elemen_teorija

Далее, по свойствам (Li)i N имеем также при k N следующее разбиение

L :

где L \ L	(k)	(L(k) (L \ L(k)) = L)& (L(k) ∩ (L \ L(k)) = ),
		L; как следствие, получаем равенства
		µ(L) = µ(L(k)) + µ(L \ L(k)),	(4.4.15)
		(f µ)(L) = (f µ)(L(k)) + (f µ)(L \ L(k)).

С учетом (4.4.14) и последнего равенства имеем систему равенств

∑k

(f µ)(Li) = (f µ)(L) − (f µ)(L \ L(k)) k N .

i=1

Тогда (см. предложение 3.7.2, следствие 4.4.1) получаем при всяком выборе k N оценку

L

L

L

L

\

\

(f µ)(L \ L(k))

∫(k)

=

∫(k) f dµ

6

tft dµ,

а потому справедливо следующее неравенство

∑

L L

k

\

6

∫(k)

(4.4.16)

i=1

(f µ)(Li) − (f µ)(L)

tft dµ.

Напомним, что

t

f

t

B

+

(E, L); см. предложение 4.4.2. При этом φ =

φ =

= f в силу (4.4.1). Согласно предложению 3.7.4

∫

6 φ µ(L \ L(k)) = f µ(L \ L(k)) k N .

∫

tft dµ =

φ dµ

L\L(k) L\L(k)

Поэтому (см. (4.4.16)) имеем с очевидностью систему неравенств

k
∑		6 f µ(L \ L(k)) k N .	(4.4.17)
i=1	(f µ)(Li) − (f µ)(L)

Из (4.4.12) и (4.4.13) вытекает, однако, что

( )

µ(L(k)) k N −→ µ(L).

210

Как следствие, из (4.4.15) вытекает следующее свойство сходимости

( )

µ(L \ L(k)) k N −→ 0.

С учетом (4.4.17) получаем с очевидностью, что

k
∑
(i=1 (f µ)(Li))k N −→ (f µ)(L).	(4.4.18)

Коль скоро выбор (Li)i N и L был произвольным, установлено (4.4.10). 2 Сейчас мы распространим последнее свойство на случай ИП с полуалгеброй множеств. Данное очевидное распространение мы рассмотрим в связи с весьма полезными свойствами, связанными с использованием под-

пространств ИП с к.-а. (вообще говоря) мерой.

Отметим прежде всего, что π[E] ∩ P(L) = π[E] ∩ P′(L) = {H π[E] | H L} L π[E]. Аналогичным образом

Π[E]∩ P(L) = Π[E]∩ P′(L) = {H Π[E] | H L} π[E]∩P(L) L Π[E].

(4.4.19) Для наших целей двух упомянутых представлений вполне достаточно. Легко видеть, что L1 π[E] L2 π[E] ∩ P(L1) n N

∆n(E, L2) ∆n(E, L1).

(4.4.20)

В частности, из (4.4.19), (4.4.20) следует, что

∆n(E, L2) ∆n(E, L1) L1 Π[E] L2 Π[E]∩P(L1) n N . (4.4.21)

С учетом (4.4.21) получаем с очевидностью (см. § 2.7), что

Bo(E, L2) Bo(E, L1) L1 π[E] L2 π[E] ∩ P(L1)

(4.4.22)

(очевидную модификацию (4.4.22) для случая (4.4.21) предоставляем читателю). Из (4.4.22) следует, что

B(E, L2) B(E, L1) L1 π[E] L2 π[E] ∩ P(L1).

(4.4.23)

Отметим ряд очевидных положений о сужениях к.-а. мер (они подобны рассматриваемым в начале § 4.3). Так, в частности, L1 π[E] µ

(add)[L1] L2 π[E] ∩ P(L1)

(	)		(add)[L2];	(4.4.24)
(µ| L2) =	µ(L) L	2
		L

211

в связи с (4.4.24) см. (2.2.4) и (4.4.20). Из (4.4.22) и (4.4.24) следует, что

L1 π[E] µ (add)[L1] L2 π[E] ∩ P(L1) f Bo(E, L2)

(el)		)	(el)		)
(E	f dµ R		(E
∫		&	∫	fd(µ| L2) R .

