- •Билет 3
- •Билет 4
- •Билет 9
- •Билет 10
- •Билет 11
- •Билет 12
- •Билет 13
- •14 Билет
- •Билет 15
- •Билет 17 Билет 19
- •Билет 20
- •Билет 21 Теоремы Вейерштрасса для непрерывных функций на отрезке
- •Билет 22
- •Билет 25
- •Билет 26
- •Билет 29
- •Билет 30
- •1. Производная в точке.
- •2. Дифференцируемость в точке.
- •Билет 31
- •Билет 35
- •Билет 36
- •Билет 37
- •Билет 38
- •Формулы асимптотики
Билет 25
Теорема о существовании обратной функции
Функция называется строго монотонной если она строго убывающая или строго возрастающая.
Функция f(x) называется строго возрастающей на множестве Х, если для всех х1 и х2 (х1<x2): f(x1) < f(x2)
Если функция f: и строго монотонная на множестве X, то обратное соответствие однозначное, т.е. будет обратной функцией, и тоже строго монотонное.
Доказательство. Положим, для определенности, что функция f(x) строго монотонно возрастает на X. Возьмем любое. Так как по условию теоремы прямая функция отображает X на Y, то полный прообраз элемента y не пуст, т.е.. Если предположить, что состоит более чем из одного элемента, то получим противоречие. Действительно, пусть x1, x2. Тогда, если x1<x2, то по условию строгого монотонного возрастания функции f(x) справедливо неравенство f(x1)<f(x2) но это противоречит тому, что f(x1) = y = f(x2). Если x1>x2, получим аналогичное противоречие. Следовательно, f—1(y) состоит только из одного элемента, и поэтому соответствие есть обратная функция.
Функция f—1 — строго монотонно возрастающая на Y. Действительно, пусть y1<y2 и x1 = f—1(y1), x2= f—1(y2), тогда если x1=x2, то y1 = f(x1) = f(x2) = y2, а у нас; y1<y2 если x1>x2 то y1=f(x1)>f(x2)=y2, а у нас y1<y2. Следовательно, x1 = f—1(y1)<f—1(y2)=x2, то есть функция f—1(y) строго монотонно возрастает на Y.
Билет 26
Предположим, что функция f определена в некоторой окрестности точкиx0. Функцияназываетсянепрерывной в точкеx0, если существует предел функцииf приx→x0, и он равен ее значению в точкеx0 , т. е.
Функция называетсянепрерывнойв точкепо Коши, если она определена в (a,b) и для любого ε>0 существуетδ>0 такое, что для всехи|x-x0|< δвыполняется неравенство|f(x)–f(x0)| < ε
Функция f называется непрерывной в точкепо Гейне, если она определена в (a,b) и для любой последовательноститакой, чтоxn→x0, выполняетсяf(xn) →f(x0).
Теорема о существовании и непрерывности обратной функции: Пусть функция y = f(x) определена, непрерывна и строго возрастает на отрезке[a, b], f(a) = A; f(b) = B. Тогда f([a, b]) = [A, B] , и обратная функция f–1 определена, непрерывна и строго возрастает на отрезке[A, B] .
Доказательство.
[Если функцияfнепрерывна на отрезке [a,b],f (a) =A,f(b) =B, причемA<B, и С – произвольное число такое, чтоA<C<B, то найдется по крайней мере одна точкасϵ (a,b), в которойf(c) =C(т.е. непрерывная на отрезке функция принимает все промежуточные значения между ее значениями на концах отрезка).]
Докажем сначала, чтоf([a,b]) = [A,B]. Пусть. ЕслиC=AилиC=B, то. Если, то поодномуиз свойств функций, непрерывных на отрезке найдется такая, чтоC=f(c), т. е.Cϵf([a,b]).
Пусть Cϵf([a,b]), тогда найдетсятакая, чтоC=f(c).
Следовательно, в силу строгого возрастания функции f на отрезке [a,b] имеем:A=f(a)≤f(c)=C≤f(b)=B. Таким образом,.
Итак, f–1 : [A, B] → [a, b]возрастает, следовательно, по теореме о однозначности и монотонности обратного соответствия
[Если функцияf: и строго монотонная на множествеX, то обратное соответствие :Y→Xоднозначное, т.е. будет обратной функцией , и тоже строго монотонное.]
существует обратная функция f–1 : [A, B] → [a, b], и она строго возрастает на [A,B].
Докажем теперь непрерывность функции f–1на отрезке [A,B]. Рассмотрим любоеи любую последовательность, сходящуюся кy0. Обозначим.
Надо доказать, что xn→x0. Предположим противное. Тогда из условияследует, что существует ее подпоследовательностьиx’ ≠x0. Из непрерывности функцииf (x) в точкеследует сходимостьf(xk) = f(f–1(ynk)) = ynkкf(x’) ≠ y0 = f(x0). Ноynk→y0, а это дает противоречие.