elemen_teorija

где учтен тот факт, что 1, m и m + 1, m + n образуют разбиение «отрезка» 1, m + n в сумму двух непустых п/м. При этом m = |1, m| и для тожде-

	ственной биекции j (bi)[1, m; 1, m] (для которой j(s) = s s 1, m)
	имеем:					m		m
	∑
						∑		∑
			ν(Γk) =			ν(Γj(i)) =		ν(Γi)
						i=1		i=1
	k 1,m

(мы действуем в полном соответствии с определениями главы 1). С учетом (4.3.22) получаем равенство

∑	∑	k m∑			∑				∑
m+n	m					m
	ν(Γk) = ν(Γi) +			ν(Γk) = ν(Li) +						ν(Γk) =
k=1	i=1				i=1
			+1,m+n				k m+1,m+n
		= µ(A1) +				ν(Γk).			(4.3.23)
					+1,m+n
			k m∑

Пусть r : 1, n → m + 1, m + n действует по правилу: r(j) = m + j. Если k m + 1, m + n, то k − m 1, n и r(k − m) = k. Итак, r сюръективно. Кроме того, r очевидным образом инъективно: для j1 1, n и j2 1, n

()

r(j1) = r(j2) = (j1 = j2).

В итоге r (bi)[ 1, n; m + 1, m + n], а тогда n = |m + 1, m + n| и

∑∑n

ν(Γk) = ν(Γr(j)). (4.3.24)

k m+1,m+n j=1

Однако имеем при j 1, n включение r(j) m + 1, m + n и, следовательно,

Γr(j) = Λr(j)−m = Λj.

В итоге из (4.3.21), (4.3.23) и (4.3.24) вытекает цепочка равенств

n	n
∑j	∑
µ(A1 A2) = µ(A1) + ν(Γr(j)) = µ(A1) +	ν(Λj) = µ(A1) + µ(A2).
=1	j=1
Коль скоро выбор A1 и A2 был произвольным, получаем из предложе-
ния 4.3.4 свойство µ (add)[A].	2

Предложение 4.3.5. Если µ (add)[L], то ( α[µ]| L) = µ.

200

Доказательство следует из определения 4.3.1: если L L, то, в частно-

сти, L A и можно ввести (Li)i		∆1(L, L) по правилу L1 = L; тогда
	1,1
α[µ](L) = µ(L1) = µ(L).			2
Предложение 4.3.6. Если µ (add)[L] и ν (add)[A], то
(µ = (ν| L)) = (ν = α[µ]).			(4.3.25)

Доказательство. Пусть истинна посылка доказываемой импликации.

Фиксируем A A. С учетом (4.3.2) подберем n N и (Li)i 1,n ∆n(A, L). Тогда в силу определения 4.3.1

n
∑i	(4.3.26)
α[µ](A) = µ(Li).
=1

При этом (Li)i 1,n ∆n(A, A), а потому в силу конечной аддитивности ν

∑n ∑n

ν(A) = ν(Li) = µ(Li)

(	i=1	i=1
	)
(учли равенство µ =	ν| L) . С учетом (4.3.26) имеем теперь:		α[µ](A) =
= ν(A). Поскольку A выбиралось произвольно, установлено равенство
α[µ] = ν.			2
Итак, к.-а. меры на L обладают каждая единственным к.-а. продолже-
нием на A. Из определения 4.3.1 вытекает, что
α[µ] (add)+[A]		µ (add)+[L].	(4.3.27)
С учетом (2.2.6), (4.3.27) и предложения 4.3.6 вытекает, что
	α[µ] P(A)	µ P(L).	(4.3.28)

Мы не рассматриваем сейчас другие свойства, подобные (4.3.27), (4.3.28); см., в частности, [27, §5]. Отметим только важное положение, касающееся сохранения свойства счетной аддитивности.

Предложение 4.3.7. Если µ (σ − add)[L], то α[µ] (σ − add)[A].

Мы ограничимся сейчас изложением схемы доказательства, отсылая за

подробностями к [23, §I.6]. Итак, пусть µ (σ−add)[L] и η = α[µ]. Выберем произвольно U A и разбиение

(Ui)iN ∆∞[U; A].

(4.3.29)

201

С учетом (4.3.2) и (4.3.30) получаем, что
	m	N | ∆m(	U ,	L) ̸=		′	(N )	j	.
Nj = {			j			} P		N
Тогда определяем отображение α :					N → N посредством условия
						j N .
		α(j) = inf(Nj)
Из определения вытекает, в частности, что
		α			∏
					Ni.
					iN

	Как следствие, ∆α(j)(Uj, L) ̸= j N . Используя конструкции главы 1,
	введем множество
		H
	U =	L

HP(N)

всех L−значных отображений, определенных каждое на п/м N ; тогда

()

∆α(i)(Ui, L)	i	: N −→ P′(U).
		N

∏

Пусть теперь φ ∆α(i)(Ui, L). Имеем, в частности, что при j N

iN

φ(j) : 1, α(j) −→ L.

