elemen_teorija

С учетом предложения 3.9.2 и определения 3.9.1 имеем, что ha,b[c](aφ) = aξ = aha,b[c](φ).

Поскольку выбор a и φ был произвольным, установлено, что

ha,b[c](αf) = αha,b[c](f) α R f B(E, L). (3.9.41)

Выберем произвольно u B(E, L) и v B(E, L); тогда в силу (1.5.3) и предложения 2.7.5 имеем свойство

()

u + v = u(x) + v(x) x E B(E, L).

Согласно (3.9.37) и (3.9.38) определены следующие значения

ha,b[c](u) = lim u(t) R,

t↑c

c

](

v

) =

lim v(t)

R

,

ha,b[

t

c

↑

R

c u

+

v

) =

lim(u + v)(t)

.

ha,b[ ](

t

c

↑

[c](v).

Тогда

Полагаем для краткости, что γ = ha,b[c](u) и ζ = ha,b

ε ] 0, ∞[ δ ] 0, ∞[: |u(x) − γ| < ε

x E ∩ ]c − δ, c[;

(3.9.42)

ε ] 0, ∞[ δ ] 0, ∞[: |v(x) − ζ| < ε

x E ∩ ]c − δ, c[.

(3.9.43)

Пусть εo ] 0, ∞[, а δ1o ] 0, ∞[ выбрано с учетом (3.9.42) так, что

|u(x) − γ| <

εo

x E ∩ ]c − δ1o, c[.

(3.9.44)

2

Кроме того, пусть (см. (3.9.43)) теперь δ2o ] 0, ∞[ обладает свойством

|v(x) − ζ| <

εo

x E ∩ ]c − δ2o, c[.

(3.9.45)

2

Полагаем δ

o

o

o

o

o

, c[

= inf({δ1

; δ2}); имеем δ

] 0, ∞[, причем для x E∩]c − δ

(|

−

|

εo

)

(|

o

εo

)

u(x) γ <

2

& v(x) − ζ| <

2

.

Как следствие, получаем, что x E ∩ ]c − δ , c[

εo

εo

|(u + v)(x) − (γ + ζ)| 6 |u(x)

− γ| + |v(x) − ζ| <

+

= εo.

2

2

180

Тем самым установлено (коль скоро выбор εo был произвольным), что число γ + ζ R таково, что

ε ] 0, ∞[ δ ] 0, ∞[: |(u + v)(x) − (γ + ζ)| < ε x E ∩ ]c − δ, c[.

С учетом предложения 3.9.2 и определения 3.9.1 получаем, что

ha,b[c](u + v) = γ + ζ = ha,b[c](u) + ha,b[c](v).

Коль скоро выбор u и v был произвольным, установлено, что

ha,b[c](f + g) = ha,b[c](f) + ha,b[c](g) f B(E, L) g B(E, L). (3.9.46)

Из (3.9.41) и (3.9.46) имеем свойство линейности функционала (3.9.37). Проверим свойство ограниченности, фиксируя w B(E, L). Тогда для

θ = ha,b[c](w) = lim w(t) R

t↑c

имеем (см. определение 3.9.1) следующее свойство:

ε ] 0, ∞[ δ ] 0, ∞[: |w(x) − θ| < ε x E ∩ ]c − δ, c[. (3.9.47)

Поскольку a < c, то (см. (3.9.1)) E ∩ ]c−δ, c[ ≠ δ ] 0, ∞[. Как следствие, из (3.9.47) получаем тогда (поскольку |θ| 6 |w(x)| + |w(x) − θ| при x E) свойство

|θ| < w + ε ε ]0, ∞[.

В итоге |θ| 6 w и, следовательно, имеем оценку

|ha,b[c](w)| 6 w .

Коль скоро выбор w был произвольным, установлено, что

|ha,b[c](f)| 6 f f B(E, L).

