elemen_teorija

С учетом (4.5.28) получаем следующее утверждение

(	)
∫	fi dν	i N −→ ∫	f dν.

Поскольку выбор ν и Λ был произвольным, имеем следствие доказываемой

импликации (4.5.27).

2

Всвязи со следствием 4.5.2 полезно напомнить предложение 3.7.2, получая при этом утверждение о поточечной сходимости последовательности неопределенных интегралов.

Взаключении раздела отметим, в порядке иллюстрации свойства непрерывности значений с.-а. меры на монотонных последовательностях измеримых множеств, следующее

Предложение 4.5.5. Если L (alg)[E], f (Meas)[E; L] ∩ B(E), µ

Pσ(L) и c R, то		)	(E	)	( (	) )
(	(
	f(x) 6 c x E &		∫	f dµ = c	)= µ f−1	( ] − ∞, c[) = 0 .

Замечание 4.5.1 С учетом (2.8.2) имеем, что f−1( ]−∞, a[) L a R. Кроме того, согласно предложению 2.8.3 f B(E, L); стало быть, ЯИ

функции f относительно µ определяется по рецептам главы 3.

2

Доказательство предложения 4.5.6. Пусть выполнены следующие

условия:

)

(E

)

(

&

f dµ = c

(4.5.29)

f(x) 6 c

x E

∫

.

Полагаем для краткости

1

( ]

, c[)

и, кроме того,

A = f−

− ∞

1

A

f−1

, c

k

.

( ] − ∞

− k[)

k

=

N

Тогда имеем A L и (Ak)k N LN . При этом

A = {x E | f(x) < c};

(4.5.30)

1

}

(4.5.31)

Ak =

x E | f(x) < c −

k

.

k

В силу (4.5.30) и (4.5.31){имеем вложение

N

(4.5.32)

Ai A.

i N

230

Пусть x A. Тогда x E и при этом f(x ) < c, т. е. c − f(x ) ] 0, ∞[ и, следовательно, определено значение

1

c − f(x ) ] 0, ∞[.

Подберем (см. (1.3.3)) N N такое, что

1

c − f(x ) < N.

Последнее означает, как легко проверить, справедливость неравенства

1 f(x ) < c − N ,

т. е. x AN ; см. (4.5.31). Поэтому x содержится в объединении всех

множеств Ai, i N . В итоге

A Ai.

iN

С учетом (4.5.32) получаем следующее равенство:

A = Ai.

(4.5.33)

iN

Кроме того, из (4.5.31) следует, что

Ak Ak+1 k N .

С учетом определений раздела 1.7 и (4.5.33) имеем теперь сходимость

(Ai)iN ↑ A.

(4.5.34)

Из (4.2.24) и (4.5.34) вытекает следующее свойство сходимости

(	)			(4.5.35)
	µ(Ai) iN ↑ µ(A).
Покажем, что µ(A) = 0. В самом деле, допустим противное:
	µ(A) ] 0, ∞[.			(4.5.36)
Тогда в силу (4.5.35) найдется n N , для которого
| µ(An) − µ(A) | <		µ(A)
			.
		2

231

Это означает, в частности, справедливость следующего неравенства

µ(A)

εµ = < µ(An), (4.5.37)

2

где εµ ] 0, ∞[. По аксиомам алгебры множеств имеем

	Bn = E \ An L.
При этом множества An, Bn образуют разбиение E :
(E = An Bn) & (An ∩ Bn = ).				(4.5.38)
Поскольку (см.§ 3.7) f µ A(L), то справедливо равенство
(f µ)(An) + (f µ)(Bn) = (f µ)(E);
иными словами, согласно предложению 3.7.2,
∫	f dµ + ∫	f dµ = ∫	f dµ = c.	(4.5.39)
An	Bn	E
Отметим, что (см. (4.5.31)) справедливо равенство

1
An = {x E | f(x) < c −		}.
	n

Как следствие, получаем очевидную оценку

1

fχAn 5 (c − n) · χAn

Но в этом случае (см. (3.4.34), (3.7.3))

∫ f dµ = ∫

fχAn dµ 6 ∫

1

1

µ(A

)

(c−

)·χAn dµ = (c

−

)µ(An) = cµ(An)−

n

.

n

n

n

An

E

E

С учетом (4.5.37) мы получаем неравенство

∫

f dµ 6 cµ(An) −

εµ

(4.5.40)

.

n

An

Напомним, что (см.(4.5.29)) справедлива также следующая оценка fχBn 5 cχBn.

