elemen_teorija

как следствие, получаем цепочку равенств

X F x

n

(

)(

))

∑X (

∫ ∫

f(x) dν(x, ·) µ(dx) = i=1 ∫

κi · fχF [X × Y ] ·, Φi(·) dµ =

n

(

)

∑X

=

i=1 ∫

κi(x)(fχF [X × Y ]) x, Φi(x)

µ(dx).

Y

(5.7.32)

Предложение 5.7.4. Если

f

n

×

Y,

X

Y

)

и

F

X

,

то

B(X

(

F

∑Ai[F ]

)

∫

f d(µ

ν) = i=1

∫

κif

·, Φi(·)

dµ.

(5.7.33)

Доказательство. Будем использовать представление (5.7.32). Если j

1, n и x X, то

( )( ) ( ) ( ) fχF [X × Y ] x, Φj(x) = f x, Φj(x) χF [X × Y ] x, Φj(x) =

= f x, Φj(x)		χF x [Y ] Φj(x) .		(5.7.34)
С учетом (5.7.19) получаем(при	каждом фиксированном j				следующие
				1, n
	)	(	)

две возможности:

1) если x Aj[F ], то справедливо равенство

( )( ) ( ) fχF [X × Y ] x, Φj(x) = f x, Φj(x) ,

()

т.к. Φj(x) F x и χF x [Y ] Φj(x) = 1;

( )

2) если x X \ Aj[F ], то Φj(x) / F x , χF x [Y ] Φj(x) = 0 и

( )( )

fχF [X × Y ] x, Φj(x) = 0.

Объединяя случаи 1) и 2), мы получаем из (5.7.34) следующее представление

( ) ( )

fχF [X × Y ] x, Φj(x) = f x, Φj(x) χAj[F ][X](x) j 1, n x X.

Иными словами, имеем при j 1, n очевидное теперь равенство функций

( ) ( )

(fχF [X × Y ]) ·, Φj(·) = f ·, Φj(·) χAj[F ][X],

а тогда, как следствие, получаем, что		(	)	)·χAj[F ][Y ].
(	)
κj · (fχF [X × Y ]) ·, Φj(·) =		(κjf ·, Φj(·)

380

С учетом (3.7.4) и (5.7.32) имеем теперь следующее равенство

∫ ∫	n	∫
	f(x) dν(x, ·) µ(dx) = j=1		κjf ·, Φj(·) dµ.
X F x	∑Aj[F ]		(	)

С учетом теоремы 5.5.3 получаем теперь требуемое утверждение (5.7.33).

2

Отметим, что предложение 5.7.4 согласуется с предложением 5.6.6 (см.

вэтой связи (5.6.42) и (5.7.19).

Взаключении параграфа отметим, что рассмотренная в нем модель на основе измеримых отображений (5.7.10) позволяет в ряде случаем достаточно просто моделировать эффект, объективно имеющий смысл вычисления математического ожидания. В частности, такая модель, реализуемая в векторном варианте, пригодна (при должной интерпретации) в конструкциях, используемых при построении скользящих режимов в задачах управления; см. [8,9,17,18,25].

381

Литература

1.Александрян Р.А., Мирзаханян Э.А. Общая топология. - М.: Высшая школа, 1979. - 336 с.

2.Блекуэлл Д., Гиршик М.А. Теория игр и статистических решений. - М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1958. - 374 с.

3.Богачев В.И. Основы теории меры. - Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2006. Т.1. - 584 c.

4.Богачев В.И. Основы теории меры. - Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2006. Т.2. - 680 c.

5.Боровков А.А. Математическая статистика. Оценка параметров. Проверка гипотез. - М.: Наука, 1984. - 142 с.

6.Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры. - М.: Наука, 1968. - 272 с.

7.Вальд А. Статистические решающие функции. - В кн.: Позиционные игры. - М.: Наука, 1967. - С. 300–522.

8.Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. - М.: Наука, 1977. - 624 с.

9.Гамкрелидзе Р.В. Основы оптимального управления. - Тбилиси: Издво Тбил. ун-та, 1977. - 252 с.