Из определения 3.2.1, (4.4.22) и (4.4.24) вытекает свойство: L1 π[E] µ

(add)[L1] L2 π[E] ∩ P(L1) f Bo(E, L2)

∫(el)	∫(el)	(4.4.25)
f dµ =	fd(µ| L2).

EE

Отметим еще одно важное свойство, связанное с сужением к.-а. мер (при этом используем (2.2.8)): если L1 π[E], µ A(L1) и L2 π[E] ∩ P(L1), то

	(µ| L2) A(L2);		(4.4.26)
поэтому при всяком выборе f B(E, L2) имеем с учетом (4.4.23)
(E	)	(E	)
∫	f dµ R &	∫ fd(µ| L2) R .

Более того, из (4.4.22), (4.4.25), (4.4.26) и построений § 3, касающихся ЯИ, вытекает, что L1 π[E] µ A(L1) L2 π[E] ∩ P(L1) f B(E, L2)

∫∫

f dµ = fd(µ| L2).

(4.4.27)

EE

Всвязи с (4.4.26) отметим также, что L1 π[E] µ (add)+[L1] L2

π[E] ∩ P(L1)

		(µ| L2) (add)+[L2].
В связи с (4.4.27) полезно отметить, что L1				Π[E] µ A(L1)		L2
Π[E] ∩ P(L1) f B(E, L2) L L2
∫	f dµ = ∫	fχL dµ = ∫	fχL d(µ| L2) = ∫		f d(µ| L2).	(4.4.28)
L	E	E		L

Предложение 4.4.5. Если L Π[E], f B(E, L) и µ (σ − add)+[L],

то f µ (σ − add)[L].

212

Доказательство сводится фактически к комбинации (4.3.5), (4.4.28) и предложения 4.4.4. В самом деле, фиксируем L, f и µ в согласии с условиями. Тогда, в частности, µ (add)+[L] и, как следствие, µ A(L).

	o	(L) и L2
Полагаем L1 = aE			= L. Поскольку, в частности, L1 Π[E] и
L2 Π[E], то L2 Π[E] ∩ P(L1). Тогда
			(L	)	LL2 A(L2).
		f µ =	∫	f dµ

Заметим, что (см. (4.3.27), предложение 4.3.7) справедливо, в частности, включение

α[µ] (σ − add)+[L1]

и при этом (α[µ]| L2) = µ в силу предложения 4.3.3. Кроме того, f B(E, L1) (см. (4.4.23)) и, согласно предложению 4.4.4,

η = f α[µ] =	(	)
	∫	f dα[µ] L1	(σ − add)[L1].

С учетом (4.3.1) и (4.3.5) получаем, стало быть, включение

(	)	(σ − add)[L2].	(4.4.29)
(η| L2) =	η(L) LL2

При этом, однако, в силу (4.4.28) имеем, что L L2

∫∫

η(L) =	f dα[µ] = f dµ = (f µ)(L).
L	L

С учетом (4.4.29) мы получаем теперь, что

f µ = (η| L2) = (η| L) (σ−add)[L].

2

Возвращаясь к предложению 4.4.4, отметим наиболее полезную (вероятно) его редакцию:

f µ (σ − add)[L] L (σ − alg)[E] f B(E, L) µ (σ − add)+[L].

(4.4.30) Напомним здесь же теорему 2.8.1. В этой связи уместно было бы коснуться эквивалентных определений измеримости в/з функций на стандартном ИП. Сейчас, однако, этого делать в полной мере не будем и отметим только ряд элементарных следствий измеримости в форме (2.8.1). Здесь мы используем отмечавшиеся в главе 1 свойства операции взятия прообраза.

213

Так, в частности, из (2.8.1) и аксиом σ−алгебры множеств (см. § 1.7) вытекает, что L (σ − alg)[E] f (Meas)[E; L] c R

f−1	( ]−∞, c]) = f−1		1	[)	= n N f−1	1		[) L. (4.4.31)
		(n N ]−∞, c+n				( ]−∞, c+n
		∩			∩

Кроме того (см. (2.8.1)), если L (alg)[E], f (Meas)[E; L] и c R, то

f−1( [c, ∞[) = f−1( R\ ] − ∞, c[) = E \ f−1( ] − ∞, c[) L. (4.4.32)

С учетом (4.4.31) получаем также L (σ−alg)[E] f (Meas)[E; L] c

R

f−1(]c, ∞[) = f−1(R\ ] − ∞, c]) = E \ f−1( ] − ∞, c]) L.

