elemen_teorija

Доказательство. Фиксируем f и µ в согласии с условиями. С учетом определения 3.7.1 и предложений 3.2.3, 3.7.2 имеем при L L цепочку

равенств (см. (3.7.4))		χLf dµ = ∫	fχL dµ = ∫
(f µ)(L) = ∫	χLd(f µ) = ∫			f dµ.	2
E	E	E	L

Отметим одно простое следствие (см. [28, c. 111]) Если u B(E, L), v B(E, L) и µ A(L), то в силу предложения 2.7.7 и определения 3.7.1,

(uv) µ A(L) и u (v µ) A(L).

Предложение 3.7.3. Если u B(E, L), v B(E, L) и µ A(L), то

(uv) µ = u (v µ).

Доказательство. Фиксируем u, v и µ в согласии с условиями. Пусть L L. Тогда имеем в силу определения 3.7.1 и предложения 3.7.2, что (см.

(3.7.4))	∫		∫
∫
((uv) µ)(L) =	uv dµ =	(uv)χL dµ =	(uχL) · v dµ =
L	E	(	E
∫	∫		)
= uχLd(v µ) = ud(v µ) = u (v µ) (L).
E	L
Поскольку выбор L был произвольным, предложение доказано.				2

Заметим, что в силу предложения 3.7.3 u B(E, L) v B(E, L) µ

A(L)

u (v µ) = (uv) µ = (vu) µ = v (u µ).

Из (3.4.31) и предложения 2.7.8 вытекает, что
fχL B+(E, L) f B+(E, L) L L.	(3.7.7)
Из (3.4.33), (3.7.4) и (3.7.7) вытекает, что справедливо
∫	(3.7.8)
f dµ [ 0, ∞[ f B+(E, L) µ (add)+[L] L L.

L

Из определения 3.7.1, предложения 3.7.2 и (3.7.8) вытекает, что

(∫ )

f µ =	f dµ	L	(add)+[L] f B+(E, L) µ (add)+[L]. (3.7.9)
	L		L

160

Замечание 3.7.1. Если µ (add)+[L] и L L, то µ(L) 6 µ(E). В

самом деле, с учетом (1.7.3) подберем n N и (Li)i 1,n ∆n(E, L) так, что Ln = L. Тогда в силу неотрицательности µ имеем

	n
µ(L) 6	∑i
	µ(Li) = µ(E).	2
	=1
Легко видеть, что справедливо следующее свойство:
µ(E) ] 0, ∞[ µ (add)+[L] \ {OL},		(3.7.10)

Как следствие, получаем очевидное положение: если µ (add)+[L] \ {OL},

то	{		E	}	(	)
	p[µ] = f B+(E, L)		∫	f dµ = 1	P′ B+(E, L)	(3.7.11)

(в частности, имеем в силу(3.7.10) с очевидностью, что

1

µ(E)χE p[µ];

см. в этой связи (3.2.8)). Более того, функции — элементы (3.7.11) — порождают при µ−интегрировании к.-а. вероятности. В самом деле, из (2.2.6), (3.7.9) и (3.7.11) следует, что

f µ =	(L		)
	∫	f dµ	L L P(L) µ (add)+[L] \ {OL} f p[µ].

Итак, ярусные функции из множеств (3.7.11) играют роль своеобразных

плотностей к.-а. вероятностей;			при этом	µ (add+[L] \ {OL} f
p[µ] u B(E, L)	∫	ud(f µ) = ∫		uf dµ.	(3.7.12)
	E		E

В (3.7.12) мы имеем фактически характерное представление операции математического ожидания для случая, когда вероятность (в данном случае к.-а.) обладает плотностью. Последняя реализуется в виде ярусной функции из множества (3.7.11).

Предложение 3.7.4. Если f B(E, L), µ (add)+[L] и L L, то

L
		6 f µ(L).	(3.7.13)
∫	f dµ

161

Доказательство. Фиксируем f, µ и L в согласии с условиями. Тогда в силу (2.6.3)

fχL 5 f χL

и, как следствие, из (3.4.34) и (3.7.4) получаем неравенство

∫	f dµ = ∫	fχL dµ 6	∫	f χL dµ = f ∫	χL dµ = f µ(L); (3.7.14)
L	E		E	E

см. также предложение 3.2.3. Полагаем g = −f. Тогда g B(E, L) в силу предложения 2.7.5 и при этом (см. (2.6.3)) g(x) 6 |g(x)| = |f(x)| 6 6 f x E. Как следствие,

gχL 5 f χL.

