elemen_teorija

имеем h∞(fo) = 0, а потому (см. (3.8.25))

∫	(3.8.30)
fo dµ∞ = 0.
E

Коль скоро µ∞ есть к.-а. вероятность, то (3.8.30) означает, что в к.-а. версии теории вероятностей возможна ситуация: строго положительная случайная величина имеет нулевое математическое ожидание.

§3.9. Пространство-стрелка

Внастоящем параграфе рассмотрим континуальный аналог конструкции предыдущего параграфа, имеющий к тому же определенное практическое значение (см., в частности, конструкции расширений линейных задач импульсного управления в [35–37]). Всюду в пределах настоящего параграфа фиксируем два числа a R и b ]a, ∞[ и полагаем

	(3.9.1)
E = [a, b[.

Итак, в данном параграфе E = {ξ R | (a 6 ξ) & (ξ < b)}; из (3.9.1) следует, что E ≠ . Легко видеть, что

[pr1(z), pr2(z)[ P(E) z [a, b] × [a, b].				(3.9.2)
С учетом (3.9.2) полагаем в пределах настоящего параграфа, что
L = {[pr1(z), pr2(z)[ : z [a, b] × [a, b]},				(3.9.3)
получая непустое семейство п/м E :	L P	′	(E) . Из (3.9.3) следует, что
L таково, что:		(P	)
1) [u, v[ L u [a, b] v [a, b];

2) L L u [a, b] v [a, b] : L = [u, v[.

Пару (E, L), удовлетворяющую (3.9.1) и (3.9.3), условимся называть пространством-стрелкой, или даже просто стрелкой, соответствующей зна-

чениям a, b. Легко проверяется, что
L Π[E].	(3.9.4)

Доказательство (3.9.4) непосредственно следует из определения (см. (1.7.3)); см. также [27, c. 92, 93]. Итак, (E, L) есть (в рассматриваемом случае) ИП с полуалгеброй множеств; см. (3.9.3). С учетом (2.7.2), (2.7.3) получаем, что

170

Bo(E, L) есть (см. свойства 1), 2), упомянутые после (3.9.3)) множество всех кусочно-постоянных и непрерывных справа в/з функций на полуинтервале (3.9.1).

Отметим, что в силу (3.9.3) справедливо вложение

L \ { } BR↓ ∩ BR↑ ;

поэтому для всякого L L \ { } определены значения

( inf(L) R) & ( sup(L) R).

Более того, из определения точной нижней и точной верхней граней вытекает, что L L \ { }

( inf(L) E) & ( sup(L) ]a, b]).

Кроме того, если L L \ { } то непременно справедливо равенство

L = [ inf(L), sup(L)[.

(3.9.5)

В самом деле, подберем u [a, b] и v [a, b], для которых L = [u, v[. Поскольку L ≠ , то u < v, где u L. Тогда inf(L) = u (L [u, ∞[, а потому u 6 inf(L); кроме того, inf(L) 6 u, т. к. u L). Далее, L ]−∞, v], а потому sup(L) 6 v. Отметим, что при t [ 0, 1[

u 6 u + t(v − u) < v

(поскольку v − u ] 0, ∞[) и, следовательно, u + t(v − u) 6 sup(L). В частности,

w

= u + (1

1

)(v

u) = v

v

+

u

= v

v − u

6

sup(L) k

.

−

− k

k

−

k

k

− k

N

При этом (wk)kN → v, а тогда из упомянутой последовательности неравенств вытекает, что v 6 sup(L), чем и завершается проверка равенства v = sup(L). Итак, мы получаем (3.9.5). На самом деле мы установили следующее

Свойство ( ). Если L L\{ }, u [a, b], v [a, b] и при этом L = [u, v[,

то u = inf(L) и v = sup(L).

Свойство ( ) используем далее наряду с (3.9.5).

Если n N и (Li)i 1,n ∆n(E, L), то j 1, n : Lj L \ { }.

Предложение 3.9.1. Если N N , (Li)i 1,N ∆N (E, L) и c ]a, b], то

!L L \ { } :

( ) ( ) c ] inf(L), sup(L)] & k 1, N : L = Lk .

171

Доказательство. Фиксируем (Li)i 1,N и c в согласии с условиями. То-

гда (см. (1.4.9))

K

i

L

′

,

(3.9.6)

1

, N

|

, N

= {

i ̸= } P

(1

)

т. к. E ̸= . При этом, конечно, K

Fin(1, N) и, полагая n = |K|, имеем,

что n N и

(bi)[1, n; K] ≠ .