С учетом (3.9.41), (3.9.46) получаем теперь (см. (3.5.1)) требуемое свойство ha,b[c] B (E, L). 2

Из (3.9.4) и предложения 3.9.3 получаем в силу теоремы 3.6.1, что

c ]a, b] !µ A(L) : ha,b[c] = Iµ.
С учетом данного свойства и (3.3.7) полагаем, что c		]a, b] def µa,b(c)
A(L) :
ha,b[c](f) = ∫	f dµa,b(c) f B(E, L).	(3.9.48)

E

181

Отметим, что из (3.9.48) следует, в частности, что (см. предложение 2.7.3)

µ(a,bc)(L) = ha,b[c](χL) = lim χL(t) c ]a, b] L L; (3.9.49)

t↑c

здесь мы учитываем, конечно, что χ B(E, L) при Λ L. Введем теперь в рассмотрение

Fa,b(c) = {L L \ { } | ( inf(L) < c) &	(c 6 sup(L))} =
= {L L \ { } | c ] inf(L), sup(L)]}	c ]a, b]	(3.9.50)
Предложение 3.9.4. Если c ]a, b], то
(µa,b(c)(L) = 1 L Fa,b(c))& (µa,b(c)(L) = 0 L L \ Fa,b(c)).		(3.9.51)

Доказательство. Фиксируем c ]a, b]. Выберем произвольно F Fa,b(c).

Пусть α = inf(F ) и β = sup(F ) (учитываем, что F L \ { }; см. (3.9.50)). Тогда α E, β ]a, b], F = [α, β[; кроме того, из (3.9.50) имеем, что c ]α, β]. Полагаем для краткости

	(3.9.52)
ξ = ha,b[c](χF ) = lim χF (t);

t↑c

ясно, что (см. (3.9.49)) µ(a,bc)(F ) = ξ. Из (3.9.52) вытекает, что (см. определение 3.9.1) ξ R есть такое число, что

ε ] 0, ∞[ δ ] 0, ∞[: |χF (x) − ξ| < ε x E ∩ ]c − δ, c[. (3.9.53)

Поскольку α < c, то c − α ] 0, ∞[ и ]α, c[=]c − (c − α), c[. При этом

χF (x) = 1

x ]α, c[.

(3.9.54)

Если εo ] 0, ∞[, то (см. (3.9.53)) подбираем δo ] 0, ∞[ так, что

|χF (x) − ξ| < εo

x E ∩ ]c − δo, c[.

(3.9.55)

6 c−κo, c−δo 6 c−κo,

Полагаем κo = inf({c−α; δo}); тогда κo ] 0, ∞[, α

c

−

κo

=

c + (c − κo)

]c

−

κ

, c[

∩

E, χ

(c

−

κo

) = 1

2

2

2

o

F

182

(см. (3.9.54)). С учетом (3.9.55) имеем теперь неравенство |1−ξ| < εo. Коль

скоро	ε	o выбиралось произвольно, установлено, что |(c)−	ξ	|		∞
		1			< ε ε	] 0, [.

Поэтому |1 − ξ| = 0, т. е. ξ = 1. Следовательно, µa,b(F ) = 1. Поскольку выбор F был произвольным, первое положение в (3.9.51) установлено.

Выберем произвольно Λ	(c)	. Тогда Λ	L	, но Λ	(c)	. При этом
	L \ Fa,b				̸ F
					a,b
(Λ = ) (Λ L \ { }).						(3.9.56)

Поскольку µ(a,bc) (add)[L], то в силу (2.2.19) µ(a,bc)( ) = 0, а тогда (см.(3.9.56)) истинна импликация

(Λ = ) = (µa,b(c)(Λ) = 0).

(3.9.57)

Пусть теперь Λ L \ { }. Тогда (см. (3.9.5)) числовые значения u =

inf(Λ) E и v = sup(Λ) ]a, b] таковы, что

Λ = [u, v[.

При этом в силу (3.9.50) имеем по выбору Λ, что в рассматриваемом случае

(c 6 inf(Λ)) (sup(Λ) < c).

Следовательно, (c 6 u) (v < c). При этом

ζ = ha,b[c](χ ) = lim χ (t)

t↑c

обладает тем свойством, что

ε ] 0, ∞[ δ ] 0, ∞[: |χ (x) − ζ| < ε x E ∩ ]c − δ, c[. (3.9.58)

Поскольку (при нашем условии a < c) E ∩ ]c − δ, c[ ≠ δ ] 0, ∞[, то в случае c 6 u имеем равенство χ (x) = 0 при x [a, c[, а тогда с учетом (3.9.58) получаем следующую импликацию:

(c 6 u) = (ζ = 0).