Поэтому (см. (3.4.34), (3.7.4), предложение 3.2.3) имеем:

∫	g dµ = ∫	gχL dµ 6	∫	f χL dµ = f ∫	χL dµ = f µ(L). (3.7.15)
L	E		E	E

Отметим, что по определению функции g имеем (см. предложение 3.4.1) цепочку равенств

L	E	E	E	(	)
∫ g dµ =	∫	gχL dµ = ∫ (−f)χL dµ = ∫		(−1)f χL dµ =
= ∫	(−1) · (fχL) dµ = − ∫		fχL dµ = − ∫		f dµ.
E		E		L

С учетом (3.7.15) мы имеем теперь следующую оценку

∫

−f dµ 6 f µ(L).

L

Комбинируя последнее с (3.7.14), получаем требуемое неравенство (3.7.13).

2

Следствие 3.7.1. Если µ (add)+[L] и L L, то

(µ(L) = 0) =	(L	)
	∫	f dµ = 0 f B(E, L) .

162

Доказательство очевидно (см. предложение 3.7.4, (3.7.13)). Из следствия 3.7.1 имеем в силу предложения 3.7.2 частный случай известного свойства слабой абсолютной непрерывности (см. [34]) состоящий в следующем: если f B(E, L) и µ (add)+[L], то к.-а. мера f µ A(L) такова, что L L

(µ(L) = 0) = ((f µ)(L) = 0).

(3.7.16)

Cодержательный смысл (3.7.16) состоит в следующем: неопределенный интеграл зануляется на измеримых множествах нулевой меры.

§3.8. Интегральное представление операции предельного перехода (пример)

Внастоящем параграфе рассматривается конкретное ИП с полуалгеброй множеств, для которого конструируется функционал из B (E, L), отвечающий операции предельного перехода. Для этого функционала конструируется затем соответствующая к.-а. (0,1)-мера, не являющаяся с.-а. Конструкцию данного раздела можно рассматривать как простейшее построение, связанное с применением к.-а. (0,1)-мер и ультрафильтров ИП; см. [35,36].

Итак, рассмотрим ИП в примере § 1.7, полагая, следовательно, (E, L) = = (N , Z). см. в этой связи (2.4.6). Иными словами, E = N (натуральный ряд), а L Π[E] реализуется в виде объединения двух семейств:

L = Z1 Z2,

(3.8.1)

−−−→

где Z1 = {pr1(z), pr2(z) : z N × N}, а Z2 = {m, ∞ : m N }. Соглашение (3.8.1) соблюдаем всюду в настоящем параграфе. Итак, Z1 есть такое

семейство п/м N , что

(p, q Z1 p N q N ) & ( L Z1 p N q N : L = p, q).

В свою очередь,

2

есть такое семейство непустых п/м

, что (−−−→

Z

−−→)

N

m,

∞

m

N

) & ( L

k

: L =

При этом Z1

Z2

Z2 N

k,

∞

.

,

E \ L = N \ L Z1 L Z2.

Если L Z1, то либо E \ L Z2 (при L = 1, k, где k N , а также при

L = ), либо ∆2(E \ L, Z) ≠ .

Предложение 3.8.1. Если n N и (Li)i 1,n ∆n(E, L), то !k 1, n;

Lk Z2.

163

Доказательство. Фиксируем n и (Li)i 1,n в согласии с условиями. Тогда в силу (3.8.1) имеем

(Lj Z1 j 1, n) & ( k 1, n : Lk Z2). (3.8.2)

Первый в (3.8.2) случай невозможен, так как E = N — бесконечное множество (по предположению N есть объединение всех множеств Li, i 1, n).

