Matan__teoria

U′x = P, U′y = Q, U′z = R .

В силовом потенциальном поле свойства 3 и 6 означают, что работа сил поля по дуге не зависит от формы дуги и равна разности потенциалов конца и начала дуги.

Рассмотрим способы отыскания потенциала U поля a .

Отыскание потенциала по выражению a d r

Воспользуемся первым свойством потенциального поля. Если удается представить выражение a d r в виде полного дифференциала некоторой функ( ции U , то поле a ─ потенциально, а U ─ его потенциал.

Пример 12.1. Показать, что поле a потенциально и найти его потенциал, если

{x, y, z}

1) a = 2xi + 3y2 j +

4z3k,

2) a = {yz, xz, xy},

3) a =

.

2 + y2 + z2

x

+1

Решение

1). a d r = 2xdx + 3y2 dy + 4 z3 dz = d (x2)+ d (y3)+ d (z4)= d (x2 + y3 + z4).

Следовательно, поле a ─ потенциально; U = x2 + y3 + z4

─ его потенциал.

2). a d r = yz dx + xz dy + xydz = d(xyz) .

Следовательно, поле a потенциально; U = xyz ─ его потенциал.

xdx + y dy + z dz

1 d (x2 + y2 + z2 +1)

= 12 d (ln(x

2

2

2

+1)).

3). a d r =

=

2

+ y

+ z

x2 + y2 + z2 +1

x2 + y2 + z2 +1

Следовательно, поле a ─ потенциально; U = 12 ln(x2 + y2 + z2 +1) ─ его потенциал.

Отыскание потенциала по определению

Для потенциального поля a = {P,Q, R} и его потенциала U имеем gradU = a

или в координатной форме

(12.1)

Проинтегрируем первое из этих равенств по x ; при этом появится константа, не зависящая от переменной интегрирования x (но зависящая от y, z ):

U = ∫P(x, y, z)dx + c(y, z) .

Для отыскания функции c(y, z) следует подставить получившуюся функцию U (x, y, z) во второе и третье равенства (12.1).

z

x z

x

Пример 12.2. Проверить, что поле

a

=

+ x i

−

j

+

+1 k является потен(

y

y2

y

циальным и найти его потенциал.

Решение. Для данного поля проверить его потенциальность и найти потенциал по выражению a d r сложно. Поэтому потенциальность поля проверим по условию rot a = 0 , а потенциал найдем исходя из формул (12.1). Итак, вычислим ротор:

				i
	=			∂
rot a
			∂x
		z		+ x
		y

jk

	∂				∂
	∂y			∂z
−xz			x		+1
	y2		y

x

x

1

1

z

z

= i

−

+

− j

−

+ k

−

+

= 0 .

2

2

2

2

y

y

y

y

y

y

101

Значит поле a потенциально

и

его

потенциал

U

удовлетворяет

условию

gradU = a или в координатной форме

U′

=

z

+ x,

U′

= −

x z

, U′

=

x

+1.

(12.2)

y

x

y

y

y

2

z

Проинтегрируем первое из этих равенств по x

U = ∫

z

z

x

2

+ x dx =

x +

+ c(y, z)

y

y

2

и подставим получившуюся функцию U (x, y, z) во второе и третье равенства (12.2):

U′

=

−x z + c′

(y, z) =

−x z

,

U′

=

x

+ c′

(y, z) =

x

+1.

2

y

y

y

y

2

y

y

z

z

Отсюда c′y = 0, c′z =1. Следовательно, c(y, z) = z + c1 , где c1 ─ константа. Поэтому

U= z x + x2 + z + c1. y 2

Отыскание потенциала центрального поля a = f (r)r

2	2	где r =				2	2
Воспользуемся соотношением r	= r ,			r		. Тогда d r	= dr , 2r d r = 2r dr

и, значит, r d r = r dr . Поэтому

a d r = f (r)r d r = f (r)r dr .

Введем функцию U = ∫ f (r)r dr . Так как U′r = f (r)r , то a d r = f (r)r dr = U′(r)dr = dU . Следовательно, по свойству 1

центральное поле a = f (r)r потенциально и его потенциал U = ∫ f (r)r dr .

