ПП_5_3_Ряды_Фурье

На графике приведены графики исходной функции и первых четырех частичных сумм ряда Фурье на отрезке [0, π].

Запишите первые члены разложения функции y = cos x с периодом 2π в ряд Фурье на

интервале [−π , π].

РЕШЕНИЕ:

cos x

(−1)k+1

ПП 5.№75.

Все b

равны 0, так как функция

четная.

4

∞

cos (2kx)

∑

2

n

π

4k

−1

2

π / 2

π

k=1

a0

=

∫

cos x

dx + ∫

cos x

dx

=

π

0

π / 2

2

π / 2

π

=

∫

cos xdx − ∫ cos xdx

=

π

0

π / 2

=

2

+

sin x

π / 2

−sin x

π

=

4

.

π

0

π

/ 2

π

2

π / 2

π

an =

∫

cos x

cos nxdx + ∫

cos x

cos nxdx

=

π

0

π / 2

2

π / 2

π

=

∫ cos x cos nxdx −

∫ cos x cos nxdx .

π

0

π / 2

11

Вычислим:

∫

cos x cos nxdx

2

∫

= 1

cos(1+ n)x +cos(1−n) x]dx =

=

1

sin(n +1)x

+

sin(n −1)x

.

2

n +1

n

−1

a

1

sin(n +

1)x

π / 2

sin(n −1)x

π

=

+

=

n

π

n +1

0

n −1

π / 2

=

2

sin(n +1)π / 2

+

sin(n −1)π / 2

.

π

n +1

n −1

Заметим, что an

= 0 при нечетном n=2k+1.

2

3π

sin

π

2

1

4

a2 =

sin

2

2

+

=

−

+

1

=

π

3

1

π

3

π

3 ,

sin

5π

sin

3π

2

1

1

4

a4 =

2

2

2

+

=

−

= −

π

5

3

π

3

15π .

5

Окончательно,

cos x

2

4

1

cos 2x −

1

cos 4x +..

=

+

=

π

π

1 3

3 5

=

4 ∑(−12)

k+1

cos (2kx).

.

∞

−1

π

k=1 4k

Разложите в ряд Фурье функцию

f (x)=

x

на

отрезке [−l,l].

l

∫0

Так как функция четная, bn=0,

a0

=

2

l

x dx

= l,

2 l

nπ

2

l

nπ

l

l

l

nπ

a

=

∫

x cos

x dx =

x sin

x

−

∫

sin

x dx =

n

l

l

l

nπ

l

nπ

l

0

0

0

=

2

l2

cos

nπ

x

l

==

2l

(cos nπ −cos 0)=

(nπ )2

n2π

2

ПП 5.№76.

l

l

0

0, если п − четное,

n = 2k;

=

4l

−

, если п нечетное,

n = 2k +1.

(2k +1)2 π2

Итак,

l

4l

π

1

π

1

5π

,

x

=

−

cos

x +

cos3

x

+

cos

x +...

2

l

2

l

2

l

2

π

3

5

x [−l; l].

12

Разложите f (x)=1, заданную на интервале (0,π), по синусам и косинусам кратных дуг. РЕШЕНИЕ:

1) x (0, π ),

l = π.

Продолжим f (x) на интер-

вал (-π, 0) нечетным обра-

зом:

тогда an = 0 ,

2

π

2

cos nx

π

2

(cosπn −1)=

bn

=

∫0

1 sin nx

dx =−

n

0

= −

π

π

πn

2

((−1)n −1)

0,

если п = 2k

четное,

= −

=

4

, п = 2k +1

нечетное,

πn

ПП 5.№77.

π

(2k

−1)

и

4

sin 3x

sin 5x

1 =

sin x +

+

+...

=

π

3

5

4

∞

1

=

∑

sin (2k −1)x .

π

2k −1

k =1

2) Продолжим f(x) на

интервал (-π,0) чет-

ным образом,

тогда

bn

= 0

2

π

2

π

2

sin nx

π

= 0 , и

a0

=

∫0

1 dx =

2,

an =

∫0

1 cos nx dx =

π

π

π

n

0

∞

1 =1 + ∑0 cos nx =1.

n=1

ПП 5. 3.5. Комплексная форма ряда Фурье

Разложите в комплексный ряд Фурье периодическую функцию f (x) с периодом 2π, если

на [−π;π].

1, x [0,π];

f (x)= ( )

−1, x −π, 0 .

ПП 5.№78.

РЕШЕНИЕ:

Вычислим комплексные коэффициенты Фурье:

13

c0 =

1

π∫ f (x)dx = 0 ;

2π −π

1

π

−inx

1

0

−inx

π

−inx

cn =

∫ f

(x)e

dx

=

∫ f (x)e

dx

+ ∫

f (x)e

dx

=

2π

2π

−π

−π

0

1

0

−inx

π

−inx

1

π

−π

−inx

=

− ∫ e

dx +

∫e

dx

=

∫ + ∫

e

dx

=

2π

2π −π

0

0

0

e−inπ +einπ

−2

1−cosπn

0,

n =2m,

m Z.

=

==

=

2

, n =2m +1,

−2πni

πni

iπ(2m +1)

Выпишем разложение f (x):

2

∞

e

i

(2m+1)x

f (x)=

∑

=

(2m +

1)

iπ m=−∞

2

ix

−ix

e3ix −e−3ix

e5ix

−e−5ix

=

e

−e

+

3

+

5

+...

=

iπ

4

ix

−e

−ix

3ix

−e

−3ix

5ix

−e

−5ix

=

e

+ e

+ e

+...

=

π

2i

3 2i

5 2i

4

sin x

sin 3x

sin 5x

4

∞

sin

(

2n +1 x

∑

)

=

+

+

+...

=

.

π

1

3

5

2n +1

π n=0

Как видно, по комплексной форме ряда Фурье легко восстанавливается его обычный вид (обычное разложение было получено ранее, в примере ПП 5.№73).

ПП 5. 3.6. Интеграл Фурье

	Разложите в интеграл Фурье функцию, за-
	данную соотношениями:
					1,	x (0, π],
					−1, x [−π,0),
		f (x)=				x = 0,	.
					0,
ПП 5.№79.						x [−π,π].
	РЕШЕНИЕ:				0,
	Так как – нечетная функция, в интеграле
	Фурье:			∞∫dk ∞∫
	f (x)=		1			f (t )cos k (x −t )dt =
		π
				0	−∞
	= ∞∫(A(k )cos kx + B (k )sin kx)dk
	0

14

останутся только коэффициент B (k ),

B(k)=

1

∞∫ f (t)sin kt dt ,

π

−∞

и интеграл Фурье принимает вид

f (x)= ∞∫B (k )sin kx dk .

0

Вычислим величину B (k ):

B(k)

=

1

∞∫ f (t)sin kt dt =

1

∫1 f

(t)sin kt dt =

π

π

−∞

−1

2 1

f (t)sin kt dt

2

1

2

−coskt

1

=

=

sin kt dt =

=

π ∫0

π

∫0

π

k

0

=π2k (1−cosk).

f(x)= 2 ∞∫(1 − cos k )sin kx dk .

π0 k

Разложение непериодической функции (в этом примере) и ее периодического продолжения на всю числовую ось (ПП 5.№73) дают непрерывную функцию B (k ) и числовую по-

следовательность bk , которые при возраста-

нии аргумента ведут себя различным образом:

15