- •Оглавление
- •§ 2. Существование и единственность интерполяционного многочлена
- •§ 3. Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •§ 4. Погрешность интерполяционного многочлена Лагранжа
- •§ 5. Минимизация погрешности интерполяционного многочлена Лагранжа. Многочлен Чебышева
- •§ 6. Схема Эйткена
- •§ 7. Численное дифференцирование
- •§ 8. Погрешность простейших формул численного дифференцирования
- •§ 9. Разделенные разности. Многочлен Ньютона.
- •§ 10. Интерполяция с кратными узлами
- •§ 11. Кубическая сплайн-интерполяция
- •ГлаваIii. Численное интегрирование
- •§ 1. Простейшие квадратурные формулы. Составные формулы
- •§ 2. Метод неопределенных коэффициентов
- •§ 3. Формулы Ньютона-Котеса
- •§ 4. Формулы Гаусса
- •§ 5. Погрешность квадратурных формул. Правило Рунге.
- •ГлаваIv. Численные методы алгебры
- •§1. Системы линейных уравнений: метод простых итераций, метод Зейделя
- •§2. Метод наискорейшего спуска
- •§ 3. Обратная интерполяция для решения нелинейных уравнений
- •§ 4. Системы нелинейных уравнений: метод простых итераций
- •§ 5. Системы нелинейных уравнений: метод Ньютона
- •§ 6. Методы спуска
- •Глава V. Дифференциальные уравнения и системы
- •§ 1. Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений: применение формулы Тейлора
- •§ 2. Метод Эйлера. Методы Рунге-Кутта
- •§ 3. Конечно-разностные методы
- •§ 4. Уравнения второго порядка
Глава V. Дифференциальные уравнения и системы
§ 1. Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений: применение формулы Тейлора
Задача Коши: Дано:— дифференциальное уравнение 1-го порядка;
—отрезок, на котором определена искомая y(x);
—начальное условие.
Найти: функцию y(x), удовлетворяющую уравнению и начальному условию.
Пусть f(x,y) — аналитическая в окрестности т.(x0,y0) (т.е. может быть представлена рядом по степеням (x – x0) и (y – y0).
Алгоритм:
1. Известна .
Найдем .
.
– – – – – – – – – – –
.
2. Подставляя (x0,y0) получим:
.
.
. (числовые значения)
.
– – – – – – – – – – –
.
3. По формуле Тейлора составим:
Замечание: Пусть R — радиус сходимости ряда . Если, то погрешность формулы не уменьшается при.
Дальнейшее обобщение алгоритма:
Пусть отрезок разбит наn частей, — точки деления (узлы).
1. На найдем.
Тогда .
2. На найдем.
Тогда .
И т.д.
n. На найдем.
Тогда .
Т.е. найден набор приближенных значений искомой функциив узлах.
§ 2. Метод Эйлера. Методы Рунге-Кутта
Пусть отрезок разбит наn частей,
—точки деления (узлы), .
При m = 1, формула из § 1 имеет вид:
—формула Эйлера.
Методы Рунге-Кутта — класс методов, включающий в себя метод Эйлера.
Общая идея методов:
Пусть даны параметры:
q, 2,…,q; p1,…,pq; ij, 0 < j < i q.
Найдем последовательно:
– – – – – – – – – – – – –
Тогда
Т.е. находят последовательно по рекуррентной формуле
Частные случаи:
1) q = 1, p1 = 1 — метод Эйлера.
2) q = 2, p1 = =p2; 2 = 1 = 21
Обоснование справедливости формулы:
Заменим интеграл квадратурной формулой трапеций
т.к. получаем
Заменим в правой части по формуле Эйлера
Тогда
3) q = 2, p1 = 0, p2 = 1; 2 = =21
Обоснование справедливости формулы:
Заменим интеграл квадратурной формулой прямоугольников
Заменим в правой части по формуле Эйлера
§ 3. Конечно-разностные методы
Задача: Дано:
Пусть отрезок разбит наn частей одинаковой длины h,
—узлы.
Найти: — значенияy(x) в узлах.
Явные конечно-разностные методы используют соотношения вида
где коэффициенты , подбираются так, чтобы формула была точна для многочленов наивысшей степени.
Неявные конечно-разностные методы используют соотношения вида
где новое значение yk присутствует в обеих суммах.
Простейшие методы такого типа получаются на основе квадратурных формул интегрирования:
По формуле трапеций получаем
— неявный конечно-разностный метод.
Для использования формулы Симпсона применяют другое равенство
— неявный конечно-разностный метод.
Формулу прямоугольников применим также для равенства
—явный конечно-разностный метод.
Замечание: вторая и третья формулы имеют низкую сходимость, т.е. при уменьшении h погрешность уменьшается медленнее, чем в первой формуле.
§ 4. Уравнения второго порядка
I. Дифференциальное уравнение, в котором отсутствует.
Задача Коши: Дано:
, – начальные условия
Пусть отрезок разбит наn частей одинаковой длины h,
—узлы.
Найти: — значенияy(x) в узлах.
Для каждого узла выполняется
Заменим в левой части вторую производную формулой численного дифференцирования по трем точкам:
Правую часть заменим линейной комбинацией
Тогда получим формулу
явный метод.
Если правую часть заменим другой линейной комбинацией , то получим формулу
неявный метод.
Коэффициенты подбираются так, чтобы формула была точна для многочленов наивысшей степени.
Пример. Метод Нумерова — неявный метод, m = 1, четвертого порядка точности.
Вывод формулы методом неопределенных коэффициентов:
Нужно найти формулу
точную для y(x), являющейся многочленом до четвертой степени.
Пусть xk = 0.
Для y(x) = x2
Для y(x) = x3
Для y(x) = x4
Получается система
Решение системы:
Применение метода:
1) По формуле Эйлера находим .
2) По рекуррентной формуле находим
.
II. Задача Коши: Дано:
, – начальные условия
отрезок разбит наn частей одинаковой длины h,
—узлы.
Найти: — значенияy(x) в узлах.
В ходе решения будут найдены также
значения в узлах.
Явный метод использует равенства
Неявный метод использует равенства
Пример. Явный метод, m = 0.