(3.9.59)

Рассмотрим случай v < c. Тогда c − v ] 0, ∞[, ]v, c[=]c − (c − v), c[. При δ ] 0, ∞[ поэтому ]v, c[ ∩ ]c − δ, c[ P′(E) (в самом деле, inf({δ; c − v}) ] 0, ∞[ и ]v, c[ E). Кроме того, χ (x) = 0 при x ]v, c[. Тогда с учетом (3.9.58) получаем, что |ζ| < ε ε ] 0, ∞[. Следовательно, |ζ| = 0, т. е. ζ = 0. Итак, импликация

(v < c) = (ζ = 0)

183

установлена, что в сочетании с (3.9.59) означает: ζ = 0 во всех возможных случаях, если только Λ L \ { }. Следовательно, имеем по определению ζ, что истинна импликация

(Λ L \ { }) = (µ(a,bc)(Λ) = 0).

С учетом (3.9.56), (3.9.57) получаем окончательно µ(a,bc)(Λ) = 0. Коль скоро выбор Λ был произвольным, установлено второе положение в (3.9.51). 2

Из (2.2.6), (2.2.7) и предложения 3.9.4 следует, в частности, что

µ(a,bc) T(L) c ]a, b]

(отметим в этой связи, что E Fa,b(c), если только c ]a, b]; см. (3.9.1), (3.9.50)). Следовательно, при всяком выборе c ]a, b] имеем в силу (3.9.38),

(3.9.48), что

µ(c)	(	) :	f dµ(c)	lim f(t)	f	B(E,	L	).	(3.9.60)
a,b	T L	∫	a,b	= t↑c

E

Отметим, что (0,1)-мера в (3.9.60) не является с.-а. (это установлено фактически в [28, c. 115]), но мы не будем сейчас останавливаться на этом. Позднее мы к этому свойству вернемся после установления ряда положений, касающихся представления с.-а. мер. Сейчас отметим только, что в силу (3.9.50) при всяком выборе числа c ]a, b] и натурального числа n N

		c		c − a	, c	(c)	,
	[		−			[ Fa,b
				n

а потому µa,b(c)([c −	c−na	, c[) = 1	(см. предложение 3.9.4)). В то же время при
фиксированном c ]a, b]			− n		[)n N	↓
([
		c	c − a	, c			.

Стало быть, к.-а. мера (3.9.60) локализована в сколь угодно малой левой полуокрестности точки c, т. е. «слева» от точки c и при этом сколь угодно близко к c. Говоря об устройстве к.-а. меры в (3.9.60), отметим с учетом общего определения индикатора (см. (1.5.12)), что при условии c ]a, b] и

(c)

U = Fa,b

µ(a,bc) = χU [L].

Это равенство вытекает из предложения 3.9.4. Иными словами, µ(a,bc) есть индикатор семейства U, рассматриваемого как п/м L. Из этого свойства,

184

являющегося частным случаем очень общего положения о связи к.-а. (0,1)- мер и ультрафильтров — специальных семейств измеримых множеств — вытекает также, что

(c)	= (	µ(c)	−1	({1})	c	a, b	.
Fa,b		a,b)			]	]

Мы воздерживаемся сейчас от развития данной аналогии, отсылая к [35, § 7.6].

Отметим еще одну полезную конструкцию ФМ, определенных на L. Будем использовать (3.9.5): если g R[a,b] (т. е. для функции g, действующей из [a, b] в R), то

(st)[g] : L −→ R

	и
определяем условиями: (st)[g]( ) = 0
(st)[g](L) = g(sup(L))−g(inf(L))		L L \ { }	(3.9.61)

Предложение 3.9.5. Если g R[a,b], то (st)[g] (add)[L].

Доказательство данного весьма очевидного предложения опустим (см. [28, c. 114]). Полагаем, что

			R	[a,b]	| g(t1) 6 g(t2)	t1 [a, b] t2 [t1, b]}. (3.9.62)
(mo)+[a; b] = {g
Из (3.9.61), (3.9.62) и предложения 3.9.5 вытекает, что
			(st)[g] (add)+[L] g (mo)+[a; b].
		b				b
Полагаем, что ga :			[a, b] → R определяется условием ga(t) = t t [a, b].
b		b			b	и
Тогда la	= (st)[ga]		(add+[L]; la( ) = 0

lba(L) = sup(L) − inf(L) L L \ { }.

