7. Применение производной в теории многочленов для нахождения интервала залегания корней и определения их количества. Связь многочлена со своей производной

Если – корень кратностимногочлена, то– корень кратностиего производной.

Для того чтобы найти кратные корни многочлена, достаточно найти наибольший делитель многочленов и, корни которого будут корнямипо крайней мере кратности 2.

№ п/п	Пример ПП 16 7. Связь многочлена со своей производной
№22	Найдите кратные корни многочлена . при и. Значение не является корнем, так как не является делителем. Проверкой убеждаемся, чтоявляется корнем. Его кратность равна 2.

8. Нахождение наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке

1. Найдите все точки, в которых илине существует, и отберите из них те, что лежат внутри.

2. Вычислите значения функции в найденных точках и на концах отрезка и выберите из них наибольшее и наименьшее.

№ п/п	Пример ПП 16 8. Нахождение наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке
№23	Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на. . Вторая группа решений является частью первой и . Отрезкупринадлежат точкии. Найдем значения функции в точках,и на концах отрезка:,,,. Сравнивая их между собой, заключаем, что ,для.

9. Текстовые задачи разного содержания на нахождение наибольшего и наименьшего значения величин

№ п/п	Примеры ПП 16 9. Текстовые задачи разного содержания на нахождение наибольшего и наименьшего значения величин
№24	Площадь поверхности сферы равна . Какова высота цилиндра наибольшего объема, вписанного в эту сферу? Обозначим высоту цилиндра ,. По условию,. Из :. Объем цилиндра. По смыслу задачи, т.е.. Исследуем функциюна этом интервале. Производнаяпри, вблизи этого значенияменяет знак с + на –, значит при этой высоте объем цилиндра будет наибольшим.
№25	Владелец фабрики установил, что если он будет продавать свои изделия по цене руб., то его годовая прибыльсоставитруб. Определите, при котором прибыль будет максимальной. при , при этой цене прибыль будет максимальной.

пп 16. I. исследование функций

№ п/п

ЗАДАЧИ

ПП16.I №1

Найдите интервалы монотонности и точки экстремума функции .

РЕШЕНИЕ:

Функция не определена при.

, при.

		0		2
				0
		разрыв		0
				min

Функция возрастает при; убывает при;– точка минимума.

ПП16.I №2

Найдите экстремумы функции .

, ,.

х		-1		0		1
		2		0		2
	+	0	–		+	0	–
		max		min		max

Вид графика функции.

ПП16.I №3

Исследуйте функцию на возрастание (убывание) и экстремумы.

РЕШЕНИЕ:

Функция определена для. Производная функции

обращается в ноль при и,при,при, то есть в точкефункция принимает минимальное значение.

ПП16.I №4

Исследуйте функцию на возрастание (убывание) и экстремумы.

РЕШЕНИЕ:

Производная функции .

при ,

второй множитель положителен при любых .

Знак производной совпадает со знаком :

при функция убывает; прифункция возрастает,

в точках достигается максимальное,

а в точках – минимальноезначения функции.

ПП16.I №5

Исследуйте функцию на возрастание (убывание) и экстремумы.

РЕШЕНИЕ:

Производная функции представляет собой многочлен, который мы преобразуем следующим образом:

, откуда видно, что при любых, значит, функция возрастает для всехи экстремумов не имеет.

ПП16.I №6

Исследуйте функцию и постройте её график.

РЕШЕНИЕ:

1. , - точка пересечения с осями.

2. f (x) – непрерывна всюду вертикальных асимптот нет.

- наклонная (горизонтальная) асимптота при наклонных асимптот принет.

3. , .

4. , .

х
у
	+	0	–	–	–
	–	–	–	0	+
		max		перегиб

Вид графика функции .

ПП16.I №7

Сколько раз график функции пересекает ось?

РЕШЕНИЕ:

Функция определена для всех ,

не обладает определенной четностью,

непериодическая.

; прии.

График функции пересекает осьв одной точке.

Построим схему.

				0
		0		0
		max		min

ПП16.I №8

Исследуйте функцию и постройте её график.

РЕШЕНИЕ:

1) Область определения функции: ; эти точки являются точками разрыва функции; прифункция; при,.

2) Функция нечетная:. Построим график дляи отобразим его нечетным образом относительно начала координат.

3) Точка пересечения с осью определяется условием

, ,для всехиз области определения, т.е. функция является убывающей и не имеет экстремумов.

ПП16.I №9

Исследуйте функцию и постройте её график.

РЕШЕНИЕ:

1) Функция определена всюду, кроме точки .

График функции имеет вертикальную асимптоту .

