elemen_teorija

см. (3.3.7), предложение 3.4.1. Итак, Iaνe = aIνe. Поскольку a и νe выбирались произвольно, установлено первое положение в (3.5.15). Пусть η A(L) и

λA(L). Из предложения 2.5.2 имеем, что

η+ λ A(L).

Тогда Iη+λ RB(E,L) и Iη + Iλ RB(E,L). При этом для f B(E, L) имеем

∫ ∫ ∫

Iη+λ(f) = fd(η + λ) = f dη + f dλ = Iη(f) + Iλ(f) = (Iη + Iλ)(f).

E	E	E
Стало быть, Iη+λ = Iη + Iλ. Поскольку выбор η и λ был произвольным,
второе положение в (3.5.15) установлено.			2

Предложение 3.5.4. Отображение · вида

h 7−→h : B (E, L) −→ [ 0, ∞[

есть норма линейного пространства B (E, L) :

1) αh = |α| · h α R h B (E, L);

2) h1 + h2 6 h1 + h2 h1 B (E, L) h2 B (E, L);

3) истинно следующее положение: h B (E, L)

( h = 0) = ( h = OB(E,L)).

Доказательство очевидным образом следует из (3.5.4) и является частным случаем хорошо известного общего факта о нормировании пространства, топологически сопряженного к линейному нормированному пространству. Мы ограничиваемся поэтому совсем краткой схемой.

Пусть a R и u B (E, L). Тогда au B (E, L) согласно предложению 3.5.1. Если a = 0, то в силу (1.5.10) au = OB(E,L), а потому

au = 0 = |a| · u

согласно (3.5.4). Итак, истинна импликация

(a = 0) = ( au = |a| · u ).

(3.5.16)

Пусть a ≠ 0. Тогда имеем с очевидностью

1

b = a R \ {0},

150

|b| ] 0, ∞[. При этом |(au)(s)| 6 |a| · u	s BL(OE, 1). В итоге из
(3.5.4) имеем неравенство
au 6 |a| · u .	(3.5.17)
С другой стороны, по определению b имеем при s BL(OE, 1)
|u(s)| = |b| · |(au)(s)| 6 |b| · au .
Из (3.5.4) следует теперь неравенство u 6 |b| · au , а тогда после

умножения левой и правой частей последнего неравенства на |a| получаем

(см. § 1.3)

|a| · u 6 (|a| · |b|) · au = au ,

что с учетом (3.5.17) обеспечивает равенство au = |a|· u и при a ≠ 0. Итак, установлена импликация

(a ≠ 0) = ( au = |a| · u ).

С учетом (3.5.16) имеем теперь равенство au = |a| · u во всех возможных случаях. Поскольку a и u выбирались произвольно, свойство 1) установлено. Свойство 2) вытекает из неравенства треугольника для операций взятия модуля и свойств точной верхней грани (см. § 1.3) : если h1 B (E, L), h2 B (E, L) и s BL(OE, 1), то

|(h1 + h2)(s)| = |h1(s) + h2(s)| 6 |h1(s)| + |h2(s)| 6 h1 + h2 .

Если h B (E, L) и h = 0, то в силу (3.5.4) | h(s)| = 0 при s BL(OE, 1). Пусть w B(E, L); тогда при w BL(OE, 1) имеем h(w) =

=0. Допустим, что w ̸ BL(OE, 1), т.е. 1 < w (см.(3.5.3)). Тогда для

1

κ= w w BL(OE, 1)

имеем h(κ) = 0. Поскольку w = w κ, то в силу линейности h

h(w) = w h(κ) = 0.

Итак, h(w) = 0 во всех возможных случаях. Поскольку выбор w был про-

извольным, установлено, что h(f) = 0	f B(E, L). Тогда h = OB(E,L).
Свойство 3) установлено.	2

151

§3.6. Случай измеримого пространства с полуалгеброй множеств

Внастоящем разделе мы продолжаем исследование соотношений, связывающих A(L) и B (E, L). Мы полагаем, однако, всюду в пределах настоящего параграфа, что

L Π[E].

(3.6.1)

Итак, мы рассматриваем здесь случай ИП (E, L) с полуалгеброй множеств (см. в этой связи (2.2.2)). Напомним, что с учетом предложения 2.7.3 в рассматриваемом случае (см. (3.6.1))

χL Bo(E, L) L L.

(3.6.2)

Отметим также следствие 2.7.1 и то, что (см. предложение 2.7.8)

fχL B(E, L) f B(E, L) L L.

(3.6.3)

В (3.6.3) определена срезка ярусной функции индикатором измеримого множества.

Предложение 3.6.1. Функционал

µ 7−→Vµ : A(L) −→ [ 0, ∞[

(3.6.4)

является нормой на линейном пространстве A(L) : (3.6.4) — полунорма на A(L) и при этом µ A(L)

(Vµ = 0) = (µ = OL).

(3.6.5)

Доказательство. С учетом предложения 2.5.6 для функционала (3.6.4) достаточно установить (3.6.5). Фиксируем µ A(L) со свойством

Vµ = 0.

(3.6.6)

Пусть L L. Тогда, действуя как при доказательстве предложения 2.7.3,

подберем N N и (Mi)i 1,N ∆N (E, L) такие, что MN = L. Тогда (см.(2.2.12))

∑N

ξ= |µ(Mi)| (VAR)E[µ].

i=1

Поэтому (см. (2.2.14)) имеем по выбору (Mi)i 1,N , что |µ(L)| 6 ξ 6 Vµ. С учетом (3.6.6) имеем, что |µ(L)| = 0, а, стало быть, µ(L) = 0. Поскольку

152

выбор L был произвольным, установлено, что µ = OL (при условии (3.6.6)), чем и завершается проверка (3.6.5). 2 Норму (3.6.4) обычно называют сильной; мы также следуем этому со-

глашению.

Теорема 3.6.1. Оператор
µ 7−→Iµ : A(L) −→ B (E, L)	(3.6.7)

есть изометрический изоморфизм A(L) в сильной норме (см. (3.6.4)) и (B (E, L), · ) :

1) (3.6.7) есть биекция A(L) на B (E, L), т. е.

(Iµ)µ A(L) (bi)[A(L); B (E, L)];

2) (3.6.7) есть линейный оператор, т. е.

( ) ( )

Iαµ = αIµ α R µ A(L) & Iµ+ν = Iµ +Iν µ A(L) ν A(L) ;

3) (3.6.7) обладает свойством изометричности, т.е.

Vµ = Iµ µ A(L).

Доказательство. В силу предложений 3.5.2 и 3.5.3 доказательства требует только свойство 1). В этой связи установим сначала, что множество

		(3.6.8)
	U = {Iµ : µ A(L)}
совпадает с B (E, L). В силу (3.5.2) и (3.6.8) имеем вложение
	U B (E, L).	(3.6.9)
Пусть h	B (E, L). Тогда h : B(E, L) → R; h обладает свойством
линейности
m	m
∑	∑

( )

h αisi = αih (si) m N (αi)i 1,m Rm (si)i 1,m B(E, L)m;

i=1 i=1

(3.6.10) кроме того, при некотором значении c [ 0, ∞[ имеем систему неравенств

|h (s)| 6 c s s B(E, L).	(3.6.11)
Напомним, что согласно предложению 2.7.3 χL B(E, L)	L L. С
учетом этого введем ФМ µ RL, т. е.
µ : L −→ R,	(3.6.12)

153

посредством следующего правила:

µ	L		h	χ	L)	L	L	.	(3.6.13)
(		) =	(

Если L L, n N и (Li)i 1,n ∆n(L, L), то, как легко видеть, χL совпадает с суммой всех функций χLi, i 1, n. С учетом (3.6.10) и (3.6.13)

n	n	n
∑	∑	∑
µ (L) = h (χL) = h (i=1 χLi)=	i=1 h (χLi) =	i=1 µ (Li).	(3.6.14)

Поскольку L, n и (Li)i 1,n выбирались произвольно, имеем свойство

µ (add)[L].

На самом же деле µ A(L). Действительно, пусть n N ∆n(E, L); полагаем также

( )

bj = sgn µ (Lj) j 1, n.

(3.6.15)

и (Li)i 1,n

(3.6.16)

Тогда (bi)i 1,n Rn и, как следствие, справедливо включение (см. (2.7.3))

		n
		∑i				(3.6.17)
	ψ =	biχLi Bo(E, L).
		=1
Из (1.3.10) и (3.6.16) получаем свойство:
	bjµ (Lj) = |µ (Lj)| j			.
			1, n
Поэтому в силу (3.6.10), (3.6.11), (3.6.13) и (3.6.17) имеем, что ψ B(E, L)
и	∑	∑				∑
∑
n	n	n				n
i=1 |µ (Li)| = i=1 biµ (Li) = i=1 bih (χLi) = h					(i=1 biχLi)=
	= h (ψ) 6 |h (ψ)| 6 c ψ .					(3.6.18)
Из (3.6.16) имеем, однако, систему равенств |bj| = 1						j	1, n	; см. § 1.3.

Тогда из (3.6.17) и предложения 2.7.1 вытекает, что |ψ(x)| = 1 x E. Как следствие, ψ = 1 в силу (2.6.3). В итоге из (3.6.18) имеем неравенство

n
∑i
|µ (Li)| 6 c .	(3.6.19)
=1

154

Поскольку выбор n и (Li)i 1,n был произвольным, получаем из (2.2.8) требуемое включение

		µ A(L).			(3.6.20)
В силу определения 3.3.1 и (3.6.20) имеем теперь функционал
Iµ : B(E,				)
			L −→ R
более того, из (3.5.2), (3.6.8) и (3.6.20) следует, что
Iµ =	∫	f dµ		f B(E,L) U.	(3.6.21)
(E				)
Покажем теперь, что h = Iµ . По определению µ имеем
		∫
h (χA) = µ (A) =				χA dµ A L;	(3.6.22)

E

см. предложение 3.2.3 и (3.3.8). Пусть φ Bo(E, L). Тогда, в частности,

φ B(E, L). Имеем

(		(el)		)
	E	E
(h (φ) R) & Iµ (φ) =	∫	φ dµ = ∫	φ dµ R .
С учетом (2.7.2), (2.7.3) подберем N		N , (ti)i		RN и (Λi)i
			1,N		1,N
∆N (E, L) так, что при этом
N
∑i				(3.6.23)
φ =		tiχ i.
=1

Из (3.2.7) и (3.6.23) вытекает, что справедливо равенство

∫(el)

∑N

φ dµ =

tiµ (Λi).

(3.6.24)

Ei=1

Сдругой стороны, из (3.6.10), (3.6.13), (3.6.23) и предложения 2.7.3 выте-

кает, что

∑N ∑N

h (φ) = tih (χ i) = tiµ (Λi).

i=1

i=1

155

Поэтому (см. (3.6.24)) имеем следующее очевидное равенство

∫(el)

h (φ) = φ dµ .

E

Поскольку выбор φ был произвольным, установлено свойство:

h (f) = ∫	f dµ f Bo(E, L).	(3.6.25)
E
Выберем произвольно Φ B(E, L), после чего подберем (см. (2.7.25)) по-
следовательность		(3.6.26)
(φi)iN : N −→ Bo(E, L),

(el)

для которой (φi)iN Φ. Тогда в силу предложения 3.3.1 имеем сходимость

(el)			iN −→ ∫
∫	φi dµ	)		Φ dµ .	(3.6.27)
(E			E

С другой стороны, по выбору последовательности (3.6.26) получаем, что (см. (2.6.11))

( φi − Φ )iN −→ 0.	(3.6.28)
В силу линейности h имеем систему равенств:
h (φj − Φ) = h (φj) − h (Φ) j N .	(3.6.29)
С другой стороны, из (3.6.11) и (3.6.29) вытекает, что
|h (φj) − h (Φ)| = |h (φj − Φ)| 6 c φj − Φ	j N .
С учетом (3.6.28) получаем следующее свойство сходимости
(h (φi))iN −→ h (Φ).	(3.6.30)

Вместе с тем (см. (3.6.25), (3.6.26)) имеем систему равенств

∫(el)

h (φj) = φj dµ j N .

E

156

Теперь из (1.3.10), (3.6.27) и (3.6.30) вытекает с очевидностью равенство

∫

h (Φ) = Φ dµ .

E

Поскольку выбор Φ был произвольным, имеем в силу (3.5.2), что h = Iµ , откуда согласно (3.6.21) вытекает включение h U. Тем самым установлено вложение B (E, L) U, откуда с учетом (3.6.9) вытекает равенство

B (E, L) = U.

Из этого равенства и (3.6.8) следует сюръективность оператора (3.6.7):

(Iµ)µ A(L) B (E, L)A( ()L).

Нам осталось проверить свойство инъективности оператора (3.6.7). Данная проверка является совсем простой в силу предложения 2.7.2. В самом деле, если µ(1) A(L) и µ(2) A(L) обладают свойством

Iµ(1) = Iµ(2)	,		(3.6.31)
то в силу предложения 3.2.3 имеем (см. (3.3.7), (3.3.8)) L L
(el)		(el)
µ(1)(L) = ∫ χL dµ(1) = Iµ(1) (χL) = Iµ(2)	(χL) =	∫	χL dµ(2) = µ(2)(L).
E		E	(3.6.32)

Тем самым (см. (3.6.31), (3.6.32)) установлена импликация

(Iµ(1) = Iµ(2) ) = (µ(1) = µ(2)).

Поскольку µ(1) и µ(2) выбирались произвольно, требуемое свойство инъективности установлено, а тогда, коль скоро (3.6.7) — сюръекция, имеем положение 1):

(Iµ)µ A(L) (bi)[A(L); B (E, L)].

2

Из теоремы 3.6.1 следует, что пространства A(L) в сильной норме и (B (E, L), · ) фактически отождествимы. Грубо говоря, к.-а. меры ограниченной вариации, определенные на полуалгебре L, и функционалы из B (E, L) суть «одно и то же». Утверждение теоремы 3.6.1 использовалось,

157

в частности, при доказательстве основополагающей теоремы Рисса об общем виде линейного непрерывного функционала на пространстве непрерывных функций; см. [10, гл. IV]. Важное значение теоремы 3.6.1 состоит еще и в том, что она доставляет возможность оснащения множества A(L) топологиями, используемыми в пространствах, сопряженных к банаховым. Сейчас упомянем только известную −слабую топологию (см. [10, гл. IV]).

§ 3.7. Неопределенный интеграл ярусной функции

Ранее была изложена схема интегрирования ярусных функций относительно к.-а. мер ограниченной вариации; при использовании этой схемы в каждом конкретном случае реализуется число (3.3.7), которое было названо ЯИ. Можно рассматривать, конечно, ЯИ как аналог определенного интеграла в теории Римана. Нередко возникает, однако, вопрос о построении интеграла как ФМ. Уместно использовать также термин неопределенный интеграл. Теорема 3.6.1 позволяет подойти к этому вопросу с позиций функционального анализа, имея в виду построение специального элемента B (E, L). Рассмотрим данную конструкцию после нескольких весьма общих замечаний, предполагая сначала выполненными только требования (2.2.1) и (2.6.1) в отношении ИП (E, L).

В силу предложения 2.7.7 имеем при f B(E, L) и µ A(L) функцио-

нал	∫	uf dµ : B(E, L) −→ R.
u −7→			(3.7.1)

E

В (3.7.1) мы рассматриваем действие пары (f, µ) на элементы пространства B(E, L). Справедливо следующее

Предложение 3.7.1. Если f B(E, L) и µ A(L), то

(∫ )

uf dµ

B (E, L).

(3.7.2)

u B(E,L)

E

Доказательство. Фиксируем f B(E, L) и µ A(L). В силу предложения 3.4.1 имеем, что (3.7.1) — линейный функционал, а из (2.7.42) и предложения 3.4.2 вытекает свойство ограниченности этого функционала, чем и завершается проверка (3.7.2) (см. (3.5.1)). 2 Полагаем до конца настоящего параграфа, что выполнено условие (3.6.1). Итак, мы рассматриваем здесь ИП (E, L) с полуалгеброй множеств. Напомним также, что E ≠ . В силу предложения 2.7.8 имеем свойство (3.6.3).

158

Заметим, что L \ {E} — непустое семейство множеств (так, например,L \ {E}). Полагаем, что

∫∫

	fχL dµ f B(E, L) µ A(L) L L \ {E}. (3.7.3)
f dµ =
L	E

Кроме того, fχE = f f B(E, L). Поэтому (см. (3.3.7), (3.7.3)) имеем на самом деле

∫∫

f dµ = fχL dµ f B(E, L) µ A(L) L L.

(3.7.4)

LE

Итак, мы ввели процедуру интегрирования ярусных функций на измери-

мых п/м E. Стало быть, при f B(E, L) и µ A(L) определена ФМ

(∫ )

f dµ	L	RL.	(3.7.5)
		L

L

С другой стороны, из теоремы 3.6.1 и предложения 3.7.1 вытекает, что

f B(E, L) µ A(L) !ν A(L) :

(∫ )

uf dµ

= Iν.

(3.7.6)

u B(E,L)

E

С учетом (3.3.7) и (3.7.6) корректно следующее

Определение 3.7.1. Если f B(E, L) и µ A(L), то полагаем, что

f µ A(L)

есть def такая единственная к.-а. мера ограниченной вариации, определенная на L, для которой

∫∫

uf dµ = ud(f µ) u B(E, L).

EE

Будем именовать f µ неопределенным интегралом f по к.-а. мере µ

или, короче, неопределенным µ−интегралом f.

2

Предложение 3.7.2. Если f B(E, L) и µ A(L), то f µ совпадает

с ФМ (3.7.5) :	(L		)
f µ =
	∫	f dµ	LL

159