Пример 12.3. Найти потенциал поля напряженностей E = 1 r . r3

Решение. Поле E ─ центральное, следовательно, оно потенциальное, и его по(

тенциал		U = ∫	1		r dr = ∫		1		dr = −	1	+ C .
			r	3			r	2		r
									12.2. Соленоидальное поле
		Поле a				называют соленоидальным, если оно является полем
	ротора некоторой векторной функции b , т.е. a = rotb ; при этом
	вектор b				называют векторным потенциалом поля a .

Свойства соленоидального поля

1). Поле a является соленоидальным тогда и только тогда, когда diva = 0 . 2). В соленоидальном поле поток через замкнутую поверхность, не со( держащую внутри особых точек поля, равен нулю.

3). В соленоидальном поле потоки через замкнутые поверхности, окру( жающие все особые точки поля, равны между собой.

4). В соленоидальном поле поток через любое поперечное сечение векторной трубки сохраняет постоянное значение (называемое интенсивностью трубки).

102

Проверим эти свойства.

1).Пусть поле a ─ соленоидально, т.е.

i

j

k

∂

∂

∂

∂b

∂b

∂b

∂b

∂b

∂b

a = rot b

=

=

3

−

2

i −

3

−

1

j +

2 −

1

k ;

∂x ∂y

∂z

∂y

∂z

∂x

∂z

∂x

∂y

b1 b2 b3

тогда

∂

∂b

∂b

∂

∂b

∂b

∂

∂b

∂b

diva

=

3 −

2

+

−

3 +

1

+

2

−

1

=

∂x

∂y

∂y

∂z

∂x

∂z

∂z

∂x

∂y

∂

2b

∂2b

∂2b

∂2b

∂2b

∂2b

=

3

−

3

+

−

2

+

2

+

1

−

1

= 0;

∂x∂y

∂y∂x

∂z∂x

∂y∂z

∂z∂y

∂x∂z

можно показать, что справедливо и обратное: если diva = 0 , то a = rotb .

2).В соленоидальном поле diva = 0

и потому по формуле Остроградского поток

через замкнутую поверхность, не содержащую внутри особых точек поля,

Πσ

= (a ,n)dσ =

∫

diva dV =0 .

+

)

∫

)

(σ1

(σ)

(

V

(σ2− )

3).Пусть (σ1+ ),

(σ2−)

─

поверхности,

окружающие

все

(V )

особые точки поля; их ориентация указана на рис. 78. Обо(

n2

значим через (V )

─ тело с границей

(σ ) = (σ1+ ) (σ2− );

n1

внутри тела (V )

поле определено, diva = 0 , и потому по

Рис. 78

формуле Остроградского

diva dV = 0.

Πσ = ∫

n

a

(V )

(σ

)

(σ2)

С другой стороны, Πσ

= Π

+ + Π

−

= Π

+

− Π

+

и следовательно,

3

σ1

σ2

σ1

σ2

Πσ +

= Πσ + .

1

2

4). Рассмотрим векторную трубку поля, т.е. совокупность его

(σ1)

векторных линий, пересекающих некоторую замкнутую линию

Рис. 79

(σ1+ ), (σ2+ ) − поперечные

(рис.

79). Пусть

сечения

векторной

трубки с указанной на рис. 79 ориентацией; (σ3) − поверхность векторной труб( ки, состоящая из векторных линий; (σ ) = (σ1− ) (σ2+ ) (σ3 ) − граница тела (V ).

Вычислим поток поля через поверхность (σ ):

с одной стороны, по свойству 2) этот поток равен нулю; с другой стороны,

Πσ = Πσ1− + Πσ2+ + Πσ3 = − Πσ1+ + Πσ2+ + Πσ3 ,

причем, Πσ3 = ∫ (a ,n)dσ =0, т.к. (σ3) состоит из векторных линий, значит, вектор

(σ3)

поля a направлен по касательной к векторной линии, т.е. a n и a n = 0 .

103

Следовательно, Πσ = −Π	σ	+ + Π	σ	+ = 0 или	Π	σ	+ = Π	σ	+ .
		1		2			1		2

Пример 12.4. Найти поток поля напряженностей E = q r , создаваемого зарядом q ,

r3

через произвольную замкнутую поверхность (σ ).