2) Точка пересечения с осями: .

3) Выясним, существуют ли наклонные асимптоты. Вычислим пределы:

;

является наклонной асимптотой.

4) Находим производную: . Знак производной определяется знаком дроби. Прии, а при. Интервалы возрастания естьи; интервал убывания. В области определения функции производная существует всюду и обращается в ноль прии. При, а при. Следовательно, точкаявляется точкой максимума. Находим значение функции при:При переходе через другую критическую точкупроизводная знак не меняет, т.е.не является точкой экстремума.

5) Находим вторую производную . Видим, чтопри, интервалявляется областью выпуклости.также при- это тоже область выпуклости;при- это область вогнутости.

В области определения функции существует всюду;при. Так как при переходе через эту точкуменяет знак, тоесть абсцисса точки перегиба. Находим

х
у						0
	+	0	–		+	0	+
	–	–	–		–	0	+
		max				перегиб

График имеет вид

ПП16.I №10

Исследуйте функцию и постройте её график.

РЕШЕНИЕ:

1. Функция определена всюду, кроме точек . Точки пересечения графика с координатными осями: - точка пересечения с осями.

2. Функция нечетная, , график симметричен относительно начала координат, достаточно исследовать функцию при.

3. Точка является точкой разрываII-рода, график функции имеет вертикальную асимптоту ,,. Выясним, существуют ли наклонные асимптоты. Вычислим пределы:;, т.е.,является правой наклонной асимптотой (и левой, так как при операции симметрии прямая переходит сама в себя).

4. Находим производную: . Знак производной определяется знаком. При, а прии. Интервал возрастания -; интервалы убывания -и. В области определения функции производная обращается в нуль прии. При, а при. Следовательно, точкаявляется точкой минимума. Находим значение функции при:. При переходе через критическую точкупроизводная знак не меняет, т.е.не является точкой экстремума.

5. Находим вторую производную . Видим, чтопри, на интервалеграфик функции выпуклый вверх. При- график функции выпуклый вниз.

В области определения функции существует всюду;при. Так как при переходе через эту точкуменяет знак, тоесть абсцисса точки перегиба. Находим

х
у
		–		–		–
		–		+	+	+
	перегиб				min

График имеет вид:

ПП16.I №11

Исследуйте функцию и постройте её график.

РЕШЕНИЕ:

1. Так как функция периодична с основным периодом , достаточно исследовать ее поведение на промежутке, длиной равном периоду, например, на. Арктангенс определен для всех значений аргумента, поэтому областью определения сложной функциибудут промежутки оси, на которых, т.е., для промежуткаэто будет. Для, область значений_. Точки пересечения графика с координатными осями: при котангенс не определен, точек пересечения с осьюнет. Точки пересечения с осьюнаходим, решая уравнение.

2. Четностью или нечетностью функция не обладает.

3. Точка не является точкой разрыва, так какне определена,. Поскольку на каждом периоде графиклежит в конечной области плоскости, асимптот у графика существовать не может.

4. Найдем производную: . Для,, т.е., на каждом отдельном промежутке области определения функция монотонно убывает.

5. Найдем вторую производную. Корень уравненияна-. Приграфик функции выпуклый вниз, при- график функции выпуклый вверх. Точка графика- точка перегиба.

График имеет вид

ПП16.I №12

Постройте график функции .

Область определения функции: , это точка бесконечного разрыва функции,для всех;при;

при .

Построим схему.

				2		4
						0
		разрыв		острый min		max

ПП16.I №13

Найдите область определения функции (ООФ) .

РЕШЕНИЕ:

ООФ определяется системой неравенств:

Введем переменную , тогда

Из двух последних неравенств следует, что . Для решения первого неравенства рассмотрим функцию. Вычислимпри.

Итак, функция убывает на этом интервале, и ее значения при этом остаются положительными, так каки.

Область определения функции найдем из неравенства , которому удовлетворяют.

ПП16.I №14

Докажите, чтодля.

РЕШЕНИЕ:

Рассмотрим функцию ,. Производная, так какпри, т.е. функцияявляется убывающей и не превосходитдля, т.е., откуда.

ПП16.I №15

Найдите интервал, в котором находятся корни многочлена .

.

РЕШЕНИЕ:

Полученный квадратный трехчлен имеет положительный коэффициент у старшего члена (на графике ветви параболы направлены вверх) и отрицательный дискриминант (график не имеет точек пересечения с осью ), значит, все значения квадратного трехчлена лежат выше осиипри любых.