Итак, выполняется второе условие в (3.8.2). Пусть r 1, n таково, что

−−→

Lr Z2; подберем p N , для которого Lr = p, ∞. Допустим, что s 1, n

−−→

также обладает свойством Ls Z2. Подберем q N так, что Ls = q, ∞. То-

гда для N = sup({p; q}) N имеем: N Lr ∩Ls. По выбору (Li)i 1,n имеем

сразу равенство r = s. Поскольку выбор s был произвольным, k 1, n

(Lk Z2) = (r = k). 2

Через (Stat)[R] условимся обозначать множество всех стационарных в/з последовательностей:

(Stat)[

] =

(α )

N

k

: α

= α

−−→

q

−−→

p

k,

k,

.

R { i iN R | N

p

∞

∞}

q

(Stat)[

] =

f

N

k

ξ

: f(i) = ξ

i

−−→

(3.8.3)

Тогда

{

R

|

N

R

R

∞}

k, .

Предложение 3.8.2. Справедливо равенство Bo(E, L) = (Stat)[R].

Доказательство. Из (2.7.3), предложений 2.7.1 и

3.8.1 вытекает (см.

(3.8.3)) вложение

Bo(E, L) (Stat)[R].

(3.8.4)

Пусть φ (Stat)[R]. Тогда φ RN (φ есть в/з последовательность) и для

некоторого n		имеет место φ(i) = φ(j) i	−−→		j		−−→		.	Если
	N		n,	∞			n,	∞

n = 1, то φ — функция-константа, а потому (см. (2.7.2), предложение 2.7.2)

−−→

φ Bo(E, L). Пусть n ≠ 1, т. е. n 2, ∞. Тогда n − 1 N ,

()

				φ(i) i			Rn
						1,n
и n		−−→	Имеем также для								−−→
				( ) R свойство:				( ) =	( )	j
		n, .		φ n				φ n	φ j		n, .
		∞									∞

При этом {i} Z1 i 1, n − 1. Полагаем, что (Li)i 1,n Ln определяется

условиями						j 1, n 1) & (Ln = −−→)
	(Lj = j
									n,		.
			{ }				−			∞
Ясно, что (Li)i		∆n(E, L). Поэтому согласно (2.7.3)
	1,n
					n
					∑i		φ(i)χLi Bo(E, L).				(3.8.5)
			ψ =		=1

164

При этом согласно предложению 2.7.1

			(3.8.6)
ψ(x) = φ(j) j 1, n x Lj.

Из (3.8.6) следует, в частности, что

			(3.8.7)
ψ(j) = φ(j) j 1, n − 1.

С другой стороны, по выбору n имеем, как уже отмечалось, что φ(j) =

−−→

= φ(n) j n, ∞. Из (3.8.6) следует, в частности, что

ψ(x) = φ(n) x Ln.

−−→

В итоге ψ(j) = φ(j) j n, ∞. С учетом (3.8.7) получаем, что φ(i) = = ψ(i) i N . Итак, φ = ψ. Поэтому (см. (3.8.5)) φ Bo(E, L). Тем самым установлено вложение (Stat)[R] Bo(E, L), откуда с учетом (3.8.4)

получаем требуемое равенство.

2

Предложение 3.8.3. Множество всех сходящихся в/з последовательностей совпадает с B(E, L) :

B(E, L) = (LIM)[R].

Доказательство. Пусть f B(E, L), а (fi)i 1,N — последовательность в Bo(E, L), т. е.

(fi)iN : N −→ Bo(E, L),

для которой (fi)iN f; см. (2.7.4). Тогда по предложению 3.8.2 fj (Stat)[R] j N . Отметим, что в силу (2.6.11) ( fi − f )iN −→ 0. Покажем, что f (FUND)[R]. В самом деле, пусть εo ] 0, ∞[. Подберем n N так, что

fn − f <

εo

.

2

При этом fn (Stat)[R], а потому (см. (3.8.3)) для некоторого r N

n( ) =

f

n( )

i

−−→

j

−−→

.

f i

j

r,

r,

∞

∞

−−→

Тогда по выбору

n

имеем с очевидностью

i

−−→ j

r,

∞

r,

∞

|f(i)−f(j)| 6 |f(i)−fn(i)|+|fn(i)−fn(j)|+|fn(j)−f(j)| <

εo

εo

+0+

= εo.

2

2

Поскольку выбор ε был произвольным, установлено, что

−−−→

ε

] 0

,

[

m

:

( )

f(j) < ε

i

−−−→

j

f i

−

|

m,

m, .

