Билет 35

Первое правило Лопиталя

Пусть функции f и g

1. Дифференцируемы в выколотой окрестности (x₀) точки x₀

2. 

3. g’(x)≠0 для всех x𝟄 (x₀)

4. существует предел, конечный или бесконечный,

Тогда существует и предел

и имеет место равенство

Доказательство.

Проведем для случая x→x₀+0_. Функцииfиgнепрерывны на некотором интервале (x₀,b) как дифференцируемые на нем функции. Доопределим функцииfиgв точкеx₀:f(x₀)=g(x₀)=0 Таким образом, они становятся непрерывными на отрезке [x₀,b]. Возьмем любое x𝟄(x0,b), тогда на отрезке [x0,x] функции f и g удовлетворяют условиямтеоремы Коши о среднем значении, поэтому существует точка ξ=ξ(x)𝟄(x0,x) такая, что

Заметим, что g(x)≠0, иначе по теореме Ролля g’(ξ)=0 в некотороый точке ξ𝟄(x0,b). Ясно, что и здесь ξ(x)→x₀приx→x₀. Поэтому, по правилу вычисления предела сложной функции, имеем

Билет 36

Формула Тейлора для многочлена

Пусть дан некоторый многочлен n-й степени (с действительными коэффициентами)

Зададим произвольное x₀ и проведем преобразования, заменив x на (x-x₀)+x₀.Получим

Собрав подобные члены при одинаковых степенях, находим

Это есть разложение многочлена P_n(x) по степеням разности x-x₀. Дифференцируя его по х, получим

Итак, вычислены коэффициенты

Следовательно, многочлен P_n можно представить в виде

Это есть формула Тейлора для многочлена P_n в окрестности точки x₀×Q_n — многочлен Тейлора степениnот функцииP_n. Если степень многочлена Тейлора дляP_n(x) естьk<n, то

Формула Тейлора для произвольной функции

Если у функции f существует f^(n-1)(x₀), но функция f не есть многочлен, то для нее можно записать многочлен Тейлора

И остаточный член , который, вообще говоря, не нуль.

Равенство

В некоторой окрестности точки x₀ называется формулой Тейлора функции f в окрестности точки x₀;Q_n-1(x) – многочле Тейлора степени n-1 функции f, R_n(x) – n-й остаточный член формулы Тейлора

Теорема Тейлора

Пусть функция fимеетn-ю производную в выколотой окрестности точкиx₀и в самой точкеx₀имеет непрерывную (n-1)-ю производную. Тогда справедливаформула Тейлора

,

Где ее n-й остаточный членR_n(x) может быть записан вформе Лагранжа:

,

И в форме Коши:

Доказательство проведем для x>x₀. Фиксируем x𝟄(x₀,b)(см. рис 1)

Запишем формулу Тейлора функции f:

,

в которой R_n(x)-остаточный член. Пустьp- произвольное натуральное число. Представим остаточный член в виде

Где Н неизвестно. Ясно, что Н зависит от f, х₀х,n,p.

Введем новую переменную u 𝟄 [x,x0] и рассмотрим функцию

Функция Ф(u) обладает следующими свойствами:

1. Ф(u) определена и непрерывна на отрезке [x₀,x], поскольку таковы функцииf(u),f’(u),…,f^(n-1)(u) на отрезке [x₀,x];

2. Ф(u) имеет производную на интервале (x,x₀), так как на нем имеет производнуюn-го порядка функцияf;

3. 

Так как имеет место формула Тейлора для функции f(x).Кроме того Ф(х)=f(x).

Следовательно, функция Ф(u) удовлетворяет на отрезке[x₀,x] условиям теоремы Ролля. Поэтому существует такая промежуточная точка , между точками x₀ и x, что в ней Ф’(ξ)=0. Выпишем производную Ф’(u) после всех сокращений и упрощений

Так как Ф’(ξ)=0, то получим уравнение

Отсюда найдем

Следовательно, с учетом того, что

Остаточный член запишется в виде

Получим остаточный член в общей форме

При p=nполучаем остаточный член в форме Лагранжа, а приp=1 остаточный член в форме Коши

Замечание.Формулу Тейлора можно записать в виде:

2.Формулу Тейлора функцииfв окрестности точкиx₀=0

Иногда называют формулой Тейлора-Маклорена функции f.

Остаточные члены

Пусть функция fимеет в некоторой окрестности точкиx₀производнуюn-го порядка, непрерывную в точкеx₀(следовательно, производная (n-1)-го порядка непрерывна в окрестности точкиx₀).Тогда справедлива формула Тейлора функцииfв окрестности точкиx₀cостаточным членом в форме Лагранжа:

Таким образом,

- остаточный член в форме пеано.

Формулы Тейлора основных элементарных функций

1. ,,,. Получим формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа :

И форме Пеано:

Замечание. С помощью формулы Тейлора можно вычислять довольно точно значения функций и оценивать величину ошибки, если остаточный член берется в форме Лагранжа. Используя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, такую оценку сделать невозможно (из нее следует лишь, что R_n(x)→0 при x→x₀ и при фиксированном n)

2. и т.д.,

Следовательно, получим формулу Тейлора - Маклорена:

Для любых фиксированных x. Но особенно быстро остаточный член стремится к 0 при |x|<1

В частном случае