232

Поэтому (см. (3.4.34), (3.7.4)) получаем следующее свойство
∫	f dµ = ∫	fχBn dµ 6	∫	cχBn dµ = cµ(Bn).			(4.5.41)
Bn	E		E
Из (4.5.39) – (4.5.41) получаем следующее неравенство
	c 6 c(µ(An) + µ(BN ))−				εµ		(4.5.42)
						.
					n

Но из (4.5.38) и аддитивности µ имеем цепочку равенств

1= µ(E) = µ(An) + µ(Bn).

Сучетом (4.5.42) получаем, следовательно, неравенство

εnµ 6 0,

которое невозможно, т. к. εµ ] 0, ∞[ и n N . Полученное, при условии (4.5.36), противоречие показывает, что само (4.5.36) невозможно и, следовательно, на самом деле µ(A) = 0. С учетом (4.5.30) получаем (при условии (4.5.29)) требуемое равенство

µ(f−1( ]−∞, c[))= 0.

2

С учетом теоремы 2.8.1 имеем очевидное, но весьма полезное

Следствие 4.5.3. Если L (σ − alg)[E], f B(E, L), µ Pσ(L) и c R,

то

(	(	) (	∫	)	( (	) )
		f(x) 6 c x E &		f dµ = c	)= µ f−1	( ] − ∞, c[) = 0 .

E

Возвращаясь к предложению 4.5.5, отметим, что к.-а. «аналог» данного положения, вообще говоря, неверен (речь идет о случае, когда в качестве µ используется к.-а. вероятность). Рассмотрим соответствующий пример.

Пусть до конца настоящего раздела E = N , Z Π[E] соответствует примеру § 1.7, т. е. Z = Z1 Z2, где Z1 — семейство всех промежутков

−−−→

i, j, i N , j N, а Z2 — семейство всех промежутков m, ∞, m N.

e

Рассмотрим к.-а. вероятность µ∞ T(L) : µ∞(L) = 0 при L Z1, µ∞(L) =

e

= 1 при L Z2. Пусть до конца настоящего раздела

o

L = aE(Z);

233

в этом случае L (alg)[E]. Тогда, в частности, Z L, т. е. Z Π[E]∩P(L). В этом случае определяем f : E → R в виде следующей последовательности:

	1
f(k) = −		k N ;
	k

тогда f (LIM)[R] и, следовательно, f B(E, L); см. (4.4.23). Определяем µ на основе естественного продолжения µ∞ : до конца настоящего раздела полагаем

ясно, что µ P(L). При этом	µ = α[µ∞];
	µ∞ = (µ | Z). Из (4.4.27) имеем равенство
∫	f dµ∞ = ∫		f dµ.
E		E
Напомним (3.8.25), откуда вытекает равенство
	∫	f dµ = 0.		(4.5.43)

E

Заметим, что в силу монотонности f имеем при a R свойство

f−1( ] − ∞, a[) Z.

(4.5.44)

В самом деле, при a ] − ∞, −1] имеет место f−1( ] − ∞, a[) = Z. Если a [0, ∞[, то f−1( ] − ∞, a[) = E Z. Пусть a ] − 1, 0[. Тогда

	(4.5.45)
Ξ = {k N | f(k) < a} P′(N );

1 Ξ. С другой стороны, с учетом (1.3.3) имеем, что для некоторого n N

выполняется неравенство a 6 f(n). Поскольку

f

(n) 6

(

)

k

−−→

,

f k

n,

∞

то

причем

Это означает, в

f−1

( ]

− ∞

, a[)

1, n,

n / f−1( ]

− ∞

, a[).

частности, (см.(4.5.45)), что Ξ P′(1, n). Следовательно, имеем свойство

Ξ Fin(N ); см. § 1.4. Тогда r = sup(Ξ) Ξ; см. §§ 1.3, 1.4. Тогда в силу (4.5.45) f(r) < a. Кроме того, по определению f имеем, что

f(k) 6 f(r) < a k 1, r;

тогда в силу (4.5.45) имеем очевидное вложение 1, r Ξ. Далее, по определению r имеем свойство r + 1 / Ξ. Тогда r + 1 N \ Ξ, а потому (см.

(4.5.45)) a 6 f(r + 1). Однако тогда								−−−−−→
a	6	(		+ 1)	6	( )
		f	r			f s		∞
							s	r + 1, .