Пусть λ (bi)[1, n; K]. Тогда λ : 1, n → K и при этом

( ) ( )

k K j 1, n : k = λ(j) & λ(j1) ≠ λ(j2) j1 1, n j2 1, n\{j1}

Отметим, кроме того, что по выбору (Li)i 1,n и K (3.9.6)

n

E = Lk = Lλ(i).

(3.9.7)

k K i=1

При этом Lλ(j) L \ { } j 1, n. Кроме того, по свойствам (Li)i 1,n и λ получаем, что

Lλ(j1) ∩ Lλ(j2) = j1 1, n j2 1, n \ {j1}

(в самом деле, если j1 1, n, j2 1, n, j1 ≠ j2, то λ(j1) ≠ λ(j2), а потому

Lλ(j1) ∩ Lλ(j2) = ). В итоге
(Lλ(i))i				∆n(E, L \ { });			(3.9.8)
			1,n
см. (1.4.9). Коль скоро a E, имеем из (3.9.7), (3.9.8), что
							(3.9.9)
K = {i 1, n | inf(Lλ(i)) < c} P′(1, n)

(в самом деле, a Lλ(j) при некотором j 1, n, а тогда inf(Lλ(j)) 6 a < c).

Из (3.9.9) имеем, что K Fin(1, n). Полагаем n = |K|; тогда n N и

(bi)[1, n; K] ≠ . Полагаем, что λo (bi)[1, n; K], т. е.

( ) ( )

k K j 1, n : k = λo(j) & λo(j1) ≠ λo(j2) j1 1, n j2 1, n\{j1} .

Тогда (см. § 1.3) корректно определяется

θ = sup({inf(L(λ◦λo)(i)) : i 1, n}) R
и, более того, для некоторого p
	1, n
θ = inf(Lq),					(3.9.10)

172

		В самом деле, q = λ λo(p) K, т. к. λo(p) K;
где q = (λ ◦ λo)(p) K.
в силу (3.9.9), (3.9.10)	θ < c.		Покажем, что	(	6	)	q	).	В самом деле,
				c		sup(L
допустим противное:									(3.9.11)
			sup(Lq) < c.

Тогда, коль скоро c 6 b, имеем с очевидностью включение

sup(Lq) E.

Поэтому для некоторого r 1, N имеем включение sup(Lq) Lr; при этом, конечно, r K, т. к. Lr ≠ . Отметим, что inf(Lr) [a, b[, sup(Lr) ]a, b]

и при этом, конечно,
inf(Lr) 6 sup(Lq) < sup(Lr).	(3.9.12)

Имеем равенство r = λ(kr) для некоторого kr K, т. к. в силу (3.9.11), (3.9.12) имеет место неравенство inf(Lr) < c (напомним, что r K и пото-

му r = λ(j) для некоторого j 1, n; f(Lr) = inf					Lλ(j)) . В свою очередь,
kr = λo(jr), где jr		. Поэтому r = (λ ◦ λo)(jr).(			Тогда)по определению θ
	1, n

inf(Lr) = inf(L(λ◦λo)(jr)) 6 θ.

С учетом (3.9.12) имеем вложение [ θ, sup(Lq)[ [ inf(Lr), sup(Lr)[. Напомним, что (см. (3.9.10))

Lq = [ inf(Lq), sup(Lq)[= [θ, sup(Lq)[, Lr = [ inf(Lr), sup(Lr)[, (3.9.13)

т. к. q K и r K. Поэтому имеем вложение Lq Lr, откуда в силу непустоты Lq имеем, в частности, что Lq ∩ Lr ≠ , что по выбору (Li)i 1,N означает совпадение q = r (см. (1.4.9)). Но тогда по выбору r имеем включение sup(Lq) Lq, что невозможно (см. (3.9.13)). Полученное (при условии (3.9.11)) противоречие показывает, что (3.9.11) невозможно и, следовательно, c 6 sup(Lq), откуда (см. (3.9.10)) и ранее установленную оценку снизу для c)

c ] inf(Lq), sup(Lq)].					(3.9.14)
Итак, Λ = Lq L \ { } обладает свойствами
(c ] inf(Λ), sup(Λ)])& ( k				: Λ = Lk).	(3.9.15)
	1, N
Пусть теперь M L \ { } также обладает свойствами
(c ] inf(M), sup(M)])& ( k				: M = Lk).	(3.9.16)
		1, N

173

)

(c ] inf(H), sup(H)]) & ( k 1, N : H = Lk) = (Λ = H).