Решение. Дивергенция поля E равна нулю (пример 10.9), потому поле напря(

женностей E является соленоидальным всюду, где определено (т.е. в точках r ≠ 0 , отличных от начала координат).

Тогда по свойству 2) соленоидального поля поток поля через любую за( мкнутую поверхность, не окружающую начала координат, равен нулю.

По свойству 3) соленоидального поля поток поля через замкнутую поверх( ность, окружающую начало координат, равен, например, потоку этого поля че( рез сферу с центром в начале координат (он был вычислен в примере 10.1) и равен 4πq .

Отыскание векторного потенциала

Прежде всего отметим, что векторный потенциал b			соленоидального поля
a определяется с точностью до градиента произвольной функции.
Действительно, так как поле gradU − потенциально, то rot(gradU)=0 и потому
			=a ;
rot(b	+gradU)=rotb	+rot(gradU)=rotb
значит, вектор b +gradU также является векторным потенциалом поля a . По(

этому подбором вектора gradU можно добиться того, чтобы одна из координат

векторного потенциала b

равнялась нулю, т.е. можно искать векторный потен(

= {b1, b2 , 0} . Тогда

циал, например, в виде b

i

j

k

∂

∂

∂

∂b

∂b

∂b

∂b

rotb

=

= −

2

i −

−

1

j +

2

−

1

k .

∂x

∂y

∂z

∂z

∂z

∂x

∂y

b1

b2

0

+ Rk , то получим систему уравнений

Так как rotb = a,

a

= Pi + Q j

−

∂b2

= P,

∂b1

= Q,

∂b2

−

∂b1

= R .

(12.3)

∂z

∂z

∂x

∂y

Проинтегрируем первое и второе из равенств (12.3) по z :

b2 = −∫P dz +ϕ (x, y), b1 = ∫Q dz +ψ (x, y) ;

здесь ϕ (x, y), ψ (x, y) − произвольные функции, не зависящие от переменной ин(

тегрирования z . Подставляя найденные b2 , b1							в третье	из равенств (12.3),
найдем функции ϕ (x, y), ψ (x, y).
Пример 12.5. Проверить соленоидальность поля
							a = 2yi − z j + 2xk и найти его
векторный потенциал.
Решение. Так как diva =	∂	(2y)+	∂	(−z)+	∂	(2x) = 0 , то поле соленоидально, т.е.
			∂y
	∂x				∂z

a = rotb . Будем искать векторный потенциал в виде b = {b1, b2 , 0}. Тогда

104

i

j

k

∂

∂

∂

∂b

∂b

∂b

∂b

rotb =

= −

2

i

−

−

1

j +

2 −

1

k .

∂x

∂y

∂z

∂z

∂z

∂x

∂y

b1

b2

0

+ 2xk,

то получим систему уравнений

Так как rotb = a = 2yi

− z j

∂b2

= −2y,

∂b1

= −z,

∂b2

−

∂b1

= 2 x .

(12.4)

∂z

∂z

∂x

∂y

Проинтегрируем первое и второе из этих равенств по z :

b2 = −∫ 2y dz = −2yz +ϕ (x, y),

b1 = ∫ − z dz = −

z2

+ψ (x, y).

2

Подставив эти выражения для b2 , b1

в третье из равенств (12.4), получим

∂b2

−

∂b1

= ϕ′x (x, y)−ψ′y (x, y) = 2 x .

∂x

∂y

В частности, можно взять ψ (x, y) = 0,

ϕ (x, y) = x2 . Тогда векторный потенциал

z

2

b = {b1, b2 , 0}= {−

, − 2yz + x2, 0}.

2

12.3. Гармонические поля

Гармоническое скалярное поле

Скалярное поле f называется гармоническим, если функция f удовлетворяет уравнению Лапласа

div(grad f ) = 0 .

Правая часть уравнения Лапласа называется оператором Лапласа и обозна( чается f . Оператор Лапласа будет использован в дальнейшем при решении за( дач математической физики (задач колебания, теплопроводности, диффузии).