(i)

Полагаем Vs = φ(i)(s) i N

(Vs(k))s 1,α(k)

Из определения 4.3.1 и (4.3.30)

s 1, α(i). Тогда

∆α(k)(Uk, L) k N . (4.3.30) вытекает, что

		α(j)
		∑s					(4.3.31)
	η(Uj) = µ(Vs(j)) j N .
		=1
Пусть β : No → No определяется условиями
(β(0) = 0)		& (β(k) =		k		k N ).
				∑
				i=1 α(i)
Ясно, что β(j) = β(j − 1) + α(j) N j N . Тогда
				′	(N )
	β k	, β k	)			k	.
Sk = ( −		1) + 1 (		P		N

202

Более того, (Si)iN ∆∞[N ; P′(N )],

а потому

!g N N : i Sg(i) i N .

Пусть ψ : N → N реализует данное свойство:

j Sψ(j)

j N .

(4.3.32)

Из (4.3.32) вытекает, что справедливо утверждение

γ[k] = k − β(ψ(k) − 1) 1, (α ◦ ψ)(k) k N .

Получили последовательность

ψ(k)

kN

:

N → L. С учетом (4.3.2)

(

Vγ([k]

)

подберем q

N

и

)

(Γi)i

∆q(U, L).

1,q

Имеем Wl(k)

= Vγ([lψ] (l)) ∩ Γk L k

l N . Нетрудно проверить, что

1, q

()

Wl(k)

l

N

∆∞[Γk; L] k

1, q.

В силу счетной аддитивности µ имеем:

m

∑

( l=1 µ( Wl(k)))mN −→ µ(Γk) k

1, q.

Как следствие, получаем очевидное теперь свойство сходимости

m

q

∑∑

( l=1 k=1 µ(Wl(k)))mN −→ η(U).

(4.3.33)

С другой стороны, (Wl(k))k

∆q

Vγ([ψl](l)), L) l N . С учетом конечной

1,q

аддитивности

µ

имеем систему

равенств

(

)

(

)

∑ (

µ Vγ([lψ] (l))

q

= k=1 µ Wl(k)

l N .

Поэтому (4.3.33) принимает следующий вид

(∑ (

))

m

µ Vγ([lψ] (l))

l=1

mN −→ η(U).

(4.3.34)

203

При этом m 6 β(m) m N , а тогда из (4.3.34) следует, что
( ∑		(	))
(m)
βl=1	µ Vγ([lψ] (l))		mN −→ η(U).	(4.3.35)

Однако рассуждением по индукции легко проверяется следующая система

равенств		(	) ∑
∑
β(m)			m
l=1	µ Vγ([lψ] (l))		= j=1 η(Uj) m N .

Поэтому из (4.3.35) извлекается требуемое свойство сходимости

(∑m )

η(Uj) −→ η(U).

mN

j=1

Поскольку U и (Ui)iN (4.3.30) выбирались произвольно, установлено, что

η (σ−add)[A].	2
Следствие 4.3.2. Каждая с.-а. мера на полуалгебре L непрерывна в :
(σ − add)[L] C (L, R).	(4.3.36)

Доказательство. Пусть µ (σ − add)[L] и η = α[µ]. В силу предложений 4.3.3 и 4.3.7

η (σ − add)[A] : µ = (η| L).

(4.3.37)

Отметим, что в силу (4.2.17) и (4.3.37)

η C (A, R).

(4.3.38)

Пусть (Li)iN LN : (Li)iN ↓ . Поскольку L A (см. (4.3.3)), то, в частности, (Li)iN AN , тогда в силу (4.2.2), (4.3.38)

()

η(Li)	i	−→ 0.	(4.3.39)
		N

С учетом (4.3.37) имеем, однако, по выбору (Li)iN равенство

() ( )

(iN)= η(Li) iN .

Сучетом (4.3.39) получаем: µ(Li) iN → 0. Коль скоро выбор (Li)iN был

произвольным, установлено, что (Li)iN LN
((Li)iN ↓ ) = ((µ(Li))iN −→ 0).
С учетом (4.2.2) имеем требуемое включение µ C (L, R), чем и заверша-
ется обоснование вложения (4.3.36).	2

204

Предложение 4.3.8. Если L1 L и L2 L, то истинна импликация

( ) ( )

L1 L2 = µ(L1) 6 µ(L2) µ (add)+[L] .

