Билет 12

Теорема Больцано-Вейерштрасса об ограниченных последовательностях.

Пусть задана произвольная последовательность действительных чисел Последовательность ,гденазывается подпоследовательностью последовательности . Таких подпоследовательностей из заданной последовательности можно выделить бесконечно много.

Пример. Последовательность есть подпоследовательность последовательности

Очевидно, имеет место Теорема:

Если последовательность сходится к некоторому пределу, то и любая ее подпоследовательность сходится к этому же пределу.

Пример.Последовательность расходится, так как две ее подпоследовательности и сходятся к разным числам.

Выделение подпоследовательностей у последовательности , сходящихся к разным числам, есть один из методов доказательства ее расходимости. Ответ на вопрос: "Во всякой ли последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность'', дает следующая фундаментальная теорема.

Теорема(Больцано - Вейерштрасса).

Из всякой ограниченной последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторому действительному числу.

Доказательство:(метод Больцано). Так как последовательность ограничена, то существует число такое, что . Разделим отрезок на два равных отрезка и обозначим через какой-нибудь из них, содержащий бесконечно много элементов из , пусть . Далее разделим отрезок на два равных отрезка и обозначим через какой-нибудь из них, содержащий бесконечно много элементов из . Тогда найдется элемент и . Процесс деления отрезка пополам, выбора одной из половин отрезка и элемента в ней продолжим по индукции. Итак, построена система вложенных отрезков и последовательность такая, что для любого выполняется и . Тогда по теореме Кантора о вложенных отрезках существует единственная точка , принадлежащая всем отрезкам, и . Переходя к пределу по в неравенствах , получим .

Билет 13

Критерий Коши сходимости последовательности.

Из определения сходимости последовательности {x_n} к точкеaвытекает, что для любого интервалом длиной можно накрыть всю эту последовательность, исключая, может быть, конечное число ее элементов, если середину интервала поместить в точку . Справедливо и обратное: если последовательность {x_n} такова, что для любого можно накрыть всю эту последовательность, исключая, может быть, конечное число ее элементов, поместив центр интервала в некоторую точку, то она сходится. Сформулируем это утверждение более точно. Последовательность назовемпоследовательностью Кошиилифундаментальной, если (здесь центр интервала длиной помещен в точку , см. рис.).

Теорема (критерий Коши).

Для того чтобы последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Доказательство.

Необходимость(метод ). Пусть при . Тогда для любого существует номер такой,что для любых выполняются неравенства . Рассмотрим цепочку соотношений

что означает, что фундаментальна.

Достаточность.Докажем сначала ограниченность последовательности . Возьмем , тогда, в силу фундаментальности , найдется номер такой, что для всех выполняется . Следовательно, , поэтому . Итак, для всех при фиксированном выполняется , что означает ограниченность последовательности (следует из замечания: последовательность будет ограниченной, если ее можно накрыть отрезком , начиная с некоторого номера ). Потеореме Больцано-Вейерштрассаоб ограниченных последовательностях из последовательности можно выделить подпоследовательность , сходящуюся к некоторому числу . Докажем, что и вся последовательность сходится к числу . Возьмем любое , тогда найдется номер (изфундаментальности ) такой, что для всех выполняется . Ввиду сходимости при , по взятому найдется номер такой, что и . Тогда для нашего

что означает сходимость последовательности к числу .