∞ N |

∞

∞

165

Итак, f (FUND)[R], но тогда (см. (1.3.19)) f (LIM)[R]. Установлено вложение

B(E, L) (LIM)[R].

(3.8.8)

Пусть φ (LIM)[R]. Тогда (см. § 1.3) φ : N −→ R и при этом для некото-

рого числа ζ R имеем:

φ(i)

iN −→ ζ.

(3.8.9)

Если k

N

, то конструируем(φk

)

(Stat)[R] по следующему правилу

φ i

i

, k

φ j

φ k

j k + 1, ).

φ i

(

k

( ) =

( )

1

) & (

k

( ) =

(

)

−−−−−→

∞

При этом φs(s) = φ(s)

s N . Как следствие, имеем при всяком выборе

s

свойство: φs(j) = φ(s)

j

s, .

Тогда по предложению 3.8.2

N

−−→

∞

имеем:

(3.8.10)

(φk)kN : N −→ Bo(E, L).

Пусть εo ] 0, ∞[. С учетом (3.8.9) подберем N N так, что

εo

N, .

|

φ(i)

−

ζ

|

<

i

−−−→

(3.8.11)

N, .

l,

2

.

∞

φ

i

φ i

, l

i

, l.

Пусть

l

−−−→

Тогда

N

−−→

При этом

(

) =

(

)

С

= 1

1

∞

∞

l

φ

(j) = φ(l) j

l, .

другой стороны,

−−→

Однако из (3.8.11) следует, что

l

∞

j

l,

−−→

∞

εo

εo

|φ(l) − φ(j)| 6 |φ(l) − ζ| + |ζ − φ(j)| <

= εo.

+

2

2

Как следствие, мы получаем, что

o

l, .

φ

(j)

φ(j)

< ε j

−

|

−−→

|

l

∞

В результате имеем, что |φl(i) −φ(i)| < εo

i N . Поскольку выбор l был

произвольным, установлено, что

φ

(i)

φ(i)

< ε

o

k

N,

i

.

−

|

−−−→

|

k

∞ N

Коль скоро и число εo, εo > 0, выбиралось произвольно, установлено (см. (2.6.9)) свойство равномерной сходимости:

(φk)kN φ.

С учетом (2.7.25) и (3.8.10) имеем теперь (см. § 1.3) включение φ B(E, L), чем и завершается обоснование вложения

(LIM)[R] B(E, L),

166

которое в сочетании с (3.8.8) доставляет доказываемое утверждение. 2

Сучетом предложения 3.8.3 мы получаем, что каждой ярусной функции

—последовательности в R сопоставляется единственное число, являющееся пределом данной последовательности (см. § 1.3). Итак, если f B(E, L), то полагаем, что

lim f(k) R

k→∞

(вместо k может использоваться ПБ) есть такое единственное число ξ R, для которого

	f(k) k N −→ ξ.
Тем самым определен	функционал
	(	)
	h∞ : B(E, L) −→ R,
		f B(E, L). Итак,
для которого h∞(f) = klim f(k)
	→∞
	lim f k		B(E,L).	(3.8.12)
h∞ = (k→∞		( ))f B(E,L) R

Предложение 3.8.4. h∞ B (E, L).

Доказательство. Используем свойства сходящихся последовательностей, изложенные в § 1.3. Пусть a R и φ B(E, L). Тогда aφ B(E, L) в силу предложения 2.7.5,

(aφ)(i) = aφ(i) i N .
При этом в силу (3.8.12) имеем следующие свойства сходимости
(	)	(3.8.13)
φ(i)	i N −→ h∞(φ),
(	)	(3.8.14)
(aφ)(i) i N −→ h∞(aφ).
С другой стороны, из (3.8.13) следует (см. § 1.3),		что
(aφ(i))i N −→ ah∞(φ).		(3.8.15)

Поскольку (aφ)(j) = aφ(j) при j N , то (см. (3.8.14), (3.8.15)) имеем равенство h∞(aφ) = ah∞(φ). Поскольку выбор a и φ был произвольным, установлено, что

h∞(αf) = αh∞(f) α R f B(E, L).

(3.8.16)

167

Пусть теперь u B(E, L) и v B(E, L). Тогда u + v B(E, L) в силу предложения 2.7.5. Из (3.8.12) получаем, что

(	)	(3.8.17)
u(j)	j N −→ h∞(u),

()

v(j) j N −→ h∞(v),	(3.8.18)
((u + v)(j))j N −→ h∞(u + v).	(3.8.19)

Из (3.8.17), (3.8.18) следует, что справедливо утверждение о сходимости:

(	)	(3.8.20)
	u(j) + v(j) j N −→ h∞(u) + h∞(v).

Поскольку (u + v)(k) = u(k) + v(k) при k N , то (см. (3.8.19), (3.8.20)) h∞(u + v) = h∞(u) + h∞(v). Коль скоро выбор u и v был произвольным, установлено, что

h∞(f + g) = h∞(f) + h∞(g) f B(E, L) g B(E, L). (3.8.21)

Из (3.8.16) и (3.8.21) следует, что h∞ есть линейный функционал. Выберем произвольно w B(E, L) и рассмотрим h∞(w) R;

(	)		(3.8.22)
w(i)	i N −→ h∞(w).
Имеем (см.(2.6.2)) систему неравенств |w(j)| 6 w			j N . При этом
подобно (2.6.5) устанавливается
|w(i)| − |h∞(w)| 6 | w(i) − h∞(w)| i N .
С учетом (3.8.22) получаем свойство		сходимости

( |w(i)|)i N −→ | h∞(w)|,

из которого вытекает неравенство | h∞(w)| 6 w . Поскольку последовательность w выбиралась произвольно, установлено, что

| h∞(s)| 6 s s B(E, L).	(3.8.23)
Из (3.5.1), (3.8.16), (3.8.21) и (3.8.23) вытекает, что h∞ B (E, L).	2

С учетом теоремы 3.6.1 и последнего предложения получаем, в частно-

сти, что	(3.8.24)
!µ A(L) : h∞ = Iµ.

Пусть (см. (3.8.24)) µ∞ A(L) обладает свойством h∞ = Iµ1. Это означает (см. (3.5.2)), что

h∞(f) = ∫	f dµ∞ f B(E, L).	(3.8.25)
E

168

В частности, из (3.8.25) вытекает, что (см. (2.7.24))

∫

h∞(f) = f dµ∞ f Bo(E, L).

E
Из последнего свойства получаем с учетом предложений 2.7.3 и	3.2.3 сле-
дующее представление к.-а. меры µ∞ :
µ∞(L) = h∞(χL) L L.
С учетом (3.8.11) имеем, следовательно, систему равенств
µ∞(L) = klim χL(k) L L.	(3.8.26)
→∞
Из (3.8.1) и (3.8.26) вытекает, что
(µ∞(L) = 0 L Z1) & (µ∞(L) = 1 L Z2).	(3.8.27)

Из (2.2.7) и (3.8.27) следует тот факт, что µ∞ есть к.-а. (0,1)-мера:

µ∞ T(L).

(3.8.28)

Отметим, что µ∞ ̸ (σ − add)[L]. В самом деле ({i})i N ∆∞[E, L], но

(∑k )

µ∞({i}) = 0 k N & (µ∞(E) = 1).

i=1

На самом деле µ∞ обладает более сильным свойством чистой (полной) конечной аддитивности (понятие, связанное с известным разложение ХьюиттаИосиды; см. [10,43]), но сейчас мы его обсуждать не будем. Отметим только, что в силу (3.8.27)

Z2 = µ∞−1({1}).

(3.8.29)

Семейства такого типа обладают целым рядом важных свойств; в связи с (3.8.29) отметим известное стоуновское представление [23, c. 26] (в виде семейства (3.8.29) имеем ультрафильтр ИП (E, L); подробнее см. в [35, § 7.6]). Отметим, наконец, что получившаяся в результате применения теоремы 3.6.1 к.-а. мера µ∞ есть на самом деле к.-а. мера η в примере § 2.4, соответствующем ИП (2.4.6). Здесь, однако, мы получили упомянутую к.-а. меру из совсем других представлений, связанных с изучением функционала h∞ B(E, L). Отметим, что для строго положительной ярусной функции fo B(E, L), определяемой условиями

1

fo(k) = k k N ,

169