234

Поэтому

−−−−−→

Ξ ∩ r + 1, ∞ = .

Стало быть, Ξ 1, r, чем и завершается обоснование равенства Ξ = 1, r, т. е. Ξ Z1. В частности, Ξ Z. Мы установили (см. (4.5.45)), поскольку выбор a был произвольным, что

f−1( ] − ∞, a[) Z a ] − 1, 0[.

Однако ранее было отмечено, что (очевидным образом)

f−1( ] − ∞, a[) Z z ] − ∞, −1] [ 0, ∞[.

Стало быть, выполняется (4.5.44) и, в частности,

f−1( ] − ∞, a[) L a R.

(4.5.46)

В силу (2.8.1) имеем свойство f (Meas)[E; L]. Кроме того, f B(E), т.к.

−1 6 f(k) < 0 k N .

Мы установили, что f (Meas)[E; L] ∩ B(E), где L (alg)[E], есть такая функция, что для к.-а. вероятности µ P(L), определенной ранее, и числа

c = 0 выполняется условие (см.(4.5.43))

( ) (∫ ) f(x) 6 c x E & f dµ = c

E

и, одновременно, оказывается, что

µ(f−1( ] − ∞, c[))= 1

(поскольку в нашем случае f−1( ]−∞, c[) = E и, следовательно, µ(E) = 1). Итак, условие счетной аддитивности меры в предложении 4.5.5 существенно.

§ 4.6. Линейные комбинации мер Дирака

Настоящий параграф имеет иллюстративный характер и касается действия простейших с.-а. мер, а именно: мер Дирака и их линейных комбинаций (см. § 2.4). Фиксируем семейство L, удовлетворяющее (2.2.1). Множество E полагаем непустым. Тогда (см. § 2.4)

(δx | L) Tσ(L) x E.

(4.6.1)

235

Предложение 4.6.1. Если f Bo(E, L) и x E, то справедливо равен-

ство

∫(el)

f d(δx | L) = f(x).

E

Доказательство. Фиксируем f и x в согласии с условиями. Подберем с учетом (2.7.2) n N , (αi)i 1,n Rn и (Li)i 1,n ∆n(E, L) так, что при

этом

∑n

f =	αiχLi.
	i=1

Тогда !j 1, n : x Lj. Пусть r 1, n обладает свойством x Lr. Тогда (см. предложение 2.7.1)

		f(x) = αr.	(4.6.2)
С другой стороны, имеем в силу (3.2.7) равенство
(el)		n
E		∑
∫	f d(δx | L) = i=1 αiδx(Li).		(4.6.3)

При этом по свойствам разбиений x E \ Lj j 1, n \ {r}. Тогда имеем

( ) ( )

δx(Lr) = 1 & δx(Lj) = 0 j 1, n \ {r} .

С учетом (4.6.2), (4.6.3) получаем требуемое свойство:

(el)
∫ f d(δx | L) = αrδx(Lr) = f(x).	2

E

Предложение 4.6.2. Если f B(E, L) и x E, то справедливо равенство

∫	f d(δx| L) = f(x).	(4.6.4)
E

Доказательство. Фиксируем f и x в соответствии с условиями. Используя (2.7.25), подберем последовательность (fi)iN Bo(E, L)N , для которой

(fi)iN f.

(4.6.5)

236

Тогда в силу предложения 4.6.1 мы получаем систему равенств

∫(el)	(4.6.6)
fj d(δx | L) = fj(x) j N .
E

С учетом (4.6.5) и (4.6.6) получаем, в частности, сходимость

(∫(el) )

fi d(δx | L)	i	−→ f(x).	(4.6.7)
		N

E

С другой стороны, из предложения 3.3.1 и (4.6.5) получаем также свойство сходимости

(el)		)
(E	fi d(δx | L)		E
∫		iN −→	∫ f d(δx | L).
С учетом (4.6.7) получаем требуемое равенство (4.6.4).				2
Итак (см. (3.3.7)), установлено свойство: если x E и µ = (δx | L), то

()

Iµ = f(x) f B(E,L);

интегральный функционал такой меры µ сводится к операции вычисления, отвечающей выбранной наперед точке множества E.