Доказательство получается непосредственной комбинацией (4.2.21) и предложения 4.3.3. В самом деле, фиксируем L1 L и L2 L, для которых L1 L2. Пусть µe (add)+[L]. Тогда в силу (4.3.27) имеем α[µe] (add)+[A]. Поскольку L1 A и L2 A (см. (4.3.3)), то из (4.2.21) имеем неравенство

α[µ](L1) 6 α[µ](L2),

(4.3.40)

где согласно предложению

4.3.3 α[µ](L

) = µ(L

) и α[µ](L

) = µ(L

). С уче-

e

1

e

1

2

e

2

том (4.3.40) получаем, что

e

6 e

L

был произ-

µ(L1)

6

µ(L2).

Коль скоро выбор µ

вольным, установлено, что µ(L1)

e

µ(L2)

eµ

(add)e+[ ].

e

2

Предложение 4.3.9. Если (Li)i N LN и L L, то

((Li)i N ↓↑ L) = (

(

)

µ (σ − add)[L]).

µ(Li) i N −→ µ(L)

Доказательство. Фиксируем (Li)i N и L. Пусть, кроме того,

(Li)i N ↓↑ L.

(4.3.41)

Тогда, в частности, (Li)i N имеем: ( )

ν(Li)

i N

AN и L A. С учетом (4.3.41) и (4.2.22)

−→ ν(L) ν (σ − add)[A].

(4.3.42)

Пусть µe (σ − add)[L]. Из предложения 4.3.7 вытекает, что α[µe] (σ − add)[A]. С учетом (4.3.42) получаем, что

()

α[µe](Li) −→ α[µe](L). (4.3.43)

i N

Из предложения 4.3.3 имеем, однако,

α[µe](Lj) = µe(Lj) j N ;

кроме того, α[µe](L) = µe(L). В итоге имеем с учетом (4.3.43) сходимость

()

				µ(Li)	i	−→ µ(L).
		µ			N
Поскольку выбор			был	произвольным, установлено, что (при условии
		e		e		e
(4.3.41))
	(µ(Li))i N −→ µ(L)					µ (σ − add)[L].
Требуемая импликация установлена.						2

205

Следствие 4.3.3. Если (Li)iN LN и L L, то истинны следующие

	две импликации:			(	)
	((Li)iN ↑ L)		= (
					µ(Li)
	(	(			)
		Li)iN ↓ L)	= ((µ(Li)

)

iN ↑ µ(L) µ (σ − add)+[L] ,

)

iN ↓ µ(L) µ (σ − add)+[L] .

Доказательство получается непосредственной комбинацией (2.3.14), (4.2.23), (4.2.24), предложений 4.3.8 и 4.3.9. Последние четыре простых утверждения показывают, что конструкция продолжения (см. определение 4.3.1) позволяет исследовать некоторые свойства мер на полуалгебре множеств, привлекая идею их продолжения на алгебру множеств.

§ 4.4. Некоторые свойства интегралов

Рассмотрим сначала простейшие оценки интегралов, после чего будут приведены некоторые свойства интегралов по с.-а. мере; здесь, однако, мы касаемся только элементарных свойств такого рода. Пусть E ≠ .

Условимся о следующем обозначении: если f RE, то tft есть def такая

функция, действующая из E в [ 0, ∞[, что			t	t
				f	(x) = |f(x)| x E; иными
словами		t			(4.4.1)
t	f
		= (|f(x)|)x E.
Можно рассматривать также tft как отображение
x 7−→f|(x)| : E −→ [ 0, ∞[.

Предложение 4.4.1. Если L π[E] и f Bo(E, L), то tft Bo+(E, L).

Доказательство. Фиксируем L и f в согласии с условиями, после чего (см. (2.7.3)) подберем n N , (αi)i 1,n Rn и (Li)i 1,n ∆n(E, L) так, что

∑n

f = αiχLi.

i=1

Тогда в силу предложения 2.7.1 имеем для f следующее представление:

			(4.4.2)
f(x) = αj j 1, n x Lj.

206

			n
Введем кортеж (bi)i	1,n	R		по правилу: bj = |αj| j 1, n. Тогда
				n
				biχLi Bo(E, L)
		g =
				=1
				∑i

в силу (2.7.3). При этом (см. предложение 2.7.1)

g(x) = bj j 1, n x Lj. (4.4.3)

Тогда g(x) [ 0, ∞[ x E (см. свойства разбиений в гл. 1) и, как следствие,

g Bo+(E, L);

(4.4.4)

см. (2.7.21). С другой стороны, из (4.4.2) и (4.4.3) имеем по определению

(bi)i 1,n свойство:

g(x) = |f(x)| x E.