В прямоугольной системе координат

grad f = {fx′ , fy′ , fz′}, div(grad f ) = ( fx′)′	+( fy′ )′	+ ( fz′)′	z	= f
x		y

иуравнение Лапласа примет вид

f = fx′′x + fy′′y + fz′′z = 0.

Пример 12.6. Показать, что поле f (r) = 1r является гармоническим в простран(

стве R3 , а поле f (r) = ln r

является гармоническим в пространстве R2 .

1

1

′

1

r

r

Решение. 1). По свойствам градиента grad

=

grad r = −

= −

.

2

r3

r

r

r

r

1

−1

1

1

По свойствам дивергенции div grad

= div

r

= −

divr

+ r grad

.

r3

r

r3

r3

r

Учитывая, что r = {x, y, z},

divr = 3 в пространстве R

,

grad

1

= −3

, получим:

3

r3

r4

r

1

3

3

div grad

= −

− r r

= 0 .

r5

r

r3

105

2). В пространстве R2 для поля

f (r) = ln r имеем:

gradln r = (ln r)′grad r =1

r

=

r

,

r = {x, y},

divr = 2,

r

r

r2

−2 r

1

1

1

2

div(gradln r) = div

r

=

divr + r

grad

=

+ r

= 0.

r2

r2

r2

r3 r

r2

Гармоническое векторное поле

Векторное поле a , являющееся одновременно и потенциальным, и соленоидальным, называется гармоническим векторным полем.

Отметим следующие свойства гармонического векторного поля.

1). Гармоническое векторное поле обладает скалярным и векторным потенциалом. 2). Скалярный потенциал U является функцией гармонической.

3). Для гармонического векторного поля a = {P,Q, R} его координаты P,Q,R

являются функциями гармоническими.

Проверим эти свойства.

1). Первое свойство следует из определения, т.к. потенциальное поле обладает ска( лярным потенциалом, а соленоидальное поле обладает векторным потенциалом. 2). Так как гармоническое поле a потенциально, то оно обладает скалярным потенциалом U и представимо в виде a = gradU . С другой стороны, гармониче(

ское поле является соленоидальным, поэтому

diva = div(gradU ) = 0.

Таким образом, потенциал U гармонического поля a удовлетворяет уравнению

Лапласа и является гармонической функцией.

3).Для гармонического векторного поля a = {P,Q, R}

в силу его потенциальности

i

j

k

∂

∂

∂

∂R

∂Q

∂R

∂P

∂Q

∂P

rot a = 0 , т.е.

rot a =

=

−

i

−

−

j

+

−

k = 0 или

∂x

∂y

∂z

∂y

∂x

∂z

∂x

∂z

∂y

P

Q

R

∂R

=

∂Q

,

∂R

=

∂P

,

∂Q =

∂P .

(12.5)

∂y

∂z

∂x

∂z

∂x

∂y

В

силу

соленоидальности

гармонического

векторного

поля

diva = 0 , т.е.

∂P

+

∂Q

+

∂R

= 0. Продифференцируем это равенство по x

∂x

∂y

∂z

∂2P

∂

∂Q

∂ ∂R

+

+

= 0

∂x2

∂z (∂x )

∂y

∂x

и воспользуемся вторым и третьим из равенств (12.5):

∂2P

+

∂

∂P

+

∂ ∂P

= 0

или

∂2P

+

∂2P

+

∂2P

= 0 .

∂x2

∂z (∂z )

∂x2

∂y2

∂z2

∂y

∂y

Это значит, что функция P является гармонической. Аналогично можно пока( зать, что функции Q, R являются гармоническими.

106

13. Повторные операции теории поля

1). Рассмотрим скалярное поле U . В нем определен вектор gradU . В векторном поле gradU определены понятия дивергенции и ротора

	div(gradU )			,		rot(gradU )			.	(13.1)
2). Рассмотрим векторное поле a . В нем определены скаляр div a										и вектор
rot a . Для скалярного поля div a определено понятие градиента
								.
			grad(diva)							(13.2)
Для векторного поля rot a определены понятия дивергенции и ротора
					,				.
		div(rot a)					rot(rot a)			(13.3)

Выражения (13.1) ─ (13.3) определяют повторные операции теории поля. Их называют также дифференциальными операциями второго порядка.