С учетом предложения 2.5.2 и (4.6.1) имеем, в частности, n N

(αi)i 1,n Rn (xi)i 1,n En

∑n

		αi · (δxi | L) A(L).	(4.6.8)
		i=1
С другой стороны, из следствия 2.5.2 и (4.6.1) имеем n N			(αi)i
				1,n
Rn (xi)i		En
	1,n
		n
		αi · (δxi | L) (σ − add)[L].	(4.6.9)
=1
		∑i

Из (4.6.8), (4.6.9) имеем, в частности, возможность конструировать ЯИ для мер, упоминаемых в этих соотношениях. В дополнение к (4.6.8), (4.6.9) отметим несколько совсем простых свойств, полагая для всякого n N ,

что n { n 6 }

R+ = (xi)i 1,n R | 0 xj j 1, n

237

							n	n
и, кроме того, Sn = {(αi)i			1,n			R+		| i=1	αi = 1}. Из (4.6.1) и (4.6.9) имеем
								n
n N (αi)i	1,n	R+n (xi)i			1,n		E∑
		n
		∑i				| L) (σ − add)+[L].				(4.6.10)
		αi · (δxi
=1

В свою очередь, из (4.6.1) и (4.6.10) легко следует свойство: n N

(αi)i 1,n Sn (xi)i 1,n En

∑n

αi · (δxi | L) Pσ(L).

(4.6.11)

i=1

Свойство (4.6.11) может использоваться при построении математического ожидания. В этой связи отметим сначала более общее

Предложение 4.6.3. Если f B(E, L), n N , (αi)i 1,n Rn и (xi)i 1,n

En, то	E		(∑	)	∑
	∫		n		n
		f d	i=1 αi · (δxi | L) = i=1 αif(xi).
Доказательство. Из предложения 4.6.2 вытекает, что
		∫						(4.6.12)
			f d(δxi	| L) = f(xi)	i	1, n.

E

С другой стороны, из предложения 3.4.1 с применением индукции получа-

ем, что	E		(∑	) ∑	E
	∫		n	n	∫ f d(δxi | L).
		f d	i=1 αi · (δxi | L) = i=1 αi
Используя (4.6.12), получаем требуемое утверждение.						2

В силу (4.6.11) имеем из предложения 4.6.3 очевидное представление математического ожидания в простейшем случае вероятностного пространства в смысле А. Н. Колмогорова.

238

§4.7. Некоторые конструкции продолжения конечноаддитивной меры

Вглаве 3 был введен ЯИ и приведены его основные свойства для случая очень общего ИП (E, L); см. (2.2.1) и утверждения, полученные в случае ИП с полуалгеброй множеств. В настоящей главе были приведены весьма важные положения, в которых было существенным использование более «совершенных» ИП. В этой связи требуется, как правило, организовать так или иначе продолжение меры с исходной измеримой структуры на структуру, более обширную в смысле запаса множеств. В § 4.3 мы рассмотрели простейший вариант такого продолжения. Упомянутая в § 4.3 процедура обладала при этом универсальностью в том смысле, что она была применимой к любой к.-а. мере, заданной на исходной измеримой структуре (в случае § 4.3 — на полуалгебре п/м E). Если же исходную к.-а. меру зафиксировать, то можно, вообще говоря, ее продолжить, и притом конструктивно, на большее семейство множеств. Такого рода процедуру мы и рассматриваем в данном параграфе и далее в настоящей главе.

Замечание 4.7.1. Если отказаться от идеи конструктивности, то опираясь на теорему Хана-Банаха (см. [10,12,14]), можно говорить о продолжении к.-а. меры ограниченной вариации на семейство всех п/м E; оно не обладает свойством единственности, а обоснование его существования использует лемму Цорна и, следовательно, аксиому выбора. Мы не рассматриваем здесь упомянутое продолжение, связываемое обычно с результатом Тарского (см. [42]).

Напомним некоторые вспомогательные понятия, полагая в дальнейшем E произвольным множеством с алгеброй

L (alg)[E]

(4.7.1)

п/м E. Итак, (E, L) — произвольное ИП с алгеброй множеств (случай E = = не исключается, хотя и не представляет интереса). Если S P(E), то в согласии с (1.1.38)

[L](S) = {L L | S L} P′(L)

(4.7.2)

(в частности, E [L](S)). Итак, произвольному п/м E сопоставляется непустое подсемейство алгебры L (4.7.1), «составленное» из измеримых множеств, содержащих это п/м. Далее, из (4.7.2) вытекает, что µ

(add)+[L] S P(E)

µ1([L](S))= {µ(L) : L [L](S)} P′( [0, ∞[).

(4.7.3)

239