2.3.4.2. Переходная характеристика

Переходная характеристика – это реакция системы на функцию включения, моделью которой служит единичный скачок.Эта функция равна нулю для отрицательных моментов времени, единице для положительных моментови не определена при.

(2.20)

Временные характеристики связаны между собой. Поскольку

(2.21)

то по одной из этих характеристик всегда можно определить другую

(2.22)

Для наглядности используют графики этих характеристик, где они изображаютсяобязательнов масштабе,при этом, переходная характеристика изображается на фоне единичного скачка (рис. 2.3).

2.3.5. Методы определения временных характеристик

2.3.5.1. Классический метод

Метод основан на непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений.

Для определения импульсной переходной характеристики интегрируют уравнение (2.11) после подстановки в него входного воздействияи его производных. Линейные системы всегда имеют нулевые начальные условия, т.е. привходное воздействиеотсутствует и выходная величинаи ееn-1 производных равны нулю. Дельта-функцияна входе и ее производная приводят прик скачкообразному изменению начальных условий, а далее их действия прекращаются и правая часть уравнения (2.11) в этих условиях становится равной нулю. Поэтому рассматривают начальные условия для моментов времени, сколь угодно приближающихся к нулю слева, и– справа от нуля.

(2.23,2.24)

При не все составляющие вектора начальных условийдолжны быть равны нулю.

Величина скачка вектора зависит только от параметров системы. В первую очередь – от соотношений между величинами порядковn и m, во вторую – от коэффициентовиуравнения (2.11). Формулы для вычисления составляющих вектораможно найти в литературе (например, в )

Таким образом, импульсная переходная характеристика определяется интегрированием линейного однородного дифференциального уравненияn-го порядка.

(2.25)

с начальными условиями (2.24).

Общее решение уравнения (2.25) имеет вид

(2.26)

где - постоянные интегрирования, определяемые начальными условиями (2.24),s_i – корни характеристического уравнения системы (2.15).

Характер изменения функции зависит исключительно от характера корнейs_i. Подробный анализ решения уравнения (2.25) будет проведен при изучении устойчивости САУ.

Дифференциальное уравнение для переходной характеристики получается подстановкой функциии ее производных в уравнение (2.11) и интегрированием его при. И в этом случае припроисходит скачок начальных условий, т.е.

(2.27,2.28)

Формулы для вычисления можно найти в литературе, например, в .

Итак, для положительных моментов времени для переходной характеристики справедливо линейное неоднородное (с правой частью) дифференциальное уравнение n-го порядка

(2.29)

Общее решение

(2.30)

где – постоянные интегрирования, определяемые начальными условиями (2.27),– корни характеристического уравнения (2.26),– частное решение уравнения (2.28), определяемое видом его правой части.

2.3.5.2. Методы, основанные на использовании преобразования Лапласа

В общем случае согласно определению передаточной функции (см.(2.13)) справедливо соотношение

что позволяет определить формулы для вычисления изображений временных характеристик.

а) (2.31)

б) (2.32)

Если задана передаточная функция , то, используя обратное преобразование Лапласа, определяются функциии. Самым универсальным является метод, основный наприменении теоремы о вычетах.

Пусть известны корни характеристического уравнения (2.15) . Тогда аналогично формуле (2.16) справедливо соотношение

(2.33)

Применяя обратное преобразование Лапласа, получим выражение, совпадающее с (2.26)

. (2.34)

При разложении изображения появляется дополнительный нулевой кореньего характеристического уравнения. Таким образом,