elemen_teorija

Тем самым установлена следующая импликация
((Ai)iN ↑ A)= (	(	)
		µ(Ai) iN −→ µ(A)).	(4.2.9)

Из (4.2.5), (4.2.7) и (4.2.10) вытекает, что (при условии истинности посылки
был	(	)
(4.2.4)) µ Ai)		iN → µ(A) во всех возможных случаях. Поскольку выбор µ
	произвольным, установлено следствие импликации (4.2.4).		2

Предложение 4.2.2. Если L (alg)[E], то

(add)[L] ∩ C (L, R) (σ − add)[L].

Доказательство. Фиксируем L (alg)[E]. Пусть ν (add)[L] ∩ C (L, R).

В силу предложения 4.2.1 имеем свойство непрерывности ν на монотонных последовательностях множеств из L. Пусть D L и (Di)iN ∆∞[D; L]. Тогда D есть объединение всех множеств Di, i N , причем Dj ∩ Dk = при j N , k N \ {j}. Введем

	m
	i
D	(m)
	= Di L m N .
	=1

Тогда (D(k))kN : N → L обладает очевидным свойством монотонной схо-

димости

(D(k))kN ↑ D.

В частности (см. § 1.7) (D(k))kN ↓↑ D, а тогда из предложения 4.2.1 имеем

сходимость

(4.2.10)

ν(D(k))

kN → ν(D).

D(m),

m

.

При этом (Di)

∆m(

(

L

) )

N

С учетом конечной аддитив-

i 1,m

ности ν получаем, что

∑m

ν(D(m)) = ν(Di) m N .

i=1

В силу (4.2.10) имеем теперь в окончательном виде свойство

m
∑
(i=1 ν(Di))mN → ν(D).	(4.2.11)

Поскольку выбор D и (Di)iN был произвольным, имеем (см. (2.3.3)), что ν (σ − add)[L]. Этим завершается обоснование вложения

(add)[L] ∩ C (L, R) (σ−add)[L].

2

190

Предложение 4.2.3. Если L (alg)[E], то

(σ − add)[L] (add)[L] ∩ C (L, R).

Доказательство. Фиксируем L (alg)[E]. Пусть ν (σ − add)[L],

т. е. ν RL и (см. (2.3.3))

k
∑
(i=1 ν(Li))kN → ν(L) L L (Li)iN ∆∞[L; L].	(4.2.12)

В силу предложения 2.3.1 имеем, в частности, ν (add)[L]. Покажем, что ν C (L, R). Пусть (Di)iN LN обладает свойством

(Di)iN ↓ .

Введем Mj = Dj \ Dj+1 j N . Легко видеть, что (Mi)iN С учетом (4.2.12) получаем, что

(4.2.13)

∆∞[D1; L].

k
∑
(i=1 ν(Mi))kN −→ ν(D1).	(4.2.14)

С другой стороны, (Mi)i 1,k ∆k(D1 \ Dk+1, L) k N . Поэтому в силу конечной аддитивности ν

∑k

ν(D1 \ Dk+1) = ν(Mi) k N .

i=1

С учетом (4.2.14) получаем, в частности, что имеет место сходимость

(	)	(4.2.15)
ν(D1 \ Dk+1)	kN −→ ν(D1).

Если k N , то D1 = Dk+1 (D1 \Dk+1) и Dk+1 ∩ (D1 \Dk+1) = ; поэтому

ν(D1) = ν(Dk+1) + ν(D1 \ Dk+1).

Из (4.2.15) получаем, в частности, что имеет место сходимость

(ν(Dk))kN −→ 0.
Итак (см. (4.2.13)), истинна следующая импликация
((Di)iN ↓ ) = (	(	)
		ν(Di) iN → 0).	(4.2.16)

191

Коль скоро D и (Di)iN выбирались произвольно, установлено (см. (4.2.2),

(4.2.16)) включение ν C (L, R).	2
Из предложений 4.2.2 и 4.2.3 вытекает следующее важное свойство:
(σ − add)[L] = (add)[L] ∩ C (L, R) L (alg)[E].	(4.2.17)

