3. Комплексные функции действительной переменной

Если каждому значению действительной переменной поставлено в соответствие определенное комплексное число , то называется комплексной функцией действительной переменной :

.

Задание комплексной функции равносильно заданию двух действительных функций , или заданию вектор - функции .

Производной комплексной функции называется комплексная функция

4.Формулы действий с комплексными числами

: , ;

:

, .

, .

, _:

;

;

=.

.

, , ,

.

,

,

; , .

– формула Муавра.

, , k = 0, 1, 2, …, n – 1:

,

,

,…….

.

ПП 17. 1. Комплексные числа
№ п/п	Задание						Ответ
ПП №17.1	Вычислите . Результат представьте в алгебраической форме. Решение: .						.
ПП №17.2	Вычислите Решение: .
ПП №17.3	Вычислите Решение:
ПП №17.4	Вычислите . Результат представьте в алгебраической форме. Решение: .
ПП №17.5	Вычислите . Результат представьте в алгебраической форме. Решение: .
ПП №17.6	Найдите и для числа . Решение: ,, .
ПП №17.7	Запишите число в различных формах. Дайте геометрическую интерпретацию. Решение: Алгебраическая форма: ; тригонометрическая форма: ; , откуда , ; показательная форма: .		, .
ПП №17.8	Найдите модули и аргументы комплексных чисел: 1) ; 2) ; 3) . Решение: 1) ; ; ; 2) ; ; ; 3); ; .
ПП №17.9	Запишите комплексные числа 1) ; 2) ; 3) в тригонометрической и показательной форме: Решение: 1) ; 2) ; 3) .
ПП №17.10	Найдите , если . Решение: (расположено в IV квадранте). Тогда . .					.
ПП №17.11	Вычислите . Решение: Представим число в тригонометрической форме: . Тогда по формуле Муавра:					64
ПП №17.12	Вычислите и изобразите на комплексной плоскости . Решение: Запишем число в показательной форме: ; . . , , , . получен из корня поворотом на против часовой стрелки, из поворотом на и т.д.
ПП №17.13	Вычислите ; изобразите схематично значения корня на комплексной плоскости. Решение: ; . Начальный аргумент при равен . Значения корня: , . Соответствующие 6 точек располагаются в вершинах правильного шестиугольника на окружности радиусом .
ПП №17.14	Найдите все значения и постройте их на комплексной плоскости. Решение: Представим число в тригонометрической форме. , . . . . При , , .
ПП №17.15	Найдите все значения корня . Решение: где . , , , , и т.д.
ПП №17.16	Вычислите . Решение: где . - угол I четверти.			, , , .
ПП №17.17	Вычислите, найдите модуль, аргумент и постройте на комплексной плоскости число . Решение: 1) , . Для правильного отыскания аргумента рекомендуется изобразить это число на комплексной плоскости. ; ; 2) (3 радиана, так как 1 радиан); 3) ; 4) ; 5) Вычислим модуль и аргумент полученного числа: ,. .
ПП №17.18	Дайте геометрическое описание множества всех точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условиям: Решение: Запишем в алгебраической форме , тогда из условия: . Искомое множество – нижняя половина кольца с внутренним радиусом и внешним .
ПП №17.19	Найдите множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих уравнению Решение: , . Искомое множество состоит из точек окружности единичного радиуса, центр которой имеет координаты .
ПП №17.20	Какие геометрические образы определяются условиями ?	. (см. рисунок).
ПП №17.21	Какие геометрические образы определяются условиями ?	. (см. рисунок).
ПП №17.22	Какие геометрические образы определяются условиями ?	. (см. рисунок).
ПП №17.23	Какие геометрические образы определяются условиями ?	. (см. рисунок).
ПП №17.24	Какие геометрические образы определяются условиями ?	(см. рисунок).
ПП №17.25	Дайте геометрическое описание множеств всех точек комплексной плоскости, удовлетворяющих следующим условиям: .

ПП 17. 2. Многочлены в комплексной области
№ п/п	Задание	Ответ
ПП №17.26	Проверьте, что является корнем многочлена и найдите другие корни многочлена. Решение: Так как , то является корнем многочлена и многочлен делится на без остатка. Для отыскания других корней многочлена решим уравнение : Итак, многочлен имеет один действительный корень и два комплексно-сопряженных корня ,
ПП №17.27	Разложите на множители Решение: - корень кратности 3.
ПП №17.28	Разложите на множители . Решение: , -действительный корень, у квадратного трехчлена действительных корней нет. Найдем пару комплексно-сопряженных корней: , .
ПП №17.29	Разложите на множители многочлен . Решение: Очевидно, действительных корней многочлен не имеет, находим комплексные корни: , , где Корни многочлена: . Пары и – сопряженные: объединим сомножители попарно: , =, . Аналогично, . Тогда .
ПП №17.30	Решите уравнение . Используя формулу для решения квадратного уравнения и полагая , получим:
ПП №17.31	Решите биквадратное уравнение . Решение: . ; .
ПП №17.32	Решите уравнение . Решение: Введём подстановку . Получим квадратное уравнение . По теореме Виета корни квадратного уравнения , и исходное уравнение распадается на два более простых уравнения и , решения которых и дадут в совокупности все решения данного уравнения. Если , то . В тригонометрической форме , поэтому , или , . При . При . При . Если , то . В тригонометрической форме , поэтому , . При . При . При
ПП №17.33	Решите уравнение . По формуле корней квадратного уравнения . Число, стоящее под знаком квадратного корня, можно было бы записать в показательной форме, а затем по известному правилу извлечь из него корень. Однако можно поступить иначе. Положим Возводим обе части в квадрат и находим , откуда ; . Эта система имеет решения: поэтому

ПП 17. 3. КОМПЛЕКСНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
№ п/п	Задание	Ответ
ПП №17.34	Постройте кривую, заданную уравнением , и найдите , если . Решение: , ; , . .	Прямая ;
ПП №17.35	Постройте кривую, заданную уравнением , и найдите , если . Решение: , – параметрические уравнения циклоиды. .	Арка циклоиды
ПП №17.36	Для заданной функции найдите линейную комбинацию производных . Решение: . Вычислим необходимую комбинацию производных для каждого слагаемого в скобках: Вычислим сумму:
	Постройте кривую, заданную уравнением , и найдите , если . Решение: , . Исключаем параметр: – уравнение эллипса. .	Эллипс

22