Иными словами, lba([u, v[) = v − u u [a, b] v [u, b]. Следовательно, lba есть функция длины.

185

Глава 4

СЧЕТНАЯ АДДИТИВНОСТЬ И ЕЕ ПРОСТЕЙШИЕ СЛЕДСТВИЯ; ПРОДОЛЖЕНИЯ МЕР

§4.1. Введение

Внастоящей главе мы обращаемся к традиционному случаю применения с.-а. мер для целей интегрирования в духе классической теории Лебега. Эти конструкции, однако, будут рассматриваться на своеобразном «фоне» к.-а. теории. Важную роль при этом будет исполнять свойство непрерывности с.-а. меры на монотонных последовательностях измеримых множеств. С использованием данного свойства удается «снять» некоторые патологии к.-а. интегрирования. Мы ограничиваемся здесь, однако, случаем интегрирования ограниченных функций, следуя основной для данной книги линии изложения, связанной с теоремой 3.6.1. В этом направлении наиболее важным представляется распространение свойства непрерывной зависимости интеграла при изменении подинтегральной функции в случае, когда используется не равномерная, а всего лишь поточечная сходимость. Данное распространение актуально по многим причинам. В частности, потребность в упомянутом свойстве возникает во многих конструкциях теории вероятностей, одна из которых будет рассмотрена в следующей главе (речь идет о переходных вероятностях и об их интегрировании). Основную роль в упомянутых построениях играет теорема Лебега о мажорированной сходимости, которая и будет приведена в настоящей главе в простейшей, но достаточной для всех наших целей, форме. Будет приведен также пример, показывающий существенность использования (для построения интеграла) с.-а. мер; имеется в виду существенность последнего свойства для справедливости теоремы о мажорированной сходимости.

186

Здесь же полезно упомянуть и некоторые другие моменты (они иллюстрируются примерами), когда при использовании к.-а. мер возникают «патологии» в очевидных, казалось бы, ситуациях. Складывается впечатление, что действовать при построении к.-а. теории меры по аналогии с классической лебеговской теорией следует с учетом вышеупомянутых обстоятельств, т. е. проявляя известную осторожность в вопросах прямого переноса фактов классической теории меры на более общий случай к.-а. мер и интегралов по этим мерам. Представляется, что настоящая глава может быть полезной в этом качестве, хотя и ограничивается, по сути дела только элементарной теорией интегрирования.

Еще один важный вопрос, обсуждаемый в настоящей главе, связан с проблемой продолжения меры. Он также связан с вопросами интегрирования. В самом деле, располагая мерой на «бедном множествами» ИП, мы сможем интегрировать сравнительно мало функций; в частности, это очевидным образом проявляется для ярусных функций. Чтобы расширить круг функций, допускающих интегрирование, естественно использовать более изощренные ИП. Но тогда встает вопрос о распространении на такие «богатые множествами» ИП исходной меры (к.-а. или с.-а.), т. е. вопрос о продолжении меры, заданной первоначально. В настоящей главе обсуждаются некоторые конструкции продолжения; а именно: конструкции, в той или иной мере конструктивные или хотя бы обозримые. В части, относящейся к продолжению к.-а. меры, выделяем продолжение по Жордану, которое связываем со схемой Каратеодори. Что же касается традиционного лебеговского продолжения с.-а. меры, то оно в полной мере здесь не рассматривается; этому вопросу посвящено большое число работ по общей теории меры; мы придерживаемся здесь идейно одного из вариантов, приведенного в [23, гл. I] и ограничиваемся продолжением с.-а. меры с алгебры множеств на порожденную (этой алгеброй) σ−алгебру. Однако

вотличие от рассматриваемых обычно «индивидуальных» продолжений мер, определенных первоначально на алгебре множеств, мы рассматриваем здесь оператор продолжения, для которого устанавливаются важные свойства изометрического изоморфизма (в двух характерных вариантах). Итак, мы ограничиваемся здесь вопросами, не рассматриваемыми обычно

влитературе по классической теории меры, действуя в основном в духе логики «универсальных» (при изменении меры) конструкций.

187

§4.2. Конечная и счетная аддитивность функций множества

Как и в предыдущей главе фиксируем множество E; используем шкалу измеримых структур (2.2.2), а также определения к.-а. и с.-а. мер в главе 2. Кроме того, следуем определениям § 1.7, относящимся к монотонной сходимости последовательностей измеримых множеств. На этой основе будет введено известное [3, 23] свойство непрерывности значений меры на

монотонных последовательностях множеств.
Если (Ai)i			: N → P(E) и A P(E), то, как легко видеть,
		1,N
		((Ai)iN ↓ A) ((E \ Ai)iN ↑ (E \ A)).						(4.2.1)
Проверка (4.2.1) использует свойство двойного дополнения: E\(E\H) = H
при H P(E). Если L π[E], то полагаем, что
			C (L, R) = {µ RL | (Ai)iN LN
			( (Ai)iN ↓ = (µ(Ai))iN −→ 0				)};	(4.2.2)
элементы	множества (4.2.2) условимся называть ФМ, непрерывными в									.
	(			3.9	) (	)
Отметим, кстати, что в §					указан пример к.-а. меры, не			обладающей
								(c)
свойством, определяющим множество (4.2.2); речь идет о к.-а. мере µa,b										,

где c ]a, b]. Отметим также, что из общего определения конечной адди-

тивности в § 2.2 вытекает, что при всяком выборе L (alg)[E], L1	L и
L2 L, множество L1 L2 L таково, что
(L1 ∩ L2 = ) = (µ(L1 L2) = µ(L1) + µ(L2) µ (add)[L]).	(4.2.3)

Понятно, что для к.-а. мер на алгебре множеств непрерывность в достаточна для непрерывности на любых монотонных последовательностях измеримых множеств: справедливо следующее

Предложение 4.2.1. Если L (alg)[E], (Ai)iN LN и A L, то

((Ai)iN ↓↑ A) (	(	)
		µ(Ai) iN → µ(A) µ (add)[L] ∩ C (L, R)). (4.2.4)

Доказательство. Фиксируем L, (Ai)iN и A в согласии с условиями. Полагаем истинной посылку доказываемой импликации (4.2.4). Тогда

((Ai)iN ↓ A) ((Ai)iN ↑ A).

(4.2.5)

188

Пусть µ (add)[L] ∩ C (L, R). Рассмотрим отдельно оба случая в (4.2.5).
∩	j N . Тогда
1) Пусть (Ai)iN ↓ A, т. е. A = Ai и Aj+1 Aj
iN
(Ai \ A)iN : N −→ L	(4.2.6)

(используем аксиомы алгебры множеств; см. § 1.7). Для последовательности (4.2.6)

(Ai \ A)iN ↓ .

()

Тогда (см. (4.2.2)) µ(Ai \ A) iN → 0. С другой стороны, при j N имеем

( ) ( )

A (Aj \ A) = Aj & A ∩ (Aj \ A) = ,

а тогда µ(Aj) = µ(A) + µ(Aj \ A). Как следствие,

()

µ(Ai) iN −→ µ(A).
Итак, установлена следующая импликация
((Ai)iN ↓ A)= (		(	)
			µ(Ai) iN −→ µ(A)).	(4.2.7)
2) Пусть (Ai)iN ↑ A, т. е. A =			Ai и Aj Aj+1 j N . Последова-

iN

тельность

(A \ Ai)iN : N −→ L

обладает следующим свойством сходимости

(A \ Ai)iN ↓ .

С учетом (4.2.2) имеем по выбору µ свойство

(	)	(4.2.8)
	µ(A \ Ai) iN −→ 0.

При этом для каждого j N имеем (дизъюнктное) разбиение A

( ) ( )

A = Aj (A \ Aj) & Aj ∩ (A \ Aj) = ,

откуда в силу аддитивности µ имеем следующее равенство

µ(A) = µ(Aj) + µ(A \ Aj).

Из (4.2.8) следует теперь свойство сходимости

()

µ(Ai) iN −→ µ(A).

189