Итак, с.-а. меры (на алгебре множеств) суть к.-а. меры со свойством непрерывности на монотонных последовательностях множеств. Напротив, если L (alg)[E] и µ (add)[L] \ (σ − add)[L], то непременно найдется такая последовательность (Li)iN LN (последовательность множеств

L1 L, L2 L, . . .), что (Li)iN ↓ , но при этом свойство	µ(Li)	i	N	→ 0
отсутствует.	(	)
С учетом (4.2.3) легко проверяется, что L (alg)[E]	µ (add)[L]
A L B L
µ(A B) + µ(A ∩ B) = µ(A) + µ(B).		(4.2.18)

В самом деле, если L (alg)[E], µ (add)[L], A L и B L, то A B

L, A ∩ B L, B \ A L, A B = A (B \ A), A ∩ (B \ A) = ,

µ(A B) = µ(A) + µ(B \ A);	(4.2.19)
(A ∩ B) (B \ A) = B, (A ∩ B) ∩ (B \ A) = , при этом
µ(B) = µ(A ∩ B) + µ(B \ A).	(4.2.20)

Из (4.2.19), (4.2.20) вытекает равенство (4.2.18). С учетом (4.2.3) получаем, что L (alg)[E] L1 L L2 L

(L1 L2) = (µ(L1) 6 µ(L2) µ (add)+[L]).

(4.2.21)

Удобно принять также следующие соглашения: если (αi)iN RN и α R, то

def	(((αi)iN → α) & (αj+1 6 αj	j N )),
((αi)iN ↓ α)
def	(((αi)iN → α) & (αj 6 αj+1	j N )).
((αi)iN ↑ α)

Напомним, что (см. глава 1) в наших построениях вещественные числа — элементы R — не являются множествами; поэтому какая-либо двусмысленность в связи с определениями § 1.7, касающимися монотонной сходимости множеств, в двух последних определениях исключена.

192

Из предложения 4.2.1 и (4.2.17) вытекает, что L (alg)[E] (Li)i N

	LN L L	(	)
	((Li)i N ↓↑ L)= (
			µ(Li) i N −→ µ(L) µ (σ − add)[L]). (4.2.22)

Из (4.2.21) и (4.2.22) вытекают следующие свойства монотонной сходимо-

сти: если L (alg)[E], (Li)i N LN и L L, то
((Li)i N ↓ L)= (	(		)	µ (σ − add)+[L]),	(4.2.23)
	(	µ(Li)	i N ↓ µ(L)
((Li)i N ↑ L)= (			)	µ (σ − add)+[L]).	(4.2.24)
		µ(Li)	i N ↑ µ(L)

Итак, неотрицательные с.-а. меры «отслеживают» монотонную сходимость множественнозначных последовательностей, в то время как к.-а. меры этим свойством, вообще говоря, не обладают (см. § 3.9), что и приводит к определенным патологиям интегрирования по к.-а. мере. Заметим, что в настоящем разделе основные утверждения приведены для ИП с алгеброй множеств и еще более общих ИП. В этой связи в следующем параграфе мы напомним одну простейшую схему продолжения к.-а. меры (продолжение с.-а. мер сейчас не рассматриваем, отсылая к многочисленным публикациям по классической теории меры; см., например, [3, 10, 14, 23]). Впрочем, в конце настоящей главы будут рассмотрены некоторые вопросы такого рода.

§4.3. Продолжение конечно-аддитивной меры с полуалгебры множеств на алгебру, порожденную данной полуалгеброй

Настоящий параграф посвящен изложению хорошо известной и весьма элементарной процедуры продолжения меры; см., в частности, [23, гл. I]. Краткое изложение этой схемы в обозначениях настоящей книги имеется в [27, § 5]. Поэтому читатель может, в принципе, пропустить данный раздел. Однако с методологической точки зрения имеет смысл дать представление об «универсальном» продолжении к.-а. мер и его простейших свойствах; «универсальность» означает, что данная процедура продолжения годится для любой к.-а. меры, определенный первоначально на полуалгебре множеств. Полагаем всюду в настоящем параграфе выполненным (3.6.1), т. е. рассматриваем случай ИП (E, L) с полуалгеброй множеств. Пусть, кроме

193

того, всюду в настоящем разделе

o

A = aE(L).