(4.4.33)

Разумеется, в (2.8.1), (4.4.31) – (4.4.33) мы имеем частные случаи известного весьма общего свойства: для функций из множества (2.8.1) прообразы борелевских п/м R L−измеримы.

Напомним также свойство, связанное с (3.8.30) и относящееся к возможным «патологиям» интегрирования по к.-а. мере.

Предложение 4.4.6. Если L (σ−alg)[E], а функция f B(E, L) стро-

го положительна, то есть 0 < f(x) x E, то

∫

0 < f dµ µ (σ − add)+[L] \ {OL}.

E

Доказательство. Пусть L и f выбраны в согласии с условиями, включая требование строгой положительности f. Как следствие,

E = f−1(]0, ∞[) = {x E | 0 < f(x)}.

(4.4.34)

Отметим, кроме того, что в силу теоремы 2.8.1 и (4.4.33) имеем свойство

1

1

Λk = f−1(

]

, ∞[)

= {x E

< f(x)}

L k N .

(4.4.35)

k

k

Мы получили (см. (4.4.35)) последовательность

в

L

, причем Λk

Λk+1

k

N . Более того,

(Λk)k N ↑ E

(см. (4.4.34), (4.4.35)). Фиксируем меру ν (σ − add)+[L] \ {OL}. Тогда, как легко видеть, ν(E) ] 0, ∞[. С учетом (4.2.24) получаем сходимость

(	)	(4.4.36)
	ν(Λk) k N ↑ ν(E).

214

Подберем с учетом (4.4.36) число n N так, что при этом | ν(Λk)−ν(E)| <

−−→

< ν(E) k n, ∞. Тогда, в частности, | ν(Λn) − ν(E)| < ν(E), а потому ν(E) − ν(Λn) < ν(E) и, как следствие, 0 < ν(Λn). При этом Λn L и E \ Λn L, а тогда (см. определение 3.3.1), (3.7.9)

∫	f dν = (f ν)(E) = (f ν)(Λn) + (f ν)(E \ Λn).	(4.4.37)
E

В силу (3.7.9) имеем свойство неотрицательности последнего слагаемого

в (4.4.37) (напомним, что при наших предположениях f

B+

E,

) , а

тогда

∫

f dν = (f ν)(Λn) 6

∫

(

L )

f dν.

(4.4.38)

n

E

Отметим далее, что в силу (4.4.35) имеют место неравенства

1

< f(x) x Λn.

n

Тогда, как следствие, мы получаем оценку

1

χ n 5 f χ n,

n

из которой извлекается очевидное свойство (см. (3.4.34))

1

ν(Λn) = ∫

1

χ n dν 6 ∫

f χ n dν = ∫

f dν.

n

n

E

E

n

С учетом (4.4.38) и строгой положительности ν(Λn) получаем неравенство

∫

0 < f dν.

E

Коль скоро выбор ν был произвольным, установлено, что

∫

0 <		f dµ µ (σ−add)+[L]\{OL}			2
	E
Предложение 4.4.6 можно переписать следующим образом:
L (σ − alg)[E]	f B(E, L)				)
(	)	(	E	f dµ µ (σ −add)+[L]\{OL}
0 < f(x) x E	=	0 <	∫		. (4.4.39)

215

В связи с (4.4.39) заметим, что (см. (2.3.5))

Pσ(L) (σ − add)+[L] \ {OL} L π[E].

Поэтому (4.4.39) можно применить, в частности, к решению вопроса об условиях строгой положительности математического ожидания. В этой связи напомним, что триплет

									E, L, µ ,
где L	(σ	−	alg)[E]	и	µ	(	L	), называется вероятностным пространством
						Pσ		(	)

(в аксиоматике А.Н. Колмогорова). Интеграл относительно µ Pσ(L) порождает функционал математического ожидания. Из (4.4.39) вытекает естественное свойство последнего: математическое ожидание строго положительной случайной величины (в нашем случае это — ограниченная измеримая в/з функция) строго положительно в отличие от случая, рассматриваемого в (3.8.30), отвечающего конструкциям к.-а. теории вероятностей.