Из этого следует, чтовозрастает и имеет не более одного корня. Заметим, что, а, т.е. корень многочлена. Отметим, что корнем будет иррациональное число, так как на интервалене содержится целых чисел, которые были бы делителем свободного члена 12 исходного многочлена.

ПП16.I №16

При каких значениях уравнениеимеет ровно два различных корня?

РЕШЕНИЕ:

Рассмотрим функции и. Абсциссы точек пересечения графиков этих функций будут решениями исходного уравнения.

Исследуем поведение:, найдем критические точки из уравнения; значения функции в этих точках равны,;– точка максимума,– точка минимума. Из анализа графика функциии возможных точек пересечения свидим, что исходное уравнение имеет два корня, еслиили.

ПП16.I №17

Для каждого действительного числа определите, сколько корней имеет многочлен.

РЕШЕНИЕ:

Вычислим. Критическими точками производной являются значенияи. Вычисление производной позволяет заключить, чтодляидля, и сделать вывод, что в точкефункцияпринимает минимальное значение. Таким образом, для всех.

При и многочлен имеет один корень; приграфик многочлена не имеет общих точек с осьюи, соответственно, корней; при– два корня.

ПП16.I №18

Найдите число корней уравнения в зависимости от параметра.

РЕШЕНИЕ:

График функциипересекается с графикомв различном количестве точек в зависимости от. Области существования одного, двух, трех и четырех корней определяются геометрическим положением осии касательными к графику функции в точкахи.

Найдем угловые коэффициенты этих касательных. Касательная задана уравнением,, где. Координаты точки касаниянаходим из условия:

, и.

Аналогично для касательной :,, где,

, и.

В итоге получаем, что при уравнение имеет один корень; при– корней нет; прии– два корня; при– три, а при– четыре корня.

ПП16.I №19

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на.

РЕШЕНИЕ:

Из условия найдем значенияи, в которых изменяется знак выражения, стоящего под знаком модуля. Функция не определена в точке. Заметим, чтоине принадлежат отрезку.

тогда

Критические точки находим из условия на каждом из интервалов:

Отрезку принадлежит одна критическая точка, в которой производная не существует. Вычислим значения функции,,,,для.

ПП16.I №20

Для каждого значения параметра найдите наименьшее значение функциина отрезке.

РЕШЕНИЕ:

, точка является точкой локального минимума функции. Наименьшее значение функции достигается в этой точке, если значениепринадлежит интервалу, и реализуется случай

если , тоесли, то

ПП16.I №21

При каких значениях функциянапринимает свои наибольшее и наименьшее значения на концах отрезка?

РЕШЕНИЕ:

Производная

обращается в ноль при и,. В точкефункция имеет максимум, значениеможет принадлежать отрезкупри; для того чтобы наибольшее и наименьшее значения достигались на концах отрезка, нужно, чтобы, т.е.при условии, что, т.е..

ПП16.I №22

Найдите число, куб которого превышает утроенный его квадрат на минимальное значение.

РЕШЕНИЕ:

Обозначим через искомое число, составим функциюи найдем значение, при которомпринимает минимальное значение.

Производная прии. При, т.е. не удовлетворяется условие. Производнаяменяет знак при переходе через точку:при,при, т.е. в точкефункцияимеет минимум. Значит, искомое число равно двум.

ПП16.I №23

В арифметической прогрессии шестой член равен 3, а разность прогрессии больше 0,5. При каком значении разности этой прогрессии произведение первого, четвертого и пятого ее членов является наибольшим?

РЕШЕНИЕ:

По условию . Введем функцию.

Найдем значение , при которомдостигает наибольшего значения. Производнаяприи. Так как по условию, исследуем поведениена интервале.

		1		2,4
		0		0
		min		max

Наибольшего значения функция достигает при.

ПП16.I №24

Величина угла при основании равнобедренного треугольника равна . При каком значенииотношение длины радиуса вписанной в данный треугольник окружности к длине радиуса описанной окружности будет наибольшим?

РЕШЕНИЕ:

По условию ,,.

Обозначим ,.

В и,по теореме синусов для.

Введем функцию

;

;

при или, что не удовлетворяет условию,,,,. В точкефункцияимеет максимум

		0
		max

Отношение будет наибольшим и равнымпри.

ПП16.I №25

Прямой круговой конус с наибольшим объемом вписан в данный конус так, что вершина внутреннего конуса находится в центре основания данного конуса. Докажите, что высота внутреннего конуса составляет одну треть высоты данного конуса.

РЕШЕНИЕ:

Обозначим ,,,,.

: .

S₁

.

, при, откуда, что не удовлетворяет условию и.

Вблизи меняет знак с + на –, значит, приобъем вписанного конуса является наибольшим.