Тогда A (alg)[E] имеет следующий вид (см. (1.7.9)):

{ }

A = A P(E) | n N : ∆n(A, L) ≠ .

(4.3.1)

(4.3.2)

Мы не приводим здесь доказательства (4.3.2); см., в частности, [23, гл. I], [3]. В обозначениях настоящей работы очень подробное доказательство (4.3.2) приведено в [27, c. 184–193].

В связи с (4.3.1), (4.3.2) следует, конечно, иметь в виду (см. § 1.7), что A (alg)[E | L] и, кроме того,

˜ ˜
A A A (alg)[E | L].
В частности, L A (см. (1.7.7)); стало быть, имеет свойство
L P′(A).	(4.3.3)
В силу (4.3.3) имеем, что ∆n(A, L) ∆n(A, A) A A	n N . В

частности, ∆n(L, L) ∆n(L, A) L L n N . Поэтому (см. (2.2.4))

(	)	(4.3.4)
(µ | L) =	µ(L) L L (add)[L] µ (add)[A].

Из (4.3.4) имеем, в частности, что (µ | L) (add)+[L] µ (add)+[A]. Заметим, кроме того, что в силу (4.3.3) ∆∞[A; L] ∆∞[A; A] A A. В частности, ∆∞[L; L] ∆∞[L; A] L L. Поэтому (см. (2.3.3))

(	)	(4.3.5)
(µ | L) =	µ(L) L L (σ − add)[L] µ (σ − add)[A].

Из (4.3.5) имеем, конечно, что (µ | L) (σ − add)+[L] µ (σ − add)+[A]. В упомянутых соотношениях (см. (4.3.4), 4.3.5)) рассматривается сужение мер, определенных первоначально на A. Нас интересует процедура обратная, т. е. процедура продолжения (см. обсуждение в [27, § 5]).

Предложение 4.3.1. Если A A, m N , (Li)i 1,m ∆m(A, L), n N

и (Λj)j 1,n ∆n(A, L), то

m	n
∑i	∑
µ(Li) =	µ(Λj) µ (add)[L].
=1	j=1

194

Доказательство. Фиксируем A, m, (Li)i 1,m, n, (Λj)j 1,n в согласии с

условиями. Тогда

(

∩

∩

L

) j

.

(Li

Λj)j

∆n(Li, ) i

1, m & (Li

Λj)i

∆m(Λj,

1, n

1,n

1.m

L

) (

(4.3.6) )

Пусть µ (add)[L]. Тогда в силу (2.2.4) и (4.3.6) получаем равенства

n

m

∑

∑

( ) ( )

µ(Li) = µ(Li ∩ Λj) i 1, m & µ(Λj) = µ(Li ∩ Λj) j 1, n .

j=1 i=1

Но в этом случае имеем по свойствам двойных сумм (см. глава 1) цепочку равенств

m	m n	n	m	n
∑i	∑∑	∑j	∑i	∑j
	µ(Li) =	µ(Li ∩ Λj) =		µ(Li ∩ Λj) = µ(Λj).	2
=1	i=1 j=1	=1	=1	=1
				n

Следствие 4.3.1. Если µ (add[L] и A A, то !c R :			µ(Li) =
			=1
= c n N (Li)i		∆n(A, L).	i∑
	1,n

Доказательство получается непосредственной комбинацией (4.3.2) и предложения 4.3.1. Теперь уже очевидно

Предложение 4.3.2. Если µ (add)[L], то

n
∑i
! ν RA : µ(Li) = ν(A) A A n N (Li)i	1,n		∆n(A, L).
=1

Определение 4.3.1. Если µ (add)[L], то полагаем, что α[µ] RA есть def такая единственная ФМ на A, что

n
∑i
α[µ](A) = µ(Li) A A n N (Li)i	1,n	∆n(A, L).	2
=1

Мы использовали уже ранее тот очевидный факт, что для ИП с алгеброй множеств из конечной аддитивности ФМ вытекает «простая» аддитивность (см. (4.2.3)). Собственно говоря, (4.2.3) соответствует частному случаю свойства конечной аддитивности. На самом же деле верно и обратное: свойство (4.2.3) влечет конечную аддитивность соответствующей ФМ.

195

j=1

n+1

Предложение 4.3.3. Если µ : A → R, то истинна следующая импли-

кация

( ( ( )))

A1 A A2 A (A1 ∩A2 = ) µ(A1 A2) = µ(A1)+µ(A2) =

(	)	(4.3.7)
= µ (add)[A]	.

Доказательство очевидно, но в целях полноты изложения мы его все же рассмотрим, полагая, что истинна посылка доказываемой импликации (4.3.7). Пусть

m
∑
S = {m N | µ(A) = i=1 µ(Ai) A A (Ai)i 1,m ∆m(A, A)}. (4.3.8)
Ясно, что 1 S. Тогда, в частности, S P′(N ). Пусть n S; тогда
n
∑i	∆n(A, A).	(4.3.9)
µ(A) = µ(Ai) A A (Ai)i 1,n
=1

При этом n N и n + 1 N . Пусть U A и (Uj)j 1,n+1 ∆n+1(U, A). Тогда

( ) ( )

U = Uj & Uj1 ∩ Uj2 = j1 1, n + 1 j2 1, n + 1 . (4.3.10)

При этом (см. (1.7.11), (4.3.10)) имеем с очевидностью, что

n
j
	(4.3.11)
V = Uj A
=1

и при этом (Uj)j 1,n ∆n(V, A); в силу (4.3.9) имеем, стало быть, равенство

n
∑j	(4.3.12)
µ(V ) = µ(Uj).
=1

При этом (см. (4.3.10), (4.3.11)) U = V Un+1, кроме того, V ∩ Un+1 = . Из предложения об истинности посылки (4.3.7) имеем (см. (4.3.11)), что µ(U) = µ(V ) + µ(Un+1), откуда согласно (4.3.12)

∑n+1

µ(U) = µ(Uj).

j=1

196

Поскольку U и (Uj)j 1,n выбирались произвольно, установлено (см. (4.3.8)), что n + 1 S, чем завершается проверка импликации

(n S) = (n + 1 S).

Поскольку и n выбиралось произвольно, имеем, что m N

(m S) = (m + 1 S).

Поэтому S = N (см. принцип математической индукции в гл. 1), а тогда

µ (add)[A] (см. (2.2.3), (2.3.4)).

2

Замечание 4.3.1. Из предложения 4.3.3 легко извлекается следующий

общий факт: если D (alg)[E], то					((D1 ∩ D2 = ) =
(add)[D] = {µ RD | D1 D D2				D
	1	2	1		2	)}			o
= (µ(D		D	) = µ(D	) + µ D		) .		(4.3.13)
Для обоснования (4.3.13) достаточно полагать					( =	); тогда	A	= a	E	( ) =
					L	D				L
= D. Наряду с предложением 4.3.3 следует учесть (4.2.3).										2

Предложение 4.3.4. Если ν (add)[L], то α[ν] (add)[A].

Доказательство. Фиксируем ν (add)[L] и полагаем для краткости

µ = α[ν]. Пусть A1 A и A2 A таковы, что A1 ∩ A2 = . Сравним значения

µ(A1 A2) R, µ(A1) + µ(A2) R.

Для этого подберем, используя (4.3.2),

m N , (Li)i 1,m ∆m(A1, L), n N , (Λj)j 1,n ∆n(A2, L)

так, что при этом справедливы (см. определение 4.3.1) равенства

m	n
∑	∑
(µ(A1) = i=1 ν(Li))	& (µ(A2) = j=1 ν(Λj)).

Если j m + 1, m + n, то j − m 1, n и Λj−m L. Введем в рассмотрение кортеж

(Γk)k 1,m+n : 1, m + n −→ L

	по следующему правилу: 1) если k 1, m, то Γk
					= Lk; 2) если k
	m + 1, m + n, то Γk = Λk−m. При этом по выбору (Li)i					и (Λj)j		имеем
					1,m		1,n
	вложение
		m+n
		k			(4.3.14)
		Γk A1 A2.
	=1

197

Далее, A1 совпадает с объединением всех множеств Γk, k 1, m. Если же x A2, то для некоторого jx 1, n имеем включение x Λjx; при этом

kx = m + jx m + 1, m + n и, кроме того, Γkx = Λjx. В итоге x Γkx и, тем более, x есть элемент объединения всех множеств Γk, k 1, m + n. Стало

быть,

				m+n
			A2		Γk
=1
				k
m+n
(вложение A1 Γk установлено ранее); итак,
k=1
					m+n
		A1 A2				Γk.
					=1
					k
С учетом (4.3.14) получаем следующее равенство
					m+n
		A1 A2 =			k				(4.3.15)
						Γk.
					=1
Выберем произвольно p				и q			\ {p}. Тогда
		1, m + n				1, m + n
									(4.3.16)
(p	1, m		) (p		m + 1, m + n			).

Кроме того, (q 1, m) (q m + 1, m + n). Рассмотрим отдельно оба случая в (4.3.16).

1) Пусть p 1, m. Тогда Γp = Lp A1. Если при этом q 1, m, то определено множество Lq L и, коль скоро p ≠ q, непременно Lp ∩Lq = ; кроме того, в данном случае Γq = Lq. Следовательно,

			(4.3.17)
(q 1, m) = (Γp ∩ Γq = ).

Если же q m + 1, m + n, то q−m 1, n, определено множество Λq−m L, для которого Λq−m A2 и, кроме того, Γq = Λq−m. В итоге Γp A1, ΓqA2 и Γp ∩Γq = в случае q m + 1, m + n (учитываем, что A1 ∩A2 = ). С учетом (4.3.17) получаем всегда в случае 1) равенство Γp ∩ Γq = . Итак,

			(4.3.18)
(p 1, m) = (Γp ∩ Γq = ).

2) Пусть p m + 1, m + n. Тогда p − m 1, n, определено множество Λp−m L и Γp = Λp−m A2 (по выбору (Λj)j 1,n). Если q 1, m, то

198

определено множество Lq L, Lq A1, выполняется равенство Γq = Lq и, как следствие,

Γp ∩ Γq = Λp−m ∩ Lq =

(в самом деле, Γp ∩ Γq A1 ∩ A2 = ). Итак, имеем:

			(4.3.19)
(q 1, m) = (Γp ∩ Γq = ).

Пусть (при условии p m + 1, m + n) q m + 1, m + n. Тогда q−m 1, n, определено множество Λq−m L и Γq = Λq−m, причем

q − m 1, n \ {p − m},

а тогда Γp ∩ Γq = Λp−m ∩ Λq−m = .		Итак, имеем (при условии p
m + 1, m + n	), что

(q m + 1, m + n) = (Γp ∩ Γq = ).

В итоге (см. (4.3.19)) Γp ∩Γq = всегда в рассматриваемом случае 2). Итак,

(p m + 1, m + n) = (Γp ∩ Γq = ).

(4.3.20)

Из (4.3.16), (4.3.18) и (4.3.20) имеем во всех возможных случаях равенство Γp ∩ Γq = . Поскольку выбор p и q был произвольным, установлено, что

Γi ∩ Γj = i 1, m + n j 1, m + n \ {i}.

С учетом (4.3.15) получаем теперь свойство:

(Γk)k 1,m+n ∆m+n(A1 A2, L).

С учетом определения 4.3.1 и определения µ получаем равенство

m+n
∑k	(4.3.21)
µ(A1 A2) = ν(Γk).
=1

Введем тождественную биекцию i (bi)[1, m + n; 1, m + n] по правилу:

i(k) = k k 1, m + n. Учитывая, что 1, m + n Fin(N ), имеем для этого непустого конечного множества равенство |1, m + n| = m + n и

m+n	m+n	∑			∑				∑
∑	∑
ν(Γk) =		ν(Γi(k)) =		ν(Γk) =			ν(Γk) +			ν(Γk),
k=1	k=1
		k 1,m+n			k 1,m			k m+1,m+n
								(4.3.22)

199