Тогда для числа α = sup({inf(Λ); inf(M)}) мы имеем из (3.9.15), (3.9.16)
оценку α < c; кроме того, для числа β = inf({sup(Λ); sup(M)}) имеем из
(3.9.15), (3.9.16) оценку c 6 β. Стало быть, c ]α, β]. При этом
α + c		]α, c[
d =
	2

и, в частности, d ]α, β[. Поскольку Λ = [ inf(Λ), sup(Λ)[, то d Λ. Аналогичным образом d M, т.к. M = [ inf(M), sup(M)[. Стало быть, d Λ∩M. Но тогда по свойствам (Li)i 1,N имеем (поскольку Λ∩M ≠ ), что Λ = M :

действительно, пусть s 1, N обеспечивает равенство M = Ls, из которого вытекает что Lq ∩Ls ≠ и, как следствие, q = s, откуда Λ = Lq = Ls = M. Поскольку выбор множества M, удовлетворяющего (3.9.16), был произвольным, установлено, что H L \ { }

(

С учетом (3.9.15) получаем доказываемое утверждение.

2

Предложение 3.9.2. Если f B(E, L) и c ]a, b], то существует предел слева функции f в точке c, т. е.

!ξ R ε ] 0, ∞[ δ ] 0, ∞[: |f(x) − ξ| < ε x E ∩ ]c − δ, c[.

Доказательство. Фиксируем f и c в согласии с условиями. Используя (2.7.25), подберем последовательность

(fk)kN : N −→ Bo(E, L),

для которой (fk)kN f. Тогда в силу (2.6.11) имеем также сходимость

	( fk − f )kN −→ 0.				(3.9.17)
Отметим, что в силу (2.7.3)
					m
k N m N (αi)i		Rm (Li)i		∆m(E, L) : fk =	∑i
	1,m		1,m		αiχLi.
					=1

Далее, из (2.7.3), (3.9.5) и предложений 2.7.1, 3.9.1 вытекает, что f Bo(E, L)

T

f

ξ

[

a, c

[ |

f

x

1) =

f x

x

1

[

ξ, c

[

x

2 [

ξ, c

′

([

a, c

[)

.

[

] = {

(

( 2)

[} P

174

Во всяком случае T [f] BR↓ ∩ BR↑ при f Bo(E, L). Поэтому определены значения

	(3.9.18)
t[f] = inf(T [f]) [a, c[ f Bo(E, L).

Легко видеть, что справедливо следующее свойство: если f Bo(E, L) и t ]t[f], c[, то ξ T [f] : ξ < t. Данное свойство следует из определения точной нижней грани числового множества. Но в этом случае

f Bo(E, L) t1 ]t[f], c[ t2 ]t[f], c[ t3 T [f] : (t3 < t1) & (t3 < t2).

В самом деле, фиксируя f Bo(E, L), t1 ]t[f], c[ и t2 ]t[f], c[, мы подбираем ξ1 T [f], ξ2 T [f], для которых ξ1 < t1 и ξ2 < t2, после чего полагаем

t3 = inf({ξ1; ξ2}); тогда (t3 = ξ1) (t3 = ξ2). Как следствие, мы получаем следующее положение: если f Bo(E, L), t1 ]t[f], c[ и t2 ]t[f], c[, то

f(t1) = f(t2).

(3.9.19)

В силу (3.9.18) получаем следующее очевидное свойство: если f Bo(E, L),

то
t[f] + c
τ[f] =				]t[f], c[;
		2
при этом, конечно, в силу (3.9.19)
f(t) = f(τ[f])			t ]t[f], c[.		(3.9.20)
Рассмотрим теперь следующую в/з последовательность

()

fk(τ[fk]) kN : N −→ R.

Покажем, что данная последовательность фундаментальна в (R, | · |). В самом деле, пусть εo ] 0, ∞[. С учетом (3.9.17) подберем N N так, что

f

f

<

εo

k

−−−→

(3.9.21)

k −

2

N,

∞

.

Выберем произвольно

p

−−−→

и

−−−→

Тогда в силу (3.9.21) и нера-

N,

∞

q

N,

∞

.

венства треугольника имеем, что

fp − fq 6 fp − f + fq − f < εo.

(3.9.22)

При этом t[fp] [a, c[

и t[fq] [a, c[. Тогда, в частности,

t = sup({t[fp]; t[fq]}) [a, c[

175

(при этом, конечно, t = t[fp] или t = t[fq]),

t + c

t =

]t , c[.

2

Во всяком случае t ]t[fp], c[

и t

]t[fq], c[. Поэтому с учетом (3.9.20)

имеем равенства

(fp(τ[fp]) = fp(t ))& (fq(τ[fq]) = fq(t ));

кроме того, в силу (3.9.22) имеем очевидную цепочку неравенств

|fp(t ) − fq(t )| 6 fp − fq < εo.

Следовательно, справедливо, в частности, неравенство

|fp(τ[fp]) − fq(τ[fq])| < εo.

Коль скоро p и q выбирались произвольно, установлено, что

N,

j

N, .

f (τ[f

])

f (τ[f ])

|

< ε

i

−−−→

−−−→

(3.9.23)

| i

i

− j

j

o

∞

∞

Однако и εo выбиралось произвольно, а потому из (3.9.23) следует, что

	(fk(τ[fk]))kN (FUND)[R]	(3.9.24)
(см. § 1.3).	В свою очередь, из (3.9.24) следует в силу полноты (R, | · |)
включение
	fk(τ[fk]) kN (LIM)[R].

Тогда (см. 1.3) мы получаем следующее важное свойство сходимости: для
§	(	)
некоторого числа ζ R		)
	(		(3.9.25)
		fk(τ[fk]) kN −→ ζ.

Покажем, что ζ есть предел слева функции f в точке c. Пусть εo ] 0, ∞[.

Подберем с учетом (3.9.25) номер n1 N , для которого

f

(τ[f

])

ζ < εo

k

n1,

.

(3.9.26)

k

k

−−−→

|

−

|

2

∞

Пусть, кроме того, n2 N обладает свойством

f

k

f

< εo

k

n2

,

.

(3.9.27)

−−−→

−

2

∞

176

	; n2}) N , n1 6 n,
Отметим, что n = sup({n1
(3.9.26)		εo
	|fn(τ[fn]) − ζ| <
			.
		2

Из (3.9.27) следует, в свою очередь, неравенство

n2 6 n. При этом в силу

(3.9.28)

			fn − f <	εo
						.
				2
Тогда |fn(x) − f(x)| <	εo		x E. Напомним, что t[fn] [a, c[ и, в силу
	2
(3.9.20),								(3.9.29)
fn(t) = fn(τ[fn]) t ]t[fn], c[.
		(n)
Тогда, как легко видеть, δζ			= c − t[fn] ] 0, ∞[,
]c − δζ(n), c[ ∩ E = ]c − δζ(n), c[ = ]t[fn], c[.								(3.9.30)
Пусть to ]c − δζ(n), c[. Тогда в силу (3.9.29), (3.9.30) fn(to) =								fn(τ[fn]) и
потому (см. (3.9.28))					εo
			|fn(to) − ζ| <					(3.9.31)
							.
					2

С другой стороны, имеем по выбору числа n неравенство

εo |fn(to) − f(to)| < 2 .

С учетом (3.9.31) получаем, что |f(to) − ζ| < εo. Коль скоро выбор to был произвольным, установлено, что

δζ(n) ] 0, ∞[: |f(x) − ζ| < εo x ]c − δζ(n), c[ ∩ E

(мы используем здесь (3.9.30)). Коль скоро и выбор εo был произвольным, то установлено следующее положение:

ε ] 0, ∞[ δ ] 0, ∞[: |f(x) − ζ| < ε x E ∩ ]c − δ, c[. (3.9.32)

Весьма очевидной является единственность числа ζ со свойством (3.9.32). Все же, в целях полноты изложения, приведем соответствующее рассуждение. Пусть ζe R таково, что

ε ] 0, ∞[ δ ] 0, ∞[: |f(x) − ζ| < ε x E ∩ ]c − δ, c[.

(3.9.33)

Покажем, что ζ

= ζ. В самом деле,eдопустим противное: ζ

= ζ. Тогда

ζ

ζ

] 0,

[. Подберем с учетом (3.9.33) δ

o

] 0,

̸

κ =

|

−

|

∞

1

[ так, что

e

∞

e

e

κ

δ1o, c[.

(3.9.34)

|f(x) − ζ| <

x E ∩ ]c −

2

177

Далее, с учетом (3.9.33) подберем такое число δ2o ] 0, ∞[, что

|of(x) − ζe| <

κ

x E ∩ ]c − δ2o, c[.

(3.9.35)

Пусть δ

o

o

2

= inf({δ1, δ2}); тогда

Тогда

δo ] 0, ∞[, ]c − δo, c[ ]c − δ1o, c[, ]c − δo, c[ ]c − δ2o, c[.

δ

o

; c − a}) ] 0, ∞[.

= inf({δ

При этом c − δ [a, c[ и, как следствие,

θ =

(c

−

δ ) + c

δ

= c −

]c − δ , c[.

(3.9.36)

2

2

По выбору δ имеем θ ]a, c[

и, стало быть, θ E. Кроме того,

]c − δ , c[ ]c − δo, c[.

Поэтому с учетом (3.9.34) и (3.9.36) получаем , что

|f(θ) − ζ| <

κ

.

2

Из (3.9.35) и (3.9.36) следует, в свою очередь, неравенство

|f(θ) − ζ| <

κ

.

2

Из двух последних неравенств

вытекает, что ζ ζ < κ, что невозмож-

e

−

|

но. Полученное, при условии ζ ̸= ζ, противоречие|

eдоказывает равенство

e

e

,

R

ζ = ζ.

Поскольку выбор

ζ

R

удовлетворяющего условию (3.9.33), был

e

произвольным, установлено, что

ξ

ε

] 0,

∞

[ δ

] 0,

∞

[: f(x)

eξ

|

< ε x

E

∩

]c

−

δ, c[ = (ξ = ζ).

(

|

−

)

С учетом (3.9.32) получаем

требуемое утверждение о существовании (един-

e

e

ственного) предела слева.

2

Определение 3.9.1. Если f B(E, L) и c ]a, b], то через

lim f(t)

t↑c

(вместо t может использоваться ПБ) обозначаем такое единственное число ξ R, что

ε ] 0, ∞[ δ ] 0, ∞[: |f(x) − ξ| < ε x E ∩ ]c − δ, c[.

178

Корректность определения 3.9.1 обеспечивается предложением 3.9.2. Тем самым при всяком выборе числа c ]a, b] определен функционал

()

c		lim	f	t	R	B(E,L)	;	(3.9.37)
ha,b[	] =			( )
		t↑c			f B(E,L)

тогда ha,b[c] : B(E, L) → R действует очевидно по следующему правилу

ha,b[ ](	) =	t c		B(E,	L	).	(3.9.38)
c f		lim f(t)	f

↑

Итак, в (3.9.37), (3.9.38) определено правило сопоставления каждой (ярусной) функции f B(E, L) ее предела слева в точке c; это правило есть

ha,b[c].

Предложение 3.9.3. Если c ]a, b], то ha,b[c] B (E, L).

Доказательство. Фиксируем c ]a, b]. Пусть a R и φ B(E, L);

тогда aφ B(E, L) в силу предложения 2.7.5. Определены значения

ha,b[c](φ) = lim φ(t) R,

t↑c

ha,b[c](aφ) = lim(aφ)(t) R.

t↑c

Пусть для краткости ξ = ha,b[c](φ); тогда

ε ] 0, ∞[ δ ] 0, ∞[: |φ(x) − ξ| < ε x E ∩ ]c − δ, c[. (3.9.39)

Если a = 0, то очевидным образом

ε ] 0, ∞[ δ ] 0, ∞[: |(aφ)(x) − aξ| < ε x E ∩ ] c − δ, c[.

Рассмотрим далее случай a ≠ 0. Тогда |a| ] 0, ∞[. Выберем произвольно εo ] 0, ∞[; с учетом (3.9.3) подберем δo ] 0, ∞[ такое, что

|φ(x) − ξ| <	εo			x E ∩ ]c − δo, c[.
	a	|
	|

Как следствие, получаем из последнего соотношения, что δo ] 0, ∞[ обладает свойством

|(aφ)(x) − aξ| = |a| · |φ(x) − ξ| < εo x E ∩ ]c − δo, c[.

Коль скоро выбор εo был произвольным, установлено, что во всех возможных случаях

ε ] 0, ∞[ δ ] 0, ∞[: |(aφ)(x) − aξ| < ε x E ∩ ]c − δ, c[. (3.9.40)

179