Билет №1

Практика и теория поиска лучших решений. Структуризация эко-ких задач. Си-ма – совоку-ть взамосвязанных эл-тов, обладающая определенной целостностью ( относительной изолированностью от вн. среды) и присущей целью развития. Бывают: простые и сложные, большие и малые. Сложность си-мы зависит от доступности инф-ции по упра-нию этой си-мой. Си-ма простая, если есть инф-ция доступная и достаточная для упра-ния. Иначе – сложная.

Модель- исп-тся для целец познания объектов и процессов. Пример:объект- земной шар, мо-ли – глобус,карта. Мо-ль- заме-тель оригинала, отража-ий его хара-ки, существенные с позиции упра-ния, т.о. что изучение мо-ли дает новые сведения об оригинале. Отл от др инструментов тем, что они ориенти-ны на косвенное изучение. Класифи-ция моделей: физ-кие и абстрактыне, реальные и символьные, образные и словестные. ЭМ мо-ль – отражение упра-мого объекта с помощью мат соотно-ний(инструментов). ЭМ мо-ли: лин-ые и нели-ные, непрерывные и дискретные, простран-ные и точечные. Реальные мо-ли хар-тся стохастичностью (неопре-ый хар-тер). Математическое программирование ("планирование") – это раздел математики, занимающийся разработкой методов отыскания экстремальных значений функции, на аргументы которой наложены ограничения. Методы математического программирования используются в экономических, организационных, военных и др. системах для решения так называемых распределительных задач. Эк-мат классиф моделей: 1. По типу мат описания – линейное и Нелинейное; 2. геометрические, выпуклые, Целочисленные (дискретные –переменные только целые), Стохастические, Динамические (время учит-ся явным образом); 3. Точечные (EX. Прибыль за год), Пространствен (Ex.логистика - отраж простран аспекты). Линейное программирование (ЛП) является наиболее простым и лучше всего изученным разделом математического программирования. Характерные черты задач ЛП следующие:

1) показатель оптимальности L(X) представляет собой линейную функцию от элементов решения X=(x1,x2,…,xn);

2) ограничительные условия, налагаемые на возможные решения, имеют вид линейных равенств или неравенств.

Билет № 2

Компромиссный критерий Гурвица и его истолкование. Проблема выбора параметров критерия.

Это компромисс между крайним пессимизмом и умеренным оптимизмом. 0≤α≤1, α – степень пессимизма оперирующей стороны. 1 – пессимист, 0 – оптимист. H = αmax i(minj aij) (пессимист)+ (1-α)max i(minj aij). H =max[α minj aij + (1-α)maxj aij]. –критерий Гурвица.

Билет №3

Задача математического программирования (МП) и ее свойства. Классификация задач МП.

Математическое программирование ("планирование") – это раздел математики, занимающийся разработкой методов отыскания экстремальных значений функции, на аргументы которой наложены ограничения. Методы математического программирования используются в экономических, организационных, военных и др. системах для решения так распределительных задач.

Анализируемые процессы считаются многократно повторяющимися и следовательно ими можно управлять.

1. Мат. программирование – один из разделов математики, который изучает методы нахождения условного экстремума ф-ии многих переменных. Разделы мат. программирования: 1) линейное программирование: f(x) стремится min(max), x принадлежит X. целевая ф-ия явл. линейной, а множ-во Х задается системой лин-х равенств и неравенств; 2) нелинейное программирование: а) выпуклое программирование. Относятся задачи на отыскание min-ма ф-ии если мн-во Х выпукло и целевая ф-ия выпукла тоже. min на выпуклом U, max на вогнутом ∩. б) задачи квадратичного программирования, где целевая ф-ия квадратична, а ограничения – линейны. в) многоэкстремальная задача. 3) целочисленное программирование – задачи ЛП при условии что все переменные или некоторые из них явл. целочисленными.

Особенности задач МП: 1) классические методы отыскания усл. экстремума ф-ии не работают из-за ограничений типа неравенства; 2) из-за большой размерности задач и большого числа ограничений, проверить все потенциальные экстремальные точки не. Цели МП: создание аналитических методов опр-ия решения, а в случае если это невозможно, то создание эф-х вычислит-х способов получения приближенного решения. Этапы построения мат. моделей: 1) построение качественной модели рассматриваемой задачи (опр-ть все факторы, которые оказывают влияние, установить закономерности которые наиболее значимы); 2) запись с помощью мат. знаков построенной кач. модели (выделение управляющих и управляемых факторов); 3) исследование влияния переменных на значение целевой ф-ии; 4) непосредственное решение поставленной задачи и проверка адекватности модели.

Билет № 4

Выбор решений в условиях недостаточной достоверности статистических характеристик. Понятия единичного эксперимента, идеального и неидеального эксперимента.

При исследовании некоторых проблем в условиях неопределённости существует возможность экспериментов, дающих дополнительную информацию об условиях действительных состояний природы и, тем самым, снизить степень неопределённости задачи. Если возможности экспериментов достаточно обширны, то после определённого их количества реальные характеристики состояний природы могут быть оценены с любой необходимой точностью. Основные понятия. Единичным (фиксированным) называется эксперимент, объем и порядок проведения которого заранее определены и не изменяются в процессе его осуществления.Идеальный ЕЭ-такой ЕЭ,который приводит к полной ликвидации неопределённости,т.е. к точной характеристике действительных условий природы.Неидеальный (реальный)ЕЭ-такой ЕЭ,который не приводит к точным сведениям о реальных условиях операции,а даёт только дополнительные свидетельства в пользу тех или других состояний природы.В статистических играх с ЕЭ целесообразность эксперимента и методы выбора наилучшей стратегии оперирующей стороной устанавливаются заранее, до проведения эксперимента - то есть, на основе априорной информации. Другое наименование ЕЭ - эксперимент с заданным объемом выборки, т.е. состоящий из последовательности испытаний, объём и порядок проведения которых определены заранее. В ЗПР с ЕЭ предполагается, что эксперимент всегда осуществляется в полном объёме. Однако в некоторых постановках задач предусматривается, что после каждого последовательного испытания возможно прекращение эксперимента и выбор лучшей стратегии на основе уже полученной информации-статистические игры с последовательным экспериментом. Принципиальное отличие ЗПР с последовательным экспериментом от ЗПР с ЕЭ состоит в том, что решение принимается не заранее,а в ходе эксперимента на основе получаемой при этом апостериорной информации. Это даёт дополнительные преимущества в обосновании выбора и, как следствие, вероятность дополнительного эффекта от управления. Другое отличие - возможность менее жёстких требований к точности и достоверности исходной информации, которая последовательно уточняется в результате последовательных испытаний (последовательной выборки). Среди ЗПР с последовательной выборкой выделяют задачи:1)· ЗПР с усечённой последовательной выборкой 2) ЗПР с неограниченной последовательной выборкой. В первом случае устанавливается предельное допустимое число последовательных испытаний (опытов, проб и т.п.). Большинство применяемых в теории статистических решений с экспериментом принципов оптимальности выбора совпадает с уже рассмотренными. Наибольшее применение находит байесовский подход - поиск стратегии, наилучшей в среднем. Применение этого принципа гарантирует получение максимального в среднем результата при многократном проведении операции.

Билет №5

Задача линейного программирования (ЛП) и ее свойства. Виды задач ЛП, сведение к каноническому виду.

Основоположники: Л. Кантарович, Дж. Данцич.

Линейное программирование (ЛП) является наиболее простым и лучше всего изученным разделом математического программирования. Характерные черты задач ЛП следующие: 1) показатель оптимальности L(X) представляет собой линейную функцию от элементов решения X=(x1,x2,…,xn); 2) ограничительные условия, налагаемые на возможные решения, имеют вид линейных равенств или неравенств. Общая форма записи модели задачи ЛП:

Целевая функция (ЦФ):

L(X)=c1x1+c2x2+…+cnxn->max(min)

При ограничениях(1):

a11x1 + a12x2 +…+ a1nxn <=(>=,=)b1,

a21x1 + a22x2 +…+ a2nxn <=(>=,=)b2,

………

am1x1 + am2x2 +…+ amnxn<=(>=,=)bm,

x1,x2,…,xk >=0 (k<=n).

При описании реальной ситуации с помощью линейной модели следует проверять наличие у модели таких свойств, как пропорциональность и аддитивность. Пропорциональность означает, что вклад каждой переменной в ЦФ и общий объем потребления соответствующих ресурсов должен быть прямо пропорционален величине этой переменной. Например, если продавая j-й товар в общем случае по цене 100 рублей, фирма будет делать скидку при определенном уровне закупки до уровня цены 95 рублей, то будет отсутствовать прямая пропорциональность между доходом фирмы и величиной переменной xj. Т.е. в разных ситуациях одна единица j-го товара будет приносить разный доход. Аддитивность означает, что ЦФ и ограничения должны представлять собой сумму вкладов от различных переменных. Примером нарушения аддитивности служит ситуация, когда увеличение сбыта одного из конкурирующих видов продукции, производимых одной фирмой, влияет на объем реализации другого. Допустимое решение – это совокупность чисел (план) X=(x1,x2,…,xn), удовлетворяющих ограничениям задачи (1). Оптимальное решение – это план, при котором ЦФ принимает свое максимальное (минимальное) значение. Задача:Выбор рац произв программы (на основе предприятия). Вып-ся неск-ко видов продукции j=1,2,3…n; Н опред номенклатуру и Vроизв программы. X=x1, x2…xn – искомый объем прод-ции X = (x1 x2 x3….Xn); C=C1 C2 C3…Cj Cn, прогнозн цены.

Суммарн реализ = ∑ СjXj → max.(Критерий выбора решений). Это линейная ф-ция т.к. неизвестные в первой степени. Переменные Х называют управляемыми. Пусть для пр-ва исп-ся огранич ресурсы (год ожид V, доступ пред-тию) b1 b2 b3 bi bm чаще всего m<<n, аij расход ресурса i на ед-цу продукции j

С = с1 с2 с3… сn

Х = х1 х2 х3… хn

a11 a12 a13… а1n | b1

A = a21 a22 a23… а2n | b2

am1 am2 am3…amn | b m

∑a1j*xj ≤b1 - расход первого ресурса; ∑a2j*xj≤b2 – расход второго ресурса; Xj ≥ 0, j=1,m ограничения на ресурсы можно свести к виду ∑amj*Xj≤bmj=1,m.Свойства задачи ЛП: 1. От перемены мест столбцов и строк задача не изменится 2. Все неравенства можно преобразовать в равенства если ввести дополнительные переменные означающие неиспользованный остаток ресурсов 5x +6x2≤16; 5x+6x2 +S1 = 16, S ≥0 неисп остаток, Ст – транстпонированая, (с,x) – max, A’x≤b, α≤x≤β.

Билет 6

Постановка задачи выбора решений в условиях неопределенности с возможность проведения единичного идеального эксперимента. Содержательный анализ возможностей практического использования метода, его достоинств и недостатков.

1).правила проведения, которые определяются до его начала и в процессе реализации не изменяются;2).даём достаточно достоверные вероятности.ИЭ-дающий высоконадежные результаты.ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗПР С ЕИЭ.ЦЕЛЬ:1).оценить эффективность применения ЕИЭ до его проведения;2).оценить возможные мах доходы в случае проведения ЕИЭ и в случае отказа.1ШАГ:что можно получить без ЕИЭ(доход?);2ШАГ.Доход с ЕИЭ;3ШАГ:Эффективность ЕИЭ;4ШАГ:целесообразность ЕИЭ.ИНФО К РАСЧЕТАМ:1).Возможные ситуации на рынке Пn(привлечение экспертов);2).возможные стратегии Хm(внутренняя информация);3).Платежная матрица А с достаточно достоверными показателями;4).вектор q – грубые, предварительные;5).затраты на эксперимент(априорные-до;апосториорные-после).1ШАГ:подход Байеса:-оцениваем доход, но является ненадежной(оценка весьма приближенная);Найдем Хопт без ЕИЭ.2ШАГ:ориентируемся на ситуацию с наибольшей вероятностью.Предположим,что это П1.Найдем доход мах в столбце П1,это L1=>выберем стратегию с мах доходом.Если П2L2,…ПnLn.Оцениваем средний доход при проведении ЕИЭ:;3ШАГ:а_эксп^ср-а_мах^ср=а_{эк.доход};4ШАГ:а_{эксп.эфф}=(а_эк.дох-С(затраты))/С;5ШАГ:необходимо сравнить а_{эксп.эфф} с внутренней нормой прибыли.Если а_{эксп.эфф}>=IRR,то целесообразно применить ЕИЭ, а_{эксп.эфф}<IRR-применяется метод компромиса с учетом риска.Если ЕИЭ целесообразен, то Затраты д.б.<min ср.риска!

Билет №7

Геометрический смысл задачи ЛП. Возможные исходы при решении задач ЛП.

Все неравенства можно преобразовать в равенства (КАНОНИЧЕСКОЕ ЛП) если ввести дополнительные переменные означающие неиспользованный остаток ресурсов

5x +6x2≤600; 3х1+7х2≥18

5x+6x2 +у1 = 600 (х1≤0, х2 ≥0, у1 ≥0). 3х1+7х2-у2=18 (у2≥0)

у1 ≥0 неисп остаток,

В осн огранич Мб условия:

≤0 – огран на рес-сы либо на выпуск прод с огранич спросом;

=0 – спец заказы – выпуск прод строго вып-ся;

≥0 – пок-ль д б не ниже заданной границы.

, (с,x) – max, A’x≤b, α≤x≤β

(с,x) – max; Ax=b, x≥0. пусть выполняется два продукта, пусть есть ф-ция цели с1х1+с2х2 – max; 3х1+5х2 – max; х1, х2≥0; 3х1+4х2≤12; b1=12. Внутри ∆ допустимые множества.

Теорема 1: Допустимое множество решений (D=O) задачи ЛП (если она разрешима) представляет собой выпуклое многогранное множество (Выпуклым называется множ-во которое с любыми двумя принадлеж ему точками включает и соединяющий их отрезок), то сис-ма осн огранич не противоречит и имеет решение.

Теорема 2: Если D=O, то оно содержит хотя бы одну вершину.

Теорема 3: Если задача ЛП разрешима, т.е. м найти max или min, то оптим множ-во содержит хотя одну вершину. (Оптим реш Х* =(х*1, …х*n), F(x*) ≥F(x), x принадл D, F – функция целей. Если реш оптим, то улучшить его при заданном условии и по задан критериям невозможно. Сов-ть оптим реш – оптим множ-во).

Теорема 4: Д/того, чтобы задачу на max преобразовать в задачу на min , коэф-ты критерия н умножить на -1 и наоборот.

Математич задача ЛП: поиск max линейн функции n – переменных (1) при допустим условиях (2,3). В математике наз поиск условного экстремума.

Билет 8

Задача выбора решений в условиях неопределенности с возможностью проведения единичного неидеального эксперимента. Проблемы формирования информации к задаче и практическая эффективность метода.

ИНФО К РАСЧЕТАМ:(а,б,в,г,д)+возможные исходы эксперимента Sk,полная группа событий.Доп.матрица элементов:,т.к. полная группа событий!1).сумма вероятностей по строке ΣW ≠1,т.к.возможные исходы эксперимента не учитывают все исходы события;2).элементы матрицы W определяются но не исключаются и вспомогательные расчеты с использованием ретроспективной информации.ЕДИНИЧНЫЙ НЕИДЕАЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ.

1ШАГ:решить задачу при отказе от эксперимента,оценить максимально ожидаемый доход:, q_j-априорные вероятности,Σq_j=1;

2ШАГ:предположим,что мы провели эксперимент,который завершился каким-то исходом(доп.инф.получена!)-уточнение вероятностей q_j.Апостариорные вероятности ситуации на рынке:q_j(V_j¹,V_j²,V_j³),j=1…4,.Новые вероятности вычисляются по формуле Байеса.Оценка ожидаемого дохода с учетом вероятностей V_jr:;

3ШАГ:определить ожидаемый доход в целом от всех исходов:;

4ШАГ:оценка ожидаемого дохода от проведения эксперимента:а_мах^{общ.эксп}-а_мах^ср=а_доп^эксп.Сопоставление его с затратами на эксперимент:(а_доп^эксп-С)/С↔IRR.Эксперимент будет эффективным если >IRR.Если ЭКСПЕРИМЕНТ целесообразен,то решающие правила:S₁X_opt^s1, S₂X_opt^s2, S₃X_opt^s3.

Билет 9