10.Данфорд Н., Шварц М. Линейные операторы. Общая теория. - Издво иностр. лит-ры, 1962. - 895 с.

11.Дьедонне Ж. Основы современного анализа. - М.: Мир, 1964. - 430 с.

12.Иосида К. Функциональный анализ. - М.: Мир, 1967. - 624 с.

13.Келли Дж.Л. Общая топология. - М.: Наука, 1981. - 433 c.

382

14.Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Наука, 1976. - 543 c.

15.Колмогоров А.Н. К изложению основ лебеговской теории меры // Успехи мат. наук. 1950. Т.5. N 1. - С. 211–213.

16.Колмогоров А.Н. Основы теории вероятностей. 2-е изд. М.: Наука, 1964. - 120 с.

17.Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. - М.: Наука, 1974. - 455 с.

18.Красовский Н.Н. Управление динамической системой. Задача о минимуме гарантированного результата. - М.: Наука, 1985. - 518 с.

19.Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. - М.: Мир, 1970.

-416 c.

20.Лебег А. Интегрирование и отыскание примитивных функций. - ГТТИ, М.-Л., 1934. - 324 с.(1-е франц. изд.: 1904).

21.Лузин Н.Н. Собрание сочинений. Т. 1–3. М.: Физматгиз, 1953, 1958, 1959.

22.Меленцов А.А., Байдосов В.А., Змеев Г.М. Элементы теории меры и интеграла: (Учеб. пособие) - Свердловск: УрГУ, 1980. - 100 с.

23.Невё Ж. Математические основы теории вероятностей. - М.: Мир, 1969. - 309 с.

24.Пыткеев Е.Г., Ченцов А.Г. О некоторых свойствах топологии равномерной сходимости // Мат. и прикл. анализ : [межвуз. мат. науч. сб.].

-Тюмень: Изд-во Тюмен. гос. ун-та, 2003. Вып.1.- С. 165–182.

25.Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. - М.: Наука, 1981.-287 с.

26.Френкель А.А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. - М.: Мир, 1966. - 555 с.

27.Ченцов А.Г. Множества, события, вероятность (основные структуры).

-Екатеринбург: Ред.-издат. отдел ГОУ ВПО УГТУ-УПИ. 2006.- 199 с.

28.Ченцов А.Г. Приложения теории меры к задачам управления. - Свердловск: Средн.-Урал. кн. изд-во, 1985. - 128 с.

383

29.Ченцов К вопросу о продолжении меры. - В кн.: Методы негладкой оптимизации и задачи управления: Сб. науч. трудов. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1986. - С. 126–134.

30.Ченцов А.Г. О задаче продолжения меры //АН СССР. УНЦ. ИММ.

-Свердловск, 1983. - 81 с. - Деп. в ВИНИТИ 29.06.83, № 3504-83.

31.Шварц Л. Анализ. М.: Мир, Т. 1. 1972. - 824 с.

32.Ширяев А.Н. Вероятность. - М.: Наука, 1989. - 640 c.

33.Энгелькинг Р. Общая топология. - М.: Мир, 1986. - 751 с.

34.Bhaskara Rao K.P.S., Bhaskara Rao M. Theory of charges. A study of finitely additive measures. - New York: Acad. Press, 1983. - 253 p.

35.Chentsov A.G. Asymptotic attainability. - Dordrecht etc.: Kluwer Acad. Publ., 1997. - 322 c.

36.Chentsov A.G., Morina S.I. Extensions and relaxations.- Dordrecht; Boston; London: Kluwer Acad. Publ., 2002. - 408 с.

37.Chentsov A.G. Finitely additive measures and relaxations of extremal problems. - New York etc.: Plenum Publ. Co., 1996. - 244 p.

38.Christensen J.P.R. Finitely additive measure defined on sigma-field is automatically countably additive // Atti Sem. Mat. Fis. Univ. Modena. 2001. II. P. 509 – 511.

39.de Finetti B. (де Финетти) La pr´evision: ses lois logigues, ses sources subjectives, Annales de I´Institut Henri Poincare. 7. 1937. - P. 1 – 68.

40.Fichtenholz G.M., Kantorоvich L.V.(Фихтенгольц Г.М., Канторович Л.В.) Sur les op´erations lin´earies dans l´espace des fonctions born´ees.

