§ 3. Формулы Ньютона-Котеса

Пусть d₀, ..., d_n  [–1;1] (вспомогательные узлы, сначала различные, потом возможно совпадающие)

, для i = 0,...,n.

f(x_i) , для i = 0,...,n.

Пусть L_n(x) — интерполяционный многочлен Лагранжа по узлам x_i.

Тогда , гдеp(x) — некоторая фиксированная функция, называемая весовой функцией.

Выполним замену:

Замечание: В случае, когда среди d₀, ..., d_n есть совпавшие (следовательно, среди x₀, ..., x_n тоже), вместо многочлена Лагранжа используют интерполяционный многочлен с кратными узлами. Однако результат так же записывают в виде .

Опр. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса — формулы вида

, где .

Свойства:

1. Если p(x) четна (симметрична) относительно , т.е.иx_i расположены симметрично вокруг , тоD_i=D_n–i. Такую квадратурную формулу называют "симметричной".

2. "Симметричные" квадратурные формулы точны для любой функции, нечетной относительно , т.е..

Частные случаи: при p(x)  1

1)n = 0; d₀ = 0 — формула прямоугольников.

2)n = 1; d₀ = –1, d₁ = 1 — формула трапеций.

3)n = 2; d₀ = –1, d₁ = 0, d₂ = 1 — формула Симпсона.

4)n = 1; d₀ = 0 = d₁ — формула прямоугольников.

5)n = 3; d₀ = –1, d₁ = 0, d₂ = 1, d₃ = 0 — формула Симпсона.

§ 4. Формулы Гаусса

Задача: Дано: n — количество узлов;

[a,b] — отрезок;

p(x) > 0 на [a,b].

Найти: квадратурную формулу , точную для многочленов наибольшей степениm, (т.е. найти узлы x₀, ..., x_n–1 и коэффициенты D₀, ...,D_n-1).

Опр. Квадратурная формула Гаусса — решение поставленной задачи.

Теорема. Существует решение для m = 2n – 1.

Доказательство:

1) При подстановке в квадратурную формулу простых многочленов 1=x⁰, x, x²,...,x^m получится система уравнений:

, для j = 0,...,m.

В этой системе (m+1) нелинейное уравнение с 2n неизвестными x₀, ..., x_n–1 , D₀, ...,D_n-1. При (m+1) = 2n решений конечное число (если оно существует).

Следовательно, m = 2n – 1.

2) Существование решения будет показано ниже.

Опр. Скалярным произведением функций f(x) и g(x) (с комплексными значениями) называется

, где – комплексно сопряженная кg(x).

Опр. Многочлен g(x) ортогонален многочлену g(x), соответственно p(x) и [a,b], если (f(x),g(x)) = 0.

Обозначим многочлен степениn, со старшим коэффициентом =1, ортогональный всем многочленам меньшей степени.

Пример.

1. Многочлены Чебышева — соответствуют и [–1;1].

2. Многочлены Лежандра:

—соответствуют p(x)  1 и [–1;1].

Если многочлен имеетn различных корней x₀, ..., x_n–1 на [a,b], то .

Пусть эти корни x₀, ..., x_n–1 — узлы интерполяции. Найдем по ним квадратурную формулу (например, формулу Ньютона-Котеса). Тогда она точна для всех многочленов степени (n–1).

Лемма.

Если x₀, ..., x_n–1 — корни (нули) многочлена степениn, и формула точна для многочленов степени (n–1), то она точна и для всех многочленов степени (2n–1).

Доказательство:

Пусть Q_2n–1(x) — произвольный многочлен степени (2n–1).

По теореме о делении многочленов с остатком выполняется .

Найдем

. Лемма доказана.

Примеры: при p(x)  1, на [–1;1]

1. n = 1; x₀ = 0; D₀ = 2, т.е. формула

точна для многочленов степени 21–1 = 1.

2. n = 2; x₀ = – 0,577; x₁ = 0,577; D₀ = D₁ = 1, т.е. формула

точна для многочленов степени 22–1 = 3.

3. n = 3; x₀ = – 0,775; x₁ = 0; x₂ = 0,775;

D₀ = 0,556; D₁ = 0,889; D₂ = 0,556, т.е. формула

точна для многочленов степени 23–1 = 5.

Замечание:

Чтобы использовать эти узлы и коэффициенты для интеграла на произвольном отрезке [a,b], нужно в интеграле выполнить замену переменной .

Тогда . Т.е. коэффициентыD₀, ...,D_n-1 не изменятся, а узлы пропорционально преобразуются в узлы на отрезке [a,b].

Составная формула Гаусса, для p(x)  1:

отрезок [a,b] разбивается на N частей одинаковой длины,

каждая часть тоже разбивается на n – 1 частей,

точки деления — x_ki , где k = 0,...,N – 1, i= 0,...,n – 1.

Тогда .