§ 3. Интерполяционный многочлен Лагранжа

Выразим многочлен L_n(x) как линейную комбинацию значений f₀, f₁, ..., f_n:

.

Рассмотрим в качестве подсказки частные случаи.

1) n=1

x₀, x₁ — узлы

f₀, f₁ — значения

Найти

	x0	x1
	1	0
	0	1

при x₀

при x₁

2) n=2

x₀, x₁, x₂— узлы

f₀, f₁, f₂ — значения

Найти

	x0	x1	x2
	1	0	0
	0	1	0
	0	0	1

при x₀

при x₁

при x₂

Опр. Интерполяционным многочленом Лагранжа называется

.

Опр. Лагранжевы коэффициенты —

для каждого i = 0,...,n.

Замечание:

Лагранжевы коэффициенты удовлетворяют тождеству

.

§ 4. Погрешность интерполяционного многочлена Лагранжа

Пусть f(x) — непрерывная, имеющая непрерывные производные до (n+1) порядка.

L_n(x) — многочлен Лагранжа: L_n(x_i)=f(x_i) для всех i=0,...,n.

[a,b] — отрезок, содержащий узлы x₀, x₁, ..., x_n.

Найдем оценку отличия значения f(x) от значения L_n(x) в точке , не совпадающей ни с одним из узлов.

Запишем равенство

, где .

Рассмотрим функцию

.

	если t= x0, x1, ..., xn,	всего (n+2) точки	по т. Роля, если ф-ия в двух точках равна 0, то существует точка, в которой производная обращается в 0
		(n+1) точка на [a,b]
		n точек на [a,b]
...
		1 точка на [a,b]

Т.е. существует :.

Т.к. , и, получаем

, следовательно .

 .

.

.

§ 5. Минимизация погрешности интерполяционного многочлена Лагранжа. Многочлен Чебышева

Задача:

Дано: f(x) на [a,b], непрерывная и дифференцируемая до (n+1) порядка.

Найти: x₀, x₁, ..., x_n — узлы, такие, что максимальная погрешность

была бы минимальной.

Ослабление задачи:  min.

Случай 1) Пусть [a,b]=[-1,1].

Опр. Многочленом Чебышева на [-1,1] называется

.

Выведем рекуррентную формулу для многочленов Чебышева.

Сначала отметим , .

Обозначим 

+







Свойства многочленов Чебышева:

1) Если n – четно (нечетно), то T_n(x) содержит только четные (нечетные) степени x.

Док-во: по индукции.

2) Старший коэффициент T_n(x) равен 2^n–1 (для n  1).

Док-во: по индукции.

3) Многочлен T_n(x) имеет n действительных корней в интервале (–1,1), по формуле

, i = 0,...,n–1.

Док-во: подстановкой.

4) , причем,m = 0,...,n.

Док-во: по определению.

5) Многочлен 2^1-nT_n(x) имеет старший коэффициент 1 (для n  1) и выполняется неравенство

для любого многочлена P_n(x) степени n со старшим коэффициентом 1.

(Без док-ва)

Замечание: Многочлен Чебышева — "многочлен, наименее уклоняющийся от нуля".

Теорема 1 (без док-ва).

Корни многочлена T_n+1(x), т.е. ,i = 0,...,n, минимизируют в оценке погрешности интерполяционного многочлена. При этом

и .

Случай 2) Произвольный [a,b].

Введем новую переменную .

Тогда f(t) определена на [–1,1].

Используя ,i = 0,...,n, находим .

Теорема 2 (без док-ва).

Значения ,i = 0,...,n, минимизируют в оценке погрешности интерполяционного многочлена. При этом

и .