Рассмотрим каждую из этих операций более подробно.

Выражение div(gradU ) есть оператор Лапласа U ; он был введен в п. 12.3. Так как поле gradU является потенциальным, а в потенциальном поле ротор

равен нулю, то rot(gradU ) = 0 .

Так как поле rot a является соленоидальным, а в соленоидальном поле ди(

вергенция равна нулю, то		div(rot a) = 0.
Выражения grad(diva)		и rot(rot a) используются в электродинамике и связа(
ны соотношением (которое будет установлено позже)
		rot(rot a) =graddiva − divgrad a .		(13.4)
Здесь divgrada = a для вектора a = {P,Q, R} понимают как a = { P, Q, R}.
Итак, имеем следующие соотношения
	div(gradU ) = U, rot(gradU ) = 0, div(rot a) = 0,
		rot(rot a) =graddiva − divgrad a.

14. Оператор Гамильтона

Рассмотрим символический оператор Гамильтона (или вектор “набла”)

= ∂∂x i + ∂∂y j + ∂∂z k = {∂∂x , ∂∂y , ∂∂z} .

С его помощью удобно записать основные операции теории поля:

1) градиент скалярного поля есть произведение вектора на скалярную функцию f

grad f = {∂∂x f , ∂∂y f , ∂∂z f }= f ;

2) дивергенция векторного поля есть скалярное произведение вектора на вектор поля

∂

∂

∂

∂

∂

∂

diva

=

∂x

P +

∂y

Q +

∂z

R = {

∂x

,

∂y

,

∂z

} {P,Q, R} = a

;

107

1). Пусть

3) ротор векторного поля a есть векторное произведение вектора на вектор a

i

j

k

∂

∂

∂

rot a

=

= × a

;

∂x

∂y

∂z

P

Q

R

4) оператор Лапласа скалярного поля f

f

= div(grad f ) = f

= 2 f

или символически

= = 2

;

5) производная по направлению

∂ f

∂

= l0 grad f

= l0

f =

(l0

) f

или символически

= (l0

)

.

∂l

∂l

Такая запись основных операций поля наиболее часто используется в физиче( ских и технических приложениях, связанных с изучением реальных физических

полей.

При применении оператора следует учитывать и его векторную и его

дифференциальную природу. На этом основаны правила применения . Эти правила можно было заметить при изучении дифференциальных свойств дивер( генции, градиента, ротора.

Применение к выражениям, не содержащим произведения переменных

Применение к выражениям, не содержащим произведения пе(

ременных, происходит по правилам векторной алгебры. При этом ве(

личина, на которую действует оператор , должна стоять за ним.

Поясним это правило на следующих примерах.

c − постоянный вектор; тогда rot( f c) = ( f c) = ( f ) c = (grad f ) c ;

здесь переменная величина f перенесена к вектору и поставлена за ним по правилам векторной алгебры (по свойствам векторного произведения скаляр f

можно перенести от второго вектора к первому).

2). Применяя , получим формулу (13.4):

rot(rota) = ( a)= ( a)−( )a =graddiva − divgrada ;

здесь мы воспользовались известной формулой для двойного векторного про(

изведения a (b

c)= b (a c)−c (a b)= b

(a c)−(a b)c ; как уже отмечалось,

divgrada = a для вектора a = {P,Q, R} понимают как a = { P, Q, R}.

есть функция

∂P

+

∂Q

+

∂R

;

3). Следует иметь в виду, что a ≠ a

, так как a

= diva

∂x

∂y

∂z

в то время какa = P

∂

+ Q

∂

+ R

∂

есть дифференциальный оператор.

∂x

∂y

∂z

Аналогично, ( )a ≠ a( ).

4). Следует иметь в виду, что не является обычным вектором; например,

108

а) не имеет ни длины, ни направления, б) a не перпендикулярен a ,

в) векторы u, v− не коллинеарны, так как вектор u направлен по нормали к поверхности уровня u = const , вектор v направлен по нормали к по( верхности уровня v = const .

Эти примеры показывают, что с вектором следует обращаться с осто( рожностью и при отсутствии уверенности в полученном результате его следует проверить непосредственно, без использования .

Применение к выражениям, содержащим произведение переменных

Вэтом случае на первый план выходят дифференциальные свойства оператора

и правило дифференцирования произведения.

Результатом действия на произведение переменных является сумма про( изведений; в каждом из них действует на один множитель, который отмеча( ют штрихом и располагают справа от , соблюдая правила векторной алгебры.

Поясним это правило на следующих примерах. 1). Пусть f −функция, a − переменный вектор; тогда

div( f a) = ( f a) = ( f / a)+ ( f a/ ).

Чтобы поставить множитель, помеченный штрихом, рядом с и за ним, вос( пользуемся двумя свойствами скалярного произведения: скаляр можно перено( сить от второго вектора к первому и скаляр можно выносить за знак скалярного произведения. Поэтому

div( f a) = ( f a) = (		f / a)+ ( f a/ )= ( f / ) a + f				( a / )= (grad f ) a + f diva .
2). Пусть a, b − переменные векторные поля; тогда
	div(a							/ ).
		b) = (a		b)= (a / b)+ (a			b

Чтобы поставить множитель, помеченный штрихом, рядом с и за ним, вос(

пользуемся	свойством	векторного		произведения			a b / = −b / a и свойством
										/ ) a . Поэтому
смешанного произведения (a / b)				= ( a / ) b ,		(b		/ a)= ( b
div(a
	b) = (a / b)+ (a		b / )= ( a / ) b			−( b		/ ) a = b rot a		− a rotb .

15.Теория поля в ортогональной криволинейной системе

15.1.Криволинейная система координат и ее базис

Во многих задачах удобно определять положение точки пространства не де( картовыми координатами (x, y, z) , а другой тройкой чисел (u,v,w) , которую называют криволинейными координатами.

Пусть известна связь между декартовыми и криволинейными координатами

x = x(u,v,w), y = y(u,v,w), z = z(u,v,w) или в векторном виде r = r (u,v,w) .

Введем понятие координатных поверхностей и координатных линий.

109

ru′, rv′, rw′

lv

Координатные поверхности ─ это поверхности, на которых одна из координат сохраняет постоянное значение, например, u = const , или v = const , или w = const .

Координатная линия lu − это множество точек пространства, у которых координа(

та u меняется, а координаты v, w фиксированы, v = v

0

, w = w

; при этом r = r

(u,v ,w

)

0

0

0

есть параметрическое уравнение линии lu ; вектор ru′(u0 ,v0 ,w0 ) явля(

ется касательным вектором к линии lu в точке P0 (рис.80).

r ′

w

l

w

rv′

Координатная линия l

v

− это множество точек плоскости, у кото(

рых координата v

меняется,

а координаты u,w

фиксированы,

•

r

′

P

0

u = u0 , w = w0 ; при этом r = r (u0 ,v,w0) − параметрическое уравнение

u

lu

линии lv ; вектор

rv′(u0 ,v0 ,w0)

является касательным вектором к

линии lv в точке P0

(рис. 80).

Рис. 80

Аналогично определяется координатная линия lw и ее касательный вектор rw′.

Координатные линии являются линиями пересечения двух координатных по( верхностей; например, линия lw является пересечением координатных поверхно(

стей u = u0 , v = v0 .

Векторы образуют базис криволинейной системы координат. Его

называют локальным базисом, так как он меняется при переходе от точки к точке. Если векторы ru′, rv′, rw′ ─ ортогональны, то базис ru′, rv′, rw′ называют ортого%

нальным. Наиболее удобен соответствующий ортонормированный базис (ОНБ)

ru′

ru′

rv′

rv′

rw′

rw′

eu =

r ′

=

Hu

,

ev

=

r ′

=

Hv

,

ew

=

r ′

=

Hw

.

(15.1)

u

v

w

Величины Hu =

ru′

,

Hv =

rv′

,

Hw =

rw′

называют коэффициентами Ламэ.

Цилиндрическая система координат и ее базис

Координатные поверхности цилиндрической системы координат:

ρ = const − круговