ПП_5_2_Функ_ряды
.pdf∞ |
xn |
∞ x |
n−1 |
|
|
x |
|
∞ |
|
n−1 |
|
x |
|
∞ |
n |
||||||||||||||
∑ |
|
= ∑ ∫t |
|
dt |
= |
∫ |
∑t |
|
dt |
= ∫ |
∑t |
dt = |
|||||||||||||||||
n |
|
||||||||||||||||||||||||||||
n=1 |
n=1 0 |
|
|
|
0 |
n=1 |
|
|
|
|
0 |
n=0 |
|
||||||||||||||||
= ∫x (1+t +t2 +...)dt = ∫x |
|
dt |
= −ln |
|
1−t |
|
|
0x |
= −ln |
|
1− x |
|
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1−t |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Так как |
|
x |
|
<1, |
f (x)= −ln |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
1− x |
|
|
|
|
|
|
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|||
|
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|
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ПП5.2.2. Степенные ряды
ПП5.2.2.1. Вычисление радиуса сходимости
Найдите область сходимости ряда ∑∞ xn .
n=1 n
РЕШЕНИЕ:
Воспользуемся признаком Даламбера.
R = |
|
1 |
|
|
= lim |
|
an |
|
= lim |
n +1 |
=1. |
|
a |
|
|
|
a + |
n |
|||||
|
|
|
|
n→∞ |
|
n→∞ |
|
||||
|
lim |
|
n+1 |
|
|
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
an |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ПП 5.№39. |
Интервал сходимости x |
( |
1, 1). |
x [−1, 1) |
|
|
− |
|
Исследуем граничные точки.
1)x =1 ∑∞ 1n − расходится;n=1
|
∞ |
(−1) |
n |
|
2) |
- сходится условно по при- |
|||
x = −1 ∑ |
||||
|
n =1 |
n |
|
знаку Лейбница.
Область сходимости ряда x [−1, 1).
Найдите область сходимости ряда ∑∞ xn .
n=1 n!
РЕШЕНИЕ:
ПП 5.№40. Воспользуемся признаком Даламбера. x (− ∞, ∞)
2) R = lim (n +1)! = lim(n +1)= ∞, ряд сходится при
n→∞ n! n→∞
всех x (− ∞, ∞).
|
Найдите |
|
|
|
область |
сходимости |
|
функциональ- |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ного ряда ∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n=1 n!(x + 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Воспользуемся признаком Даламбера. |
x (−∞,−3) |
|||||||||||||||||||||||
ПП 5.№41. |
|
un +1 (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
lim |
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
= |
(−3,+∞). |
||||||||||
|
un (x) |
|
(n +1)!(x + 3)n+1 |
n!(x |
+ 3)n |
||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
= lim |
|
1 |
|
|
= |
1 |
|
|
lim |
|
1 |
|
|
= 0 |
при x ≠ −3. |
|
||||||||
|
(n +1) |
|
x + 3 |
|
|
x + 3 |
|
|
+1) |
|
|
||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
n→∞ (n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
При |
x = −3 каждый член ряда равен ∞ и ряд |
|
||||||||||||||||||||||
|
расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11
|
Итак, |
при x (−∞,−3) (−3,+∞). ряд сходится аб- |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
солютно. |
|
|
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|
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Найдите |
|
область |
|
|
сходимости функциональ- |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
(n +1) |
5 |
x |
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
ного ряда ∑ |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
(2n +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Воспользуемся признаком Даламбера. |
|
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|
|
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|
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|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
lim (( |
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
) |
|
( |
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n + |
1 |
|
+ |
1 |
5 |
|
|
|
2n + |
1 x2(n+1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
(n + |
1)5 |
( |
|
|
(n + |
1) |
) |
x2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
2 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
lim x |
2 |
|
n + 2 5 |
|
|
|
(2n +1) |
|
= x |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
сходится |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
ПП 5.№42. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n +3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
абсолютно |
|||||||||||||||||||||||
|
При x2 |
<1, |
то есть x (−1;1) |
ряд сходится абсо- |
при x (−1;1) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
лютно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
При x 2 |
|
>1, то есть x (− ∞;−1) (1;+∞) расходится. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
5 |
|
x |
2n |
|
|
|
∞ |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
При x = ±1 ряд ∑ |
(n +1) |
|
|
|
|
|
= ∑ |
(n +1) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
(2n +1) |
|
|
|
|
|
n=1 |
|
2n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
5 |
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Так как |
lim |
|
|
(n +1) |
|
= ∞, |
|
ряд |
∑ |
(n +1) |
x |
|
|
|
|
|
расхо- |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2n +1 |
|
|
|
(2n +1) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
дится при x = ±1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|||||||||||||||||||||||||
|
Ряд сходится абсолютно при x (−1;1). |
|
|
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|
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|
|
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|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
∞ |
n |
+1 n |
|
|
x |
n |
|
|||||||||
|
Исследуйте функциональный ряд ∑ |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
на сходимость. |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|||||||||||||
|
Воспользуемся радикальным признаком Ко- |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ши. |
|
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|
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|
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|
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|
|
lim n |
|
|
|
n +1 n |
|
x |
n |
|
= lim |
n +1 |
|
x |
|
= |
|
x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
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|
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|
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|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сходится |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
При |
|
x |
|
<1 ряд сходится абсолютно, а при |
|
x |
|
>1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ПП 5.№43. |
|
|
|
|
абсолютно |
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- расходится. |
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при x (−1;1) |
|||||||||||||||||||
|
При х = 1 получаем ряд |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∞ n |
+1 n |
x |
n |
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∞ |
|
n +1 n |
|
∞ |
|
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+ |
1 n |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∑ |
n |
|
|
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|
|
=∑ |
|
|
|
|
n |
|
|
= |
∑ 1 |
|
|
. |
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
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|
n=1 |
|
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n=n |
|
|
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|
n |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||
|
|
+ |
|
1 |
n |
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
∞ n |
+ |
1 n |
|
x |
n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
lim 1 |
|
n |
|
= e ≠ 0 |
|
при х=1 ряд ∑ |
n |
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
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n=1 |
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|||||||||||||
|
расходится. |
|
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n +1 n |
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n +1 n |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
∞ |
|
|
n |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
n |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
При х = - 1: |
|
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∑ |
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x |
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= ∑(−1) |
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, |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
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n |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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n=1 n |
|
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n=1 |
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12
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|
|
∞ |
|
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|
получаем ряд Лейбница вида ∑(−1)n un , од- |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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n=1 |
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|||
|
ним из условий сходимости которого являет- |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ся lim un |
= 0 . |
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||||||||||||||||||||
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n→∞ |
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||||||
|
Но lim un |
= lim |
n +1 |
n |
|
= lim |
|
|
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1 |
n |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
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|
1+ |
|
n |
|
= e ≠ 0 , |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
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|
n→∞ |
|
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|
|
∞ |
n + |
1 n |
x |
n |
|
также рас- |
|
|||||||||||||||||
|
поэтому при х = - 1 ряд ∑ |
|
|
n |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ходится. |
|
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n=1 |
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||||||||||||||
|
Ряд сходится абсолютно при x (−1;1). |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Исследуйте на сходимость функциональный |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
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|
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|
ряд ∑xntg |
|
. |
|
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||||||||||||||||||
|
|
2 |
n |
|
|
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n=1 |
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РЕШЕНИЕ: |
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||||||||||||||||||
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Воспользуемся признаком Даламбера |
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un +1(x) |
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xn + |
1tg |
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x |
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|
lim |
|
|
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|
= |
|
|
lim |
|
|
2n +1 |
|
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= |
|
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||||||||||||||||||||||||||
|
n → ∞ |
|
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|
|
un |
(x) |
|
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n |
→ ∞ |
|
|
xntg |
x |
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||||||||||||||||||||||||||||
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2n |
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|
x |
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x |
|
|
|
x |
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||||||
|
= |
lim |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
2n +1 |
|
= |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
= |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||
|
n |
→ ∞ |
|
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|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
n |
→ ∞ |
2 |
|
|
|
2 |
|
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||||||||||||||||||||||||||
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2n |
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||||||||
|
При |
|
|
x |
|
|
|
|
<1 |
, |
т.е. при x (− |
2;2) ряд сходится аб- |
сходится |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ПП 5.№44. |
|
2 |
|
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|
абсолютно |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
солютно. |
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при x (− 2;2) |
|||||||||||||||
|
При |
|
|
x |
|
|
|
|
>1 , то есть x (− ∞,−2) (2;+∞) |
ряд рас- |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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||||
|
ходится. |
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|||||||||||||
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При х = - 2: |
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|||||||||||||||||||||
|
∞ |
n |
|
|
|
|
|
x |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
−2 |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
n+1 |
|
|
n |
|
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
∑x |
tg |
|
|
|
|
|
|
= |
∑(−1) 2 |
|
|
tg |
|
|
n |
|
|
= ∑(−1) |
|
|
2 |
|
tg |
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
n |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
n−1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
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n=1 |
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n=1 |
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||||||||||||||||||
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Так как 2 |
n+1 |
tg |
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1 |
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> 0 , это знакочередующий- |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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ся ряд. |
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2n−1 |
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||||||||||
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Предел n-го члена ряда |
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( |
− |
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n+1 |
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n |
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1 |
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= |
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( |
− |
1) |
n+1 |
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n |
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1 |
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= 2 lim (−1)n+1 , |
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|||||||||||||||||||||||||||
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lim |
1) |
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2 |
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tg |
2n−1 |
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lim |
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2 |
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2n−1 |
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n→∞ |
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||||||||||||||||||||||||||||||
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n→∞ |
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n→∞ |
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не существует, ряд расходится. |
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При х=2: |
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13
∞ |
x |
∞ |
1 |
|
|
∑xntg |
= ∑2n tg |
, |
|||
n |
n−1 |
||||
n=1 |
2 |
n=1 |
2 |
|
limun = lim 2 = 2 ряд расходится.
n→∞ n→∞
Ряд сходится абсолютно при x (− 2;2).
Найдите область сходимости функциональ-
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∞ |
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5 |
n |
1 |
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x |
n |
cos(x −πn). |
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ного ряда ∑ |
3 |
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n=1 |
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n |
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РЕШЕНИЕ: |
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cos(x −πn)=cosxcosπn +sin xsinπn =(−1)n cosx |
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∞ |
5 n 1 |
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x |
n |
cos(x |
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∞ |
5 |
n |
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1 |
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x |
n |
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n |
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||||||||||||||||||
∑ |
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−πn)= ∑ |
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n |
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(−1) |
cos x. |
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n=1 |
3 |
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n |
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n=1 |
3 |
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Воспользуемся признаком Даламбера |
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5 n+1 |
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1 |
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n+1 |
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n+1 |
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un+1(x) |
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x |
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(−1) |
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cos x |
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5 |
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||||||||||||
|
lim |
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= lim |
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3 |
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n + |
1 |
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= lim |
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x |
|
. |
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un x |
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5 |
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n |
1 |
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3 |
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n→∞ |
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n |
→∞ |
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n |
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n |
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n→∞ |
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x |
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(− |
1) cos x |
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3 |
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|
n |
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||||
5 |
|
|
|
x |
|
|
|
<1: при |
|
|
|
x |
|
< |
3 |
ряд сходится абсолютно. |
|
|
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3 |
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
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5 |
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; |
- |
||||||
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|
x − |
|
|
|||||
|
3 |
|
|
x |
|
>1: при |
|
|
|
x |
|
> |
3 |
ряд расходится. |
|
|
|
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|
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5 |
|
5 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
|
|
5 |
|
|
|
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|
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|
сходится |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||
ПП 5.№44. При x = |
3 |
|
: |
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абсолютно; |
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5 |
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|
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|
|
x = |
3 |
- |
|
||
|
∞ |
|
|
5 n |
1 |
|
|
|
3 n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|||||||||||||||||||||||||
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1) |
|
|
cos |
|
|
|
= cos |
|
∑(−1) |
|
|
|
|
, |
|
|
|
сходится |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
5 |
|
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|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
3 |
|
n |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
условно |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
ряд Лейбница. |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
n |
|
1 |
∞ |
|
1 |
. |
Этот ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Рассмотрим ряд ∑(−1) |
|
|
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|
n |
= ∑ |
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|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||
расходится как ряд ∑ |
|
|
при α <1, ряд |
|
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|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
α |
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|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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n=1 n |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. абсолютной сходимости не имеет. |
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∑(−1)n 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Исследуем его на условную сходимость. |
|
|
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Воспользуемся признаком Лейбница. |
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1). Это знакочередующийся ряд. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2). |
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1 |
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< |
1 |
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для n =1,2... |
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n +1 |
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n |
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|||||||
3). lim |
1 |
= 0. |
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|||||||||||||||||||
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n |
→∞ |
n |
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|||||||
Все условия теоремы Лейбница выполнены |
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14
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∞ |
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1 сходится условно. |
||||||||||
ряд ∑(−1)n |
|||||||||||||||||||
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n=1 |
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n |
3 |
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Рассмотрим x = − |
: |
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5 |
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||||||||||||||
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n |
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n |
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||
∞ 5 |
1 |
|
3 |
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n |
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|
|
n |
|
|
− |
3 |
|
||||
|
|
|
n |
|
|
|
(−1) (−1) |
cos |
5 |
= |
|||||||||
∑n=1 3 |
|
|
5 |
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|
|
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|
||||
= cos |
∞ |
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|
- ряд расходится. |
||||||||||||
3 ∑ 1 |
|
||||||||||||||||||
|
5 n=1 |
|
n |
|
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||
В результате: |
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|||||||||
при |
x |
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3 |
; |
3 |
- сходится абсолютно; |
||||||||||||
− |
5 |
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|||||||||||||||||
|
|
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5 |
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||||
при |
x = |
|
3 |
|
- сходится условно; |
||||||||||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
5 |
|
(5 |
|
|
) |
|
|
|
|||
при |
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
- расходится. |
|||||||||
x |
|
−∞;− |
3 |
|
|
3 |
; |
+∞ |
|
||||||||||
|
|
|
|
ПП 5.2.2. 3. Разложение функций в степенные ряды Тейлора и Маклорена
|
Разложите функцию e−x2 |
по степеням x . |
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РЕШЕНИЕ: |
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Из разложения ex |
по степеням x : |
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x |
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x2 |
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|
x (−∞, ∞) |
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||||||||
ПП 5.№45. |
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|
e |
|
=1 + x + |
|
+…, |
|
|||||||||||||||||||||||||
заменяя x |
|
2! |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
на − x2 , получим, что |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
2 |
|
|
x |
4 |
|
|
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|
∞ |
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x |
2n |
, x (−∞,∞). |
|
||||||||
|
e−x2 =1− |
|
+ |
|
|
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|
|
−+…=∑(−1)n |
|
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|||||||||||||||||||||
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|
n! |
|||||||||||||||||||||||||
|
1! |
|
|
2! |
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|
n=0 |
|
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|||||||||||
|
Разложите функцию ln(1 − x) |
по степеням x. |
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|||||||||||||||||||||||||||||||
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РЕШЕНИЕ: |
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Из разложения для логарифмической функ- |
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ции ln(1 + x) |
по степеням x: |
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|||||||||||||||||||||||
ПП 5.№46. |
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x2 |
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|
x3 |
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|
∞ |
(−1)n+1 |
|
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|
n |
|
|
|||||||
|
ln(1+x)= x |
− |
|
|
|
+ |
|
|
|
−…=∑ |
|
n |
|
|
|
x |
|
, −1 < x ≤1, |
|
|||||||||||||||
|
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2 |
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|
3 |
|
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||||||||||||||||||||||||
|
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n=1 |
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||||||
|
заменяя x на −x , получим, что |
n |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
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|
x |
2 |
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
x |
|
|
|
|
||||||
|
ln(1− x)= −x − |
|
|
|
− |
|
|
−…= −∑ |
|
|
|
, −1 < x ≤1. |
|
|||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||
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2 |
|
|
|
3 |
|
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|
n=1 n |
|
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|||||||||
|
Разложите функцию ln x по степеням (x −1). |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
РЕШЕНИЕ: |
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( |
+(x −1) |
) |
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||||||||||
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, |
искомое разложе- |
|
||||||||||||||||||
|
Так как ln x =ln 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
ПП 5.№47. |
ние получается |
|
из |
разложения |
|
|
ln(1 + x) по |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
степеням x заменой x на (x −1): |
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||
|
ln x = (x −1)− |
(x −1)2 |
+ |
(x −1)3 |
−…= |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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2 |
|
|
|
|
3 |
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15
|
= ∑(−1)n |
−1 (x −1) |
n |
−1 < x −1 ≤1, |
x (0,2] . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
, |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∞ |
|
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n=1 |
|
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|
n |
|
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|
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|||
|
Разложите функцию ln (2 −5x), |
x < |
|
|
|
2 |
по сте- |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
25 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
пеням (x + 3). |
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РЕШЕНИЕ: |
(2 −5(x +3)+15)= |
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|
ln(2 −5x)=ln |
|
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|||||||||||||||||||||||
|
=ln17 1− |
5 |
(x +3) |
= ln17 +ln |
1− |
5(x +3) |
; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||
|
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17 |
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|
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17 |
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|||||||||
|
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|||||||||||
|
из разложения ln(1 + x) по степеням x заме- |
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|
ной x на |
|
5(x + 3) |
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получаем |
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||||||||||||||||
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17 |
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||||||||||||||||||
|
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5(x + |
3) n |
|
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||||||||||
|
|
|
|
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|
∞ |
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|
|
|
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|
|
|||||||
|
ln(2 −5x)=ln17 + ∑1 − |
|
|
|
= |
|
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||||||||||||||||||||||
ПП 5.№48. |
17 |
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n=1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
||||||||
|
|
|
∞ |
|
5 |
|
n |
(x +3)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
=ln17 −∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
n=1 17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||
|
Найдем область, в которой справедливо раз- |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ложение: |
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|
|
||
|
−1 < |
|
5(x + 3) |
<1, |
|
|
|
−17 |
< x + 3 < 17 , − |
32 |
< x < 2 . |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
5 |
|
5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
32 |
|
|
|
|
5 |
|
|||||||||||||
|
Можно убедиться, что при |
x = |
|
ряд являет- |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
ся условно сходящимся, а при |
x = |
|
он ста- |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
||||
|
новится гармоническим рядом и расходится. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
Интервал сходимости |
x − |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
5 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
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|||||||
|
Разложите функцию cos x по степеням |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
π |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
x − |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
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|
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|
|
|
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|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
РЕШЕНИЕ: |
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|
|
x −π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Введем новую переменную |
= t , тогда |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
ПП 5.№49. |
|
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|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
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|||||||||||
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
cos x = cos t + |
2 |
= −sint . |
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||||||||
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||||||||||
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Из разложения |
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|
|
|
|
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|
|
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|
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|
||||||||||
|
−sin t = − |
t − |
t3 |
|
+ |
t5 |
|
−… = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
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16
∞ |
t |
2n−1 |
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−∑(−1)n−1 |
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, −∞ < t < ∞. |
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|||||
(2n −1)! |
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|||||||||
n=1 |
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||||
Переходя к старой переменной |
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|||||||||
∞ |
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π |
2n −1 |
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|
n −1 |
x − |
2 |
|
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|||||
cos x = − ∑ ( |
−1) |
|
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= |
|||||
|
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(2n |
−1)! |
|||||
n =1 |
|
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||||
|
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= − x − π2 + x −3!π2 3 − x −5!π2 5 +…
Разложите функцию |
π |
x |
2 |
|
в ряд по |
|
y = cos |
2 |
|
|
|||
|
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степеням x. РЕШЕНИЕ:
Воспользуемся известным разложением
∞x2n
ПП5.№50. cos x = ∑n=0 (−1)n (2n)! .
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π |
x |
2 |
2n |
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π |
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|
∞ |
|
n |
|
|
|
∞ |
n π |
2n |
x |
4n |
|
||||||||
x2 |
= ∑(−1) |
2 |
|
|
|
|
= ∑(−1) |
|
|
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||||||||||||
cos |
|
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|
= |
||||||||||
2 |
|
(2n)! |
2 |
2n |
( |
2n)! |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
n=0 |
|
|
n=0 |
|
|
|
||||||||||||||
∞ |
(−1) |
n |
π |
2n |
|
x (−∞, ∞). |
|
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|||||||||
= ∑ |
|
|
x4n , |
|
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||||||||||||
2n |
|
|
|
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|||||||||||
n=0 |
2 (2n)! |
|
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ПП5.2.2.5. Применение степенных рядов
ПП5.2.2.5.1. Вычисление значений функций.
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Вычислите sin10 |
|
с точностью 0,001. |
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РЕШЕНИЕ: |
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x3 |
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x5 |
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|||||||||||
|
Ряд sin x = x − |
+ |
|
−… сходится при |
x R . |
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|
3! |
5! |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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3 |
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5 |
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||||
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π 10 |
|
|
π |
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|
π |
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|
1 π |
|
|
1 |
|
π |
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|||||||||||||
|
10 = |
|
|
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|
|
|
= |
|
|
, sin10 = |
|
|
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− |
|
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|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
−…. |
|
|||||||||||
|
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|
180 |
18 |
18 |
|
|
5! |
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||||||||||||||||||||||||||||||||
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3! 18 |
|
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|
18 |
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|||||||||||||||||
ПП 5.№51. |
Ряд знакочередующийся, остаток ряда можно |
sin10 ≈ 0,174 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
оценить по признаку Лейбница. Член ряда, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
меньший по модулю, чем 0,001: |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
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u2 |
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π 3 |
1 |
< 0,001 |
. По признаку Лейбница |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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= |
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||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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18 |
3! |
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|||||||
|
погрешность от отбрасывания всех членов, |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
начиная с n - го равна |
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Rn |
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|
< |
|
un+1 |
|
, |
значит, |
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
R1 |
|
< |
|
u2 |
|
< 0, 001 и |
|
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17
|
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sin10 |
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≈ |
|
π |
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≈ 0,174 . |
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18 |
|
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||||||
|
Вычислите с точностью до 0,01 значение |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ln 8 . |
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РЕШЕНИЕ: |
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|||||||||||||||||||
|
ln8 =ln |
(23 )=3ln 2. Вычислим ln 2 . |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Если использовать стандартное разложение, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ln(1+ x)= x − |
x2 |
|
|
+ |
|
x3 |
−…, получается медленно |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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3 |
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1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
сходящийся ряд: |
ln 2 = ln(1+1)=1− |
|
+ |
−…. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Сходимость приближения можно ускорить, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
для чего воспользуемся рядами: |
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x2 |
|
|
|
x3 |
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ln(1+ x)= x − |
x2 |
|
|
+ |
|
x3 |
−…, ln(1− x)=−x − |
|
− |
−…, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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2 |
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|
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|
3 |
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2 |
|
|
3 |
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|||||||||
|
тогда |
ln |
(1+ x) |
|
|
= ln (1+ x)−ln (1− x)= |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(1− x) |
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|||||||||||||||
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x3 |
|
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|
x5 |
|
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1+ x |
|
|
= 2 x |
= |
|
1 |
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= 2 x |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+… |
, |
1− x |
|
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3 |
, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
5 |
|
|
|
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|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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ПП 5.№52. |
ln 2 = |
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1 |
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|
1 |
|
|
|
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1 |
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ln8 ≈ 2,07 |
|||||||||||||||
2 |
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|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
+… |
, |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
5 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
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|||||||||||||||||
|
ln8 = 3 2 |
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1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+…+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+… . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
2n+1 |
|
2n +1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Оценим остаток ряда – сколько членов нуж- |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
но оставить, чтобы вычислить ln 8 с точно- |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
стью 0,01. |
|
1 |
|
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|
|
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|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
Rn = 3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
< |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2n+1 |
|
|
2n +1 |
|
|
|
|
2n+3 |
2n +3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+… |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2n+1 |
|
2n +1 |
|
|
3 |
|
|
|
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ПП 5.№53. |
Вычислите 4 17 с точностью 0,01. |
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4 17 ≈ 2,03 |
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РЕШЕНИЕ: |
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4 17 = 4 16 +1 = 2 4 1+ |
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= 2 1+ |
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Воспользуемся биномиальным рядом, пола- |
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гая x = |
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m = 1 |
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−…, |
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3! |
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Учитывая, что получился ряд Лейбница, |
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оценим количество слагаемых, требующееся |
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для достижения необходимой точности: |
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< |
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u |
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u |
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= |
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3 |
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< 0,01, |
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R |
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< |
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u |
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. |
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n |
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n |
+1 |
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= 2 +0,031... = 2,03. |
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Вычислите число e с точностью 0,001. |
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РЕШЕНИЕ: |
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∞ |
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x |
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ex =1+ x + |
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+…= ∑ |
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, x R. |
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2! |
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n=0 |
n! |
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∞ |
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x |
n |
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n |
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x |
k |
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∞ |
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x |
k |
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f (x)=ex =∑ |
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=∑ |
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+ ∑ |
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= Sn (x)+Rn (x), |
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n=0 |
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n! |
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k=0 |
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k! |
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k=n+1 |
k! |
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приближенно |
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f (x)≈ Sn (x). |
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Оценим погрешность приближенного равен- |
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ства: |
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||||||||||||||
ПП 5.№54. |
|
R |
(x) |
|
= |
|
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xn+1 |
|
|
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|
+ |
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xn+2 |
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+… |
≤ |
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e ≈ 2, 718 |
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(n +1) |
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(n + 2)! |
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n |
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|
! |
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|
≤ |
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x |
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n+1 |
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+ |
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x |
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n+2 |
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+…= |
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( |
n +1)! |
(n + 2)! |
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x |
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n |
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x |
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x |
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2 |
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= |
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+ |
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+… |
< |
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n! |
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+1 |
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(n +1)(n + |
2) |
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n |
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n |
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x |
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|
x |
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|
x |
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|
2 |
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|
x |
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3 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
< |
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+ |
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+ |
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n! |
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+1 |
n +1 |
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n +1 |
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n |
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+… = |
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{по формуле для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии}
19
|
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x |
|
n |
|
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|
|
x |
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x |
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n |
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|
x |
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||||||||||||||
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n +1 |
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, |
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|
= |
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= |
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||||||||||||||||||
|
|
n |
|
! |
1− |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
n |
|
! |
n + |
1− |
|
x |
|
|
|
|
|
|
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n +1 |
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n |
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|||||||||||||
|
окончательно, |
|
|
Rn (x) |
|
|
< |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
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|
. |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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|
|
n! |
|
|
|
|
n +1− |
|
x |
|
|
|
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|||||||||||||||||||
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||
|
e = f (1), погрешность |
|
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Rn (1) |
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1 |
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1 |
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|
|
< |
|
|
|
n . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
n! |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||
|
Неравенство |
|
|
R |
|
(1) |
|
< |
1 |
|
1 <10−3 |
решаем под- |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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n |
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n! |
|
|
n |
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||||||||||||||
|
бором: |
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n n! >1000 , |
n n! = 5 120 = 600 <1000 , |
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n = 5 : |
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n = 6 : |
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n n! = 6 720 = 4320 >1000 . |
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e ≈1+1+ |
1 + |
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1 |
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+ |
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1 |
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+ |
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1 |
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+ |
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1 |
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= |
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3 2 |
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4 3 2 |
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5 4 3 2 |
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6 5 4 3 2 |
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2 |
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= 2 + 1 |
+ |
1 |
+ |
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1 |
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|
+ |
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|
1 |
|
|
|
+ |
|
|
1 |
|
= |
1957 |
= 2,7180555... |
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6 |
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24 |
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120 |
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720 |
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720 |
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2 |
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В результате необходимо оставить 3 знача- |
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щих цифры после запятой, e ≈ 2, 718 . |
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ПП 5.2.2.5.2. |
Вычисление интегралов, не берущихся в |
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элементарных функциях. |
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Найдите значение функции Φ(x)= ∫x e−t2 dt |
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0 |
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(интеграл ошибок, функция Лапласа) при |
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x =1 с точностью 0,001. |
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РЕШЕНИЕ: |
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Подставим в интеграл разложение подынте- |
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гральной функции e−x2 |
=1 − x2 + |
x4 |
|
− |
x6 |
+… |
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2! |
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ПП 5.№55. |
в ряд по степеням x: |
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3! |
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0,747 |
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x |
−t2 |
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|
a |
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|
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|
2 |
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|
t4 |
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|
t6 |
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|
∫e |
|
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|
dt |
= |
∫ |
1−t |
|
|
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|
|
+ |
|
|
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|
|
|
|
− |
|
|
|
|
+… dt = |
|
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|
2! |
3! |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
t |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||
|
= t |
− |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
+ |
… |
|
|
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|
= |
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|
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|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
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3 1! |
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5 2! |
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7 3! |
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1 |
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|
0 |
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|
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|
|
|
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|
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|
|
|
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|
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|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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x3 |
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x5 |
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x7 |
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x2n+1 |
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|||||||||||||||||||||||||||
|
= x − |
|
|
+ |
|
|
|
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|
|
− |
|
|
|
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|
|
+…+ |
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+... |
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3 1! |
5 2! |
7 3! |
(2n +1) n! |
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20