-Studia Math., 5. 1934. P. 69–98.

41.Hildebrandt T.H. (Гильдебрандт Т.Г.) On bounded functional operations // Trans. Amer. Math. Soc., 36. 1934. P. 868–875.

42.Semadeni Z. Banach Spaces of Continuous Functions. - Warszawa: PWN, 1971. - 411 p.

43.Yoside K., Hewitt E. Finitely additive measures. - Trans. Amer. Math. Soc. 1952. V.72. P. 46–66.

384

Предметный указатель

аддитивность конечная (конечная аддитивность)	§ 2.2
аддитивность счетная (счетная аддитивность)	§ 2.3
аксиома выбора	§ 1.2
алгебра (множеств)	§ 1.7
база (топологии)	§ 1.7
банахова алгебра	§ 2.6
банахово пространство	§ 2.6
биекция	§ 1.2
борелевская σ−алгебра	§ 2.2
вероятность конечно-аддитивная	§ 2.2
вероятность переходная	§ 5.4
вероятность счетно-аддитивная	§ 2.3
вещественнозначная (функция)	§ 1.3
декартово произведение	§ 1.1
замыкание множества в топологическом пространстве	§ 1.7
измеримое пространство (ИП)	§ 1.7
измеримое пространство стандартное	§ 1.7
измеримость по Жордану	§ 4.9
измеримость функции	§ 2.8
индексная форма записи функции	§ 1.1
интеграл элементарный (элементарный интеграл)	§ 3.2
интеграл ярусный (ярусный интеграл)	§ 3.3
конечно-аддитивная вероятность	§ 2.2
конечно-аддитивная мера	§ 2.2
конечное множество	§ 1.4
конус	§ 1.6
линейная комбинация	§ 1.5
линейная оболочка	§ 1.6
линейные операции	§ 1.5
линейное пространство	§ 1.6
мера Дирака	§ 2.3
мера конечно-аддитивная (конечно-аддитивная мера)	§ 2.2
мера счетно-аддитивная (счетно-аддитивная мера)	§ 2.3
метрика	§ 1.7

385

метризуемое топологическое пространство	§ 1.7
метрическая топология	§ 1.7
множество	§ 1.1
мультипликативное семейство	§ 1.7
натуральный ряд	§ 1.3
неопределенный интеграл	§ 3.7
неравенство Чебышева	§ 4.4
неупорядоченная пара	§ 1.1
норма (sup-норма)	§ 2.6
область определения (отношение)	§ 1.1
обобщенное декартово произведение	§ 1.2
образ множества	§ 1.2
ограниченная функция	§ 1.3
оператор	§ 1.1
отношение	§ 1.1
полнота (вещественной прямой)	§ 1.3
полуалгебра множеств	§ 1.7
пополнение пространства с мерой	§ 4.12
порядок	§ 1.1
предпорядок	§ 1.1
принцип математической индукции	§ 1.3
продолжение меры	§§ 4.7 − 4.11
прообраз множества	§ 1.2
псевдометрика	§ 1.7
равномерная сходимость	§ 2.6
разбиение	§ 1.4
семейство	§ 1.1
симметрическая разность множеств	§ 1.1
ступенчатая функция	§ 2.7
счетная аддитивность	§ 2.3
сюръекция	§ 1.2
теорема о мажорированной сходимости	§ 4.5
топология	§ 1.7
топологическое пространство	§ 1.7
функция	§ 1.1

386

функция множеств

§ 2.2

хаусдорфова топология, хаусдорфово топологическое пространство § 1.7

число вещественное	§ 1.3
шар открытый	§ 1.7
ярусный интеграл	§ 3.3
ярусная функция	§ 2.7

387

Список основных сокращений

в/з — вещественнозначная (функция); ИП — измеримое пространство; к.-а. — конечно-аддитивная мера; п/м — подмножество; ПВ — переходная вероятность;

с.-а. — счетно-аддитивная (мера); ТП — топологическое пространство; ФМ — функция множеств; ЭИ — элементарный интеграл; ЯИ — ярусный интеграл.

388