II. Кривые, заданные параметрически

№ п/п	ЗАДАЧИ	Ответ
ПП16 II.№1.	Постройте кривую, заданную параметрически: ,,. РЕШЕНИЕ: Возможные точки пересечения графика с координатными осями – решения уравненийи. Оба уравнения преобразуются к видуи решений не имеют, график функции не пересекает координатных осей и полностью лежит в первом квадранте:,. Более того, рассмотрев графики функций, входящих в уравнение, можно убедиться, что,. Частное значение:,. График состоит из двух ветвей, исходящих из точки; одна соответствует, вторая –. Для обеих ветвей,и при, и при. Рассмотрим возможные асимптоты:,,– правая наклонная асимптота ветви графика, соответствующей., т.е., ветвь, соответствующая, асимптоты не имеет. Найдем первую производную:,,. При:,,. При:,,,, т.е. прии, следовательно,на этой ветви возрастает как. Найдем вторую производную.,,. На каждой ветви графика сохраняется направление выпуклости: при, график выпукл вверх, при, график выпукл вниз.	при (точка возврата);- асимптота при
ПП16 II.№2.	Постройте кривую , заданную параметрически. РЕШЕНИЕ: Возможные точки пересечения графика с координатными осями – решения уравненийи. Осьпересекается один раз в точке, соответствующей, осьпересекается трижды, что легко видеть из соответствующих графиков. Приграфик функции лежит в первом квадранте,,; при– в третьем:,. Рассмотрим возможные асимптоты:,,– правая наклонная асимптота графика, соответствующая.,,– левая наклонная асимптота графика, соответствующая. Вычислим производные.,,;,,. При,,, т.е., в точкекасательная к графику вертикальна. Найдем корни первой производной:. Очевидно, прилокальный максимум,,; прилокальный минимум,,. Вторая производная меняет знак в единственной точке при; при, график выпукл вниз, при, график выпукл вверх. Из этого следует, что график не пересекает асимптоты, в противном случае направление выпуклости должно было бы смениться.	- максимум; - минимум,- точка перегиба,и- асимптоты

III. Векторные функции действительной переменной

Если каждому значению действительной переменной поставлен в соответствие вектор, то на множествезаданавектор-функция действительной переменной.

Задание вектор - функции равносильно заданию трех числовых функций- координат вектора:

.

Если вектор является радиус вектором точки, то соответствующую вектор-функцию принято обозначать:

.

Годографом вектор – функции называется линия, описываемая в пространстве концом вектора. Всякую линию в пространстве можно рассматривать как годограф некоторой вектор функции. Параметрические уравнения годографа:

.

№ п/п	ЗАДАЧИ	Ответ
ПП16 III.№1.	Найти годограф вектор – функции РЕШЕНИЕ: Параметрические уравнения годографа: исключая параметр, получаемТаким образом, годографом является окружность,, из которой необходимо исключить точку, которая получается в пределе при.
ПП16 III.№2.	Найдите годограф вектор – функции РЕШЕНИЕ: Запишем координаты конца радиус – вектора: это параметрические уравнения прямой:.	Прямая
ПП16 III.№3.	Найдите годограф вектор – функции . РЕШЕНИЕ: Запишем координаты конца радиус – вектора: Кривая лежит в плоскости, перейдем от параметрического представления кривой к ее виду в декартовых координатах, для чего возведемив степеньи сложим:, или. Это уравнение астроиды.	Астроида
ПП16 III.№4.	Дано уравнение движения . Определите траекторию и скорость движения. Постройте векторы скорости для моментов РЕШЕНИЕ: ; .	Циклоида в плоскости : , , .
ПП16 III.№5.	Найдите производную вектор – функции РЕШЕНИЕ: .
ПП16 III.№6.	Найдите производную вектор – функции при. РЕШЕНИЕ: