1. Методы решения нелинейных задач мп. Содержательное истолкование градиентных методов.

Методы нелинейного программирования могут быть охарактеризованы как многошаговые методы или методы последующего улучшения исходного решения. Нельзя сказать, какое число шагов гарантирует нахождение оптимального значения с заданной степенью точности. Выбор величины шага представляет серьезную проблему, от успешного решения которой во многом зависит эффективность применения того или иного метода. Разнообразие методов решения задач нелинейного программирования объясняется стремлением найти оптимальное решение за наименьшее число шагов.

Большинство методов нелинейного программирования используют идею движения в n-мерном пространстве в направлении оптимума. При этом из некоторого исходного или промежуточного состояния U^k осуществляется переход в следующее состояние U^k+1 изменением вектора U^kна величину DU^k, называемую шагом , т.е. U^k+1=U^k+DU^k 

Шаг ,т.е. его величина и направление определяется как некоторая функциясостояния U^k: DU^k=f(U^k) 

Функция исходного состояния U^k: U^k+1=U^k+f(U^k) 

DU^K=f(U^k) ,U^k-1...,U^k-2 U^k+1=U^k+f(U^k),U^k-1...,U^k-2 

Выбор метода определяется сложностью объекта и решаемой задачей оптимизации.

Градиентные методы, в основе которых лежит свойство градиента функции в точке (вектора частных производных, вычисленного в точке) как указателя направления наибольшего роста функции в окрестности точки. В основу градиентных методов поиска оптимума положены вычисления и анализ производных целевой функции R(U). Если аналитический вид R(U) известен, то вычисление производных dR/dU_j чаще всего не составляет особого труда. В противном случае единственным способом определения производных являются численные методы.

где DU_j -величина приращения независимой переменной U_j. Точность приближения зависит от величины приращения DU_j.

Процесс поиска оптимума в методе градиента также осуществляется в два этапа. На первом находятся значения частных производных по всем независимым переменным, которое и определяет направление градиента в рассматриваемой точке. На втором этапе осуществляется шаг в направлении, обратном направлению градиента, т.е. в направлении наискорейшего убывания целевой функции. Алгоритм градиентного поиска:

Применяется нормализованный вектор градиента, указывающий лишь направление наискорейшего изменения целевой функции, но он не указывает скорости изменения по этому направлению. При этом шаг поиска определяется величиной h^k, стратегию изменения кот м\о строить независимо от абс. вел-ны градиента.

Недостатком градиентного метода является то, что при его использовании можно обнаружить только локальный минимум. Для того, чтобы найти у функции другие локальные минимумы, необходимо проводить поиск из других начальных точек. Таким образом, с помощью метода градиента каждый локальный минимум целевой функции можно охарактеризовать некоторой областью "притяжения", обладающей тем свойством, что при задании начального состояния U⁰ в границах этой области метод градиента всегда приводит в один и тот же локальный минимум.

Билет 20

История и опыт применения математических моделей в экономике (таблицы Кэне, модели простого и расширенного воспроизводства, модели мировой динамики и микроэкономики).

ЭММ: эк. кибернетика, сист. анализ, теория принятия реш, эконометрика, ст-ка.

История применения ЭММ: 50-60 лет – срок, в теч кот были хорошо развиты матем методы по этой дисциплине.

Ф. Кене: таблица Кене – одна из первых, кот была применена в практике. На нее ссылались Маркс и др. Построил количественную модель экономики ("Экономическая таблица" (1758), "Зигзаг д-ра Кенэ").

Значительную роль играл метод моделирования в трудах К.Маркса. Это схемы воспроизводства экономики в разрезе 2-х подразделений (алгебраические уравнения и неравенства); законы стоимости и цены производства (параметрический математический анализ). И все же главное у Маркса – кач-ный анализ категорий политэкономии кап-зма, а не конкретное применение мат. методов.

Кене разраб хоз модель Франции, разбив население на несколько сословий6 земледельцы (+церковь), крестьяне (ремесленники), царь-землевладелец.

Модель Римского клуба: Медоус, Форестер. Разработали для ООН глобальную модель развития цивилизации. Ее параметры: увелич населения, увелич продуктов питания, загрязнение окруж среды, генетические засорения, ресурсоистощение, дефицит чистой воды.

Предмет исследования ЭММ: управляемые эк объекты и процессы.

Система – сов-ть взаимосвяз-х элементов, облад-щая опред-ной целостностью (относит изолиров-тью от внеш среды), имеющая внеш (и внутр связи) с окруж средой и присущую ей внутр цель развития.

Эк системы все являются соц-эк и челов-машин, и с позиции кибернетики – большим и сложными.

Большая – требует много рес-сов для ее управления. (м возникнуть дефицит для ее управления) Малая – мало рес-сов.

Сложная – дефицит инфо. Простая – достат инфо для адекватного управления.

Рес-сы: энергетич (энергодостат, энергокритич); материал (большая, малая); информ (простая, сложная)

К.Маркс: Заметно, что в наибольшей степени "математизированы" технические и естественные науки: физика, астрономия, химия и т.д. В меньшей - социальные общественные науки.

19 в. - "Математическая школа" в политэкономии (маржинализм).

(швейц.) Вальрас Леон (1834-1910) - основатель лозаннской школы, "теории предельной полезности", модели общего рыночного равновесия;

(нем.) Госсен Герман (1810-1858) – мат. основы теории потребления;

(англ.) Джевонс Уинстенли - "предельная полезность";

(фр.) Курно Огюст (1801-1877) - основатель математической экономики, формализовал теорию фирмы, функцию спроса от цены;

(нем.) Энгель Эрнст - функции спроса и эластичности;

(англ.) Эджворт Френсис - "кривые безразличия"; функция полезности (1881);

(итал.) Парето Вильфредо (1848-1923) - глава лозаннской школы после Вальраса. - принцип многоцелевой оптимизации;

(англ.) Маршалл Альфред (1842-1924) - "кембриджская школа", неоклассика.

Конец 19 в. - начало 20 в. - статистическое направление (изучение экономических циклов и прогнозирование хозяйственной конъюнктуры на основе методов математической статистики).

При обосновании антикризисных мер в 30-е гг. 20 в. (англ.) Джон Мейнард Кейнс использовал макроэк. модели. "Общ. теория занятости, % и денег" (1936).

(амер.) Леонтьев Василий (1906) – основ-ник метода МОБа

(амер.) фон Нейман Джон (Янош) (1903-1954) - достижения в области прикладной математики; логич. основы ЭВМ и автоматов; теория игр; макромодели.

Кондратьев Николай (1892-1938) - "длинные волны конъюнктуры".

(амер.) Самуэльсон Пол (1915) - автор учебника "Экономикс".

В 1939 г. Канторович Л.В. (1912-1986) сформулировал задачи линейного программирования и методы их решения. В США в конце 40-х гг. ЛП "переоткрыл" Джордж фон Данциг и предложил "симплекс-метод" их решения.

Современные экономисты-математики, академики: Немчинов В.С. (1894-1964); Аганбегян А.Г. (1932); Гранберг А.Г. (1936); Макаров В.Л. (1937); Шаталин С.С. (1934-1997); Петраков Н.Я. (1937); Львов Д.С. (1930); Федоренко Н.П. (1917)

Билет 22