С учетом (4.4.1) получаем равенство tft = g, откуда в силу (4.4.4) вытекает

требуемое свойство tft Bo+(E, L).

2

Предложение 4.4.2. Если L π[E] и f B(E, L), то tft B+(E, L).

Доказательство. Фиксируем L и f в согласии с условиями. Напомним,

что B+(E, L) определено в (3.4.31). Подберем последовательность
				(fi)iN : N −→ Bo(E, L)
так, что при этом (fi)iN						f; см. (2.7.25). Имеем в этом случае (см.
(2.6.11)) сходимость							(4.4.5)
t			t			( fi − f )iN −→ 0.
	f	t		fj	t	j N . Тогда φ(x) = |φ(x)| при x E, φ
Введем φ =			и φj =
B(E). Кроме того, в силу предложения 4.4.1
				(φi)iN : N −→ Bo+(E, L).
При этом φj(x) = |fj(x)| j N x E. Легко видеть, что j N							x
E			| φj(x) − φ(x)| 6 | fj(x) − f(x)| 6 fj − f .

Тогда при j N имеем для нормы функции φj − φ B(E) следующую оценку (см. (2.6.7))

φj − φ 6 fj − f .

207

С учетом (4.4.5) получаем теперь очевидную сходимость

( φi − φ )iN −→ 0,

откуда в силу (2.6.11) вытекает равномерная сходимость

( φi)iN φ.

Тогда φ B(E, L); поскольку 0 6 φ(x) при x E, то φ B+(E, L); см. (3.4.31).

Предложение 4.4.3. Если L π[E], f B(E, L) и µ (add)+[L], то

∫			∫
		6	tft dµ.	(4.4.6)
	f dµ

EE

Доказательство. Фиксируем L и f в согласии с условиями. Тогда

где

tft

B+

E,

(f 5 tft

)& (−f 5 tft

),

(4.4.7)

(

L) в силу предложения 4.4.2. В силу (3.4.34) и (4.4.7) имеем

неравенства

(E

)

(E

)

f dµ 6

E

tft dµ

E

(4.4.8)

∫

∫

&

∫ (−f) dµ 6

∫

tft dµ .

С учетом предложения 3.4.1 и (4.4.8) имеем с очевидностью требуемое нера-

венство (4.4.6).

2

Следствие 4.4.1. Если L Π[E], f B(E, L), µ (add)+[L] и L L,

то	∫	f dµ	6	∫	tft dµ.
	L			L

Доказательство. Фиксируем L, f, µ и L в согласии с условиями. Тогда в силу (3.6.3) мы получаем, что

	(fχL B(E, L))& (tftχL B+(E, L)).
При этом согласно (3.7.4) имеем с очевидностью								)
(L	E	fχL dµ	)	(L		E	tftχL dµ		(4.4.9)
∫	f dµ = ∫		&	∫	tft dµ =	∫		.

Наконец, tfχLt B+(E, L) в силу предложения 4.4.1. Если x E, то

208

tfχLt(x) = | (fχL)(x)| = | f(x)χL(x)| = | f(x)| · | χL(x)| =

t

t

t

t

χL.

= tft(x)χL(x) = (tftχL)(x).

Тогда

fχL

=

f

Из предложения 4.4.3 и (4.4.9) имеем теперь, что

L

E

E

E

L

f dµ

=

fχL dµ

6

∫

tfχLt dµ = ∫

tftχL dµ =

∫

tft dµ.

2

∫

∫

В связи со следствием 4.4.1 уместно коснуться некоторых свойств неопределенного интеграла.

Предложение 4.4.4. Если L (alg)[E], f B(E, L) и µ (σ −add)+[L],

то

f µ (σ − add)[L].

(4.4.10)

Доказательство. Фиксируем L, f и µ в согласии с условиями. Тогда f µ определяется а предложении 3.7.2; см. также (3.7.5). В частности,

f µ (add)[L],	∫		(4.4.11)
(f µ)(Λ) =		f dµ Λ L.

Покажем, что на самом деле верно (4.4.10). Выберем произвольно L L и (Li)iN ∆∞[L; L]. Тогда по свойствам µ имеем сходимость

		k
		∑
		(i=1 µ(Li))kN −→ µ(L).	(4.4.12)
		i
Кроме того, L	(k)	k
	=	Li L k N . Иными словами,
		=1

(L(k))kN : N −→ L.

По свойствам (Li)iN имеем также следующее очевидное свойство: если k N , то (Li)i 1,k ∆k(L(k), L) и, как следствие, справедливы равенства

	k
µ(L(k)) =	∑i	(4.4.13)
	µ(Li),
	=1
k	k
∑Li	∑
(f µ)(L(k)) = i=1 ∫	f dµ = i=1 (f µ)(Li).	(4.4.14)

209