§ 6. Схема Эйткена

Для упрощения вычисления интерполяционного многочлена L_n(x) используется следующая схема:

Схема Эйткена

Обозначим L_{(k,k+1,...,l)}(x) — интерполяционный многочлен по узлам x_k,x_k+1,...x_l.

Заметим, что L_(k)(x) = f_k, L_(0,1,...,n)(x) = L_n(x).

Утверждение.

Выполняется равенство

.

Док-во:

Левая часть равенства — L_{(k,k+1,...,l)}(x) — многочлен степени (l–(k–1)–1)=l–k по узлам x_k,x_k+1,...x_l..

В правой части равенства — тоже многочлен такой же степени.

Для любого i = k+1,...,l–1 значения левой и правой частей совпадают:

.

Для x_k выполняется .

Для x_l выполняется . Утв. доказано.

Вычисление выполняется при помощи таблицы следующего вида:

f0 = L(0)(x)
	L(0,1)(x)
f1 = L(1)(x)		L(0,1,2)(x)
	L(1,2)(x)
f2 = L(2)(x)				L(0,...,n)(x) = Ln(x)
	
		L(n-2,n-1,n)(x)
	L(n-1,n)(x)
fn = L(n)(x)

§ 7. Численное дифференцирование

Задача:

Дано: x₀, x₁, ..., x_n — узлы,

f₀, f₁, ..., f_n — значения f(x) в узлах.

Найти: .

1 способ) Поскольку f(x)  L_n(x), то (для 1 m  n).

2 способ) Метод неопределенных коэффициентов.

Пусть , (1)

где c_i — коэффициенты, обеспечивающие точность формулы для функций f(x), являющихся многочленами наиболее высокой степени.

Если произвольный многочлен a₀+a₁x+...+a_nxⁿ степени n взят в качестве f(x), то выполняется

для любых a₀,a₁,...a_n.

Равенство возможно только если коэффициенты при a_j совпадают, т.е.

для i = 0,...,n.

Получаем СЛУ с неизвестными c₀,...c_n, (n+1) неизвестных, (n+1) уравнений.

(Такая же система получается, если в формулу (1) подставлять простые многочлены степени  n, т.е. 1=x⁰, x, x²,...,xⁿ).

Главный определитель системы

— определитель Вандермонда (транспонированный).

Следовательно, решение c₀,...c_n существует и единственно.

3 способ) Использование простейших формул численного дифференцирования.

Вывод первой формулы: пусть даны x₀, x₁ — узлы, f₀, f₁ — значения f(x) в узлах, h = x₁ – x₀ расстояние между узлами.

По определению производной функции в точке .

 , т.е. (2)

Замечание: , т.е. производная вx₁ также вычисляется по формуле (2).

Очевидно, формула точна для многочленов степени 1.

Вывод второй формулы: пусть даны x₀, x₁, x₂ — узлы, f₀, f₁ , f₂ — значения f(x) в узлах, h = x₁ – x₀ = x₂ – x₀ расстояние между узлами.

Найдем формулу для производной в средней точке: .

Упростим задачу: пусть -h,0,h – узлы, f₀, f₁ , f₂ — значения. — искомая формула.

Подставим в нее 1=x⁰, x, x². Получим СЛУ:

.

Решение системы ,,.

Тогда .

По причине линейности для произвольных узлов x₀, x₁, x₂ можно использовать те же коэффициенты, следовательно

(3)

Формула точна для многочленов степени 2.

Вывод третьей формулы: пусть даны x₀, x₁, x₂ — узлы, f₀, f₁ , f₂ — значения f(x) в узлах, h = x₁ – x₀ = x₂ – x₀ расстояние между узлами.

Найдем формулу для второй производной в средней точке: .

Упростим задачу: пусть -h,0,h – узлы, f₀, f₁ , f₂ — значения. — искомая формула.

Подставим в нее 1=x⁰, x, x². Получим СЛУ:

.

Решение системы ,,.

Тогда .

По причине линейности для произвольных узлов x₀, x₁, x₂ можно использовать те же коэффициенты, следовательно

(4)

Формула также точна для многочленов степени 2.

Д/З Вывести формулы для вычисления черези длячерезметодом неопределенных коэффициентов.