ПП16.I №26

Шоссе пересекает местность с запада на восток. В 9 км к северу от шоссе находится лагерь, а в 15 км к востоку от ближайшей на шоссе к лагерю точки расположен город. Каков должен быть маршрут, чтобы добраться в город в кратчайший срок, если скорость движения по полю 8 км/час, а по шоссе – 10 км/час?

РЕШЕНИЕ:

Пусть лагерь располагается в точке , а город в точке.– кратчайший маршрут до шоссе,км,км. Где будет находиться точка?

Обозначим расстояниечерез,.,.

Время движения определяется функцией . Производнаяобращается в ноль при, откуда. Значение, оно является наименьшим по сравнению си, так что к шоссе нужно выйти в 12 км от лагеря на восток.

ПП16.I №27

По двум взаимно перпендикулярным дорогам по направлению к перекрестку движутся две автомашины со скоростями и. Определите минимальное в процессе движения расстояние между машинами, если в начальный момент времени расстояния машин от перекрестка были равныисоответственно.

РЕШЕНИЕ:

Пусть первая и вторая машины в начальный момент времени находятся в точках и. В процессе движения их координаты изменяются со временем по законам,.

Квадрат расстояния между машинами определяется функцией , ее производнаяпри. Вблизи этой точки производная меняет знак с – на +, значит, в этот момент времени расстояние между машинами минимально и равно

ПП16.I №28

Автомобиль выезжает из пункта А и едет с постоянной скоростью км/час до пункта В, отстоящего от пункта А на расстояние 24,5 км. В пункте В автомобиль переходит на равнозамедленное движение, причем за каждый час его скорость уменьшается на 54 км/час, и движется так до полной остановки. Затем автомобиль сразу же поворачивает обратно и возвращается в А с постоянной скоростью. Какова должна быть скорость, чтобы автомобиль за наименьшее время проезжал путь от А до полной остановки и обратно до пункта А указанным способом?

РЕШЕНИЕ:

Вычислим время, которое затрачивает автомобиль на весь путь от А до остановки и обратно: км., где,,

;

,

Производная при,приипри, значит,принимает прикм/час наименьшее значение.

ПП16.I №29

Требуется построить несколько одинаковых домов с общей площадью 40000 м². Затраты на постройку одного дома, имеющего м² площади, складываются из стоимости наземной части, пропорциональной , и стоимости фундамента, пропорциональной. Стоимость наземной части составляет 32% стоимости фундамента для дома площадью 1600 м². Определите, сколько нужно построить одинаковых домов, чтобы сумма затрат была наименьшей.

РЕШЕНИЕ:

Обозначим через число домов,по условию. Стоимость всей постройки

,

где и– коэффициенты пропорциональности, найдем их из условияпри, значит,и.

Производная при.

Исследуя знак производной, можно показать, что эта точка является точкой минимума . При наименьших затратах можно построитьдомов.

ПП16.I №30

Между двумя портами, удаленными друг от друга на расстояние 1200 км, с постоянной скоростью курсирует теплоход. Затраты на рейс в одном направлении слагаются из двух частей. Первая часть, связанная с обслуживанием пассажиров, пропорциональна времени нахождения в пути, другая, обусловленная стоимостью топлива, пропорциональна кубу скорости движения. Найти скорость, с которой должен идти теплоход, чтобы затраты на рейс были минимальны, если известно, что при скорости 90 км/час затраты равны 11,61 тысяч рублей, причем стоимость обслуживания пассажиров составляет стоимости топлива.

РЕШЕНИЕ:

Пусть – скорость теплохода, тогда время движения в одном направлении. Затраты на рейс,, где– коэффициенты пропорциональности. Найдем их из условийи,

.

Производная

при .

Исследуя знак производной, можно показать, что при км/час затраты на рейс будут минимальны.

ПП16.I №31

Три бригады должны выполнить работу. Первая бригада делает в день 200 деталей, вторая – на деталей меньше, чем первая, а третья – надеталей больше, чем первая. Сначала первая и вторая бригады, работая вместе, выполняютвсей работы, а затем все три бригады, работая вместе, выполняют оставшиесяработы. На сколько деталей в день меньше должна делать вторая бригада, чем первая, чтобы вся работа была выполнена указанным способом как можно скорее?

По условию вторая бригада делает в день , а третьядеталей. Обозначим общее число деталей через. Время всей работы

.

Производная

при .

Исследуя знак производной, можно убедиться, что при функциядостигает минимума, и работа будет сделана за наименьшее время, если вторая бригада будет делать на 125 деталей в день меньше, чем первая.