Возвращаясь к (4.4.39), отметим некоторые простые следствия. Отметим прежде всего с учетом положений § 3.4, что L (σ − alg)[E] f

B(E, L) g B(E, L)	f dµ < ∫	g dµ µ (σ − add)+[L] \ {OL}).
(f(x) < g(x) x E) = (∫

EE

(4.4.40)

Замечание 4.4.1. В связи с (4.4.23), (4.4.27), (4.4.39) и (4.4.40) отметим одно обстоятельство, связанное с используемым ИП. В (4.4.39) и (4.4.40) предполагалось использование стандартного ИП, т. е. ИП с σ−алгеброй множеств. Однако с учетом возможности лебеговского продолжения с.-а. меры можно допустить в (4.4.39) и (4.4.40) случай, когда L Π[E]. В самом

деле, из (4.4.23) легко следует (см. (2.2.2)), что

B(E, L) B E, σEo (L)

,

(4.4.41)

где

σo

(

) = σo

(

A

)

при A

= ao (

).

В( силу

предложения 4.3.7 имеем при

E

L

E

E

L

)

µ (σ − add)+[L] \ {OL} свойство

α[µ] (σ − add)+[A] \ {OA}

(см. также предложение 4.3.3).Затем отметим, что в силу теоремы о лебеговском продолжении (см. [3,10,14,19,32]) существует единственная мера ν (σ − add)+[σEo (A)], для которой α[µ] = (ν| A). Ясно, что мера ν нену-

левая, т. е. ν(L) ̸≡0. При этом ν (σ − add)+[σEo (L)] и

( )

µ = (ν| A) | L = (ν| L).

216

Теперь остается учесть (4.4.27) и (4.4.41), используя то, что (см. (2.2.2)), в
частности, σEo (L) π[E] и L π[E]∩P(σEo (L)).	2
Для полноты изложения отметим следствия соотношений	(4.4.39) и

(4.4.40), касающиеся по сути дела математических ожиданий ограничен-

ных случайных величин. Из (4.4.39) имеем L (σ −alg)[E]						f B(E, L)
(	)	(	E		)	(4.4.42)
0 < f(x) x E	=	0 <	∫	f dµ	µ Pσ(L) .

В свою очередь, из (4.4.40) имеем, что L (σ−alg)[E] f B(E, L) g B(E, L)

(	) (	∫	f dµ < ∫	)
f(x) < g(x) x E	=			g dµ µ Pσ(L) . (4.4.43)

EE

Взаключении настоящего параграфа, дополняя (4.4.42) и (4.4.43) в смысле простейших положений теории вероятностей, рассмотрим важное неравенство Чебышева, используя , однако, в общем случае к.-а. вероятности. Будем использовать здесь предложение 2.8.3: при L (alg)[E], f

(Meas)[E; L] ∩ B(E) и µ P(L) определено значение

∫	(4.4.44)
f dµ R;

E

по своему смыслу (4.4.44) есть математическое ожидание в его к.-а. версии.

Кроме того, в условиях, определяющих (4.4.44), имеем согласно (4.4.32)
свойство		µ(f−1( [ c, ∞[)) [0, 1] c R.
Предложение 4.4.7. Если L alg)[E] и f (Meas)[E; L] ∩ B(E), то
(	)	( (	)		E	)
				1
	0 6 f(x) x E = µ f−1		([ε, ∞[) 6	ε	∫ f dµ µ P(L) ε ] 0, ∞[ .
						(4.4.45)

Доказательство. Пусть L и f выбраны в согласии с условиями, причем истинна посылка доказываемой импликации (4.4.45). Итак, функция f неотрицательна. Напомним, что (см. (4.4.32))

{ }

f−1([ ε, ∞[) = x E | ε 6 f(x) L ε ] 0, ∞[.

217

Пусть µ P(L) и ε ] 0, ∞[. Тогда, в частности, имеем

A

f−1

ε ,

∞[) = {

x

E

ε

f x

,

= 1

([

|

6

( )}

L

− { }

B = f (] − ∞, ε [) = x E | f(x) < ε L.

