыванием; – «1 Кбайт содержит 1024 байта» – истинное высказывание,– «1 Кбайтне содержит 1024 байта» – ложное высказывание.

Конъюнкцией (логическим умножением) двух высказываний A и B называется новое высказывание , которое истинно, когда оба высказыванияA и B истинны, и ложно во всех остальных случаях. Соответствует союз «и».

Например. Высказывание A – «В 1 байте 10 бит» – ложное, B – «1 Кбайт содержит 1024 байта» – истинное высказывание, конъюнкции высказываний A и соответствует предложение «В 1 байте 10 бит и 1 Кбайт содержит 1024 байта», которое является ложным высказыванием.

Дизъюнкцией (логическим сложением) двух высказываний A и B называется новое высказывание , которое ложно, когда оба высказыванияA и B ложны, и истинно во всех остальных случаях. Соответствует союз «или».

Например. Высказывание A – «1 Кбайт содержит 1000 байт» – ложное, B – «1 Кбайт содержит 1024 байта» – истинное высказывание, дизъюнкции высказываний A и B соответствует предложение «1 Кбайт содержит 1000 или 1024 байта», которое является истинным высказыванием.

Импликацией двух высказываний A и B называется новое высказывание , которое ложно, когдаA – истинно, а B – ложно, и истинно во всех остальных случаях. Соответствуют выражения «если A, то B», «A влечет за собой B», «A достаточно для B».

Например. Высказывание A – «Все стороны треугольника равны» – истина, B – «Сумма углов треугольника равна » – истинное высказывание, импликации высказыванийA и B соответствует предложение «Если все стороны треугольника равны, то сумма углов треугольника равна », которое является истинным высказыванием. При этом, если в предложении высказыванияA и B поменять местами, то получим импликацию высказываний B и A («Если сумма углов треугольника равна ,то все его стороны равны»), которая также будет являться истинным высказыванием.

Эквиваленцией двух высказываний A и B называется новое высказывание , которое истинно, когда оба высказыванияA и B принимают одинаковые логические значения, и ложно во всех остальных случаях. Соответствуют выражения «A тогда и только тогда, когда B», «A необходимо и достаточно для B».

Например. Высказывание A – «Число делится на два» – истина, B – «Последняя цифра числа делится на 2» – истинное высказывание, эквиваленции высказываний A и B соответствует предложение «Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2», которое является истинным высказыванием.

Сложение по модулю два (исключающее или) двух высказываний A и B – это высказывание которое ложно, когда оба высказывания A и B принимают одинаковые логические значения, и истинно во всех остальных случаях.

Результаты всех логических операций можно представить в виде следующей таблицы:

1	1	0	1	1	1	1	0
1	0	0	0	1	0	0	1
0	1	1	0	1	1	0	1
0	0	1	0	0	1	1	0