Билет 37

Достаточные условия экстремума

Теорема:

Пусть функция у=f(x) имеет вторую производную в некоторой окрестности точки c и . Тогда, если в пределах указанной окрестности вторая производнаяимеет разные знаки слева и справа от c, то график этой функции имеет перегиб в точке M(с,f(c)).

Доказательство:

Заметим, во-первых, что график функции y=f(x) имеет касательную в точке M(c,f(c)), ибо из условий теоремы вытекает существование конечной производной f’(c).

Далее, из того, что слева и справа от c имеет разные знаки, и из теоремы 7.4 заключаем, что направление выпуклости слева и справа от c является различным. Теорема доказана.

Теорема 7.4:

Пусть функция f(x) дифференцируема всюду в некоторой окрестности точки c, за исключением, быть может, самой точки c, и непрерывна в точке c.

Тогда, если в пределах указанной окрестности производная f’(x) положительна (отрицательна) слева от точки c и отрицательна (положительна) справа от точки c, то функция f(x) имеет в точке c локальный максимум (минимум). Если же производная f’(x) имеет один и тот же знак слева и справа от точки c, то экстремума в точке c нет.

Википедия говорит:

Первое достаточное условие существования точки перегиба: если функция f(x) в некоторой окрестности точки x k раз непрерывно дифференцируема, причем k нечётно и , ипри, а, то функция f(x) имеет в x0 точку перегиба.

Билет 38

Точки возрастания функции и второе достаточное условие экстремума

На случай, когда не желательно исследование знака второй производной в окрестности точки c, мы сформулируем второе достаточное условие перегиба, предполагающее существование у функции y=f(x) в точке c конечной третьей производной.

Теорема:

Если функция y=f(x) имеет в точке c конечную третью производную и удовлетворяет в этой точке условиям ,, то график этой функции имеет перегиб в точке M(c,f(c)).

Доказательство:

Из условия , и из теоремы 6.1 вытекает, что функция ,либо возрастает, либо убывает в точке c. Так как, то и в том, и в другом случае найдётся такая окрестность точки c, в пределах которой ,имеет разные знаки слева и справа от c. Но тогда по предыдущей теореме график функции y=f(x) имеет перегиб в точке M(c,f(c)).

Предыдущая теорема:Пусть функция у=f(x) имеет вторую производную в некоторой окрестности точки c и. Тогда, если в пределах указанной окрестности вторая производнаяимеет разные знаки слева и справа от c, то график этой функции имеет перегиб в точке M(с,f(c)).

P.S. Билет 37

Теорема 6.1: Достаточное условие возрастания или убывания функции в точке:

Если функция y=f(x) дифференцируема в точке c, и её производная в этой точке f’(c) положительна[отрицательна], то функция y=f(x) возрастает [убывает] в точке c.

Википедия говорит:

Второе достаточное условие существования точки перегиба: Если в некоторой точке вторая производная функции равна нулю, а третья не равна нулю, то эта точка является точкой перегиба.

Таблица производных:

Функция	Производная
x^n	n*x^n-1
logax	1/(x*ln a)
sin x	cos x
cos x	–sin x