При этом E = A B и A ∩ B = . Введем к.-а. меру η = f µ A(L); см. § 3.7. Тогда в силу аддитивности η имеем равенство

η (E) = η (A) + η (B).

(4.4.46)

При этом f B+(E, L) (мы предполагаем истинность посылки доказываемой импликации (4.4.45)), а тогда при L L

∫∫

η (L) = f dµ = fχL dµ [0, ∞[,

(4.4.47)

LE

т.к. fχL B+(E, L). В частности, из (4.4.47) имеем с очевидностью, что η (B) [ 0, ∞[. С учетом (4.4.46) получаем неравенство

η (A) 6 η (E).

(4.4.48)

При этом по определению множества A имеем, что ε χA 5 fχA, а тогда

∫ ∫ ∫ ∫

ε µ (A) = ε χA dµ = ε χA dµ 6 fχA dµ = f dµ = η (A).

E E E A

С учетом (4.4.47) и (4.4.48) получаем немедленно, что

∫

ε µ (A) 6 η (E) = f dµ .

			E
Используя определение множества A, получаем теперь неравенство
(	)			E
µ f−1([ ε , ∞[)		6	1	∫ f dµ .
			ε

Поскольку выбор µ и ε был произвольным, следствие импликации (4.4.45)

установлено.						2
Из (3.4.31), предложения 4.4.7 и теоремы 2.8.1 вытекает, что						L
(σ − alg)[E] f B+(E, L)	µ P(L)			ε ] 0, ∞[
(	)	1		E
µ f−1([ ε, ∞[) 6		ε		∫	f dµ.	(4.4.49)

218

Отметим теперь наряду с (4.4.49) более употребительный вариант неравенства Чебышева, учитывая при этом, что

f

2

+

(E, L) L π[E] f B(E, L);

(4.4.50)

= f · f B

см. предложение

2.7.7. Разумеется, при

L

π[E], f

B(E,

L

) и x

E

2

имеем f2(x) = (f(x))

.

Предложение 4.4.8. Если L (σ − alg)[E], f B(E, L), µ P(L) и

ε ] 0, ∞[, то

µ tft−1([ ε, ∞[)

6

1

∫

f2 dµ.

ε2

(

)

E

Доказательство. Фиксируем L, f, µ и ε в согласии с условиями. Тогда

ε

2

2

B

+

(E, L);

] 0, ∞[ и φ = f

φ−1([ ε2, ∞[) = {x E | ε2 6 (f(x))2} L,

а потому согласно предложению 4.4.7

∫

µ φ−1([ε2, ∞[)

6

1

φ dµ.

(4.4.51)

ε2

(

)

E

При этом имеем, если x E, следующее свойство:

(ε2 6 φ(x)) (ε 6 |f(x)|).

(4.4.52)

В этой связи см.§ 1.3. В самом деле, если ε 6 |f(x)|, то |f(x)|−ε [ 0, ∞[ и потому 0 6 ε|f(x)| − ε2, что означает неравенство ε2 6 ε|f(x)| и, с другой стороны,

φ(x) − ε|f(x)| = |f(x)| · (|f(x)| − ε) [ 0, ∞[,

а тогда ε|f(x)| 6 φ(x). В итоге ε2 6 φ(x) и, стало быть, установлена

импликация

ε 6 |f(x)|

= ε2 6 φ(x) .

(4.4.53)

Пусть

ε2

6

φ(x). Покажем, что ε

6 |

f(x) . В самом деле, допустим про-

(

)

(

|

)

тивное: |f(x)| < ε. Тогда, коль скоро 0

< ε, имеем ε ε − |f(x)| ] 0, ∞[,

т. е.

ε f(x)

< ε2.

С другой стороны, |

f(x)

[ 0,

[

и,

следовательно,

|

|

|

∞(

)

|f(x)| · (ε − |f(x)|) [ 0, ∞[, т. е. φ(x) = |f(x)|2 6 ε|f(x)|. Получили нера-

венства	(φ(x) 6 ε|f(x)|)&	(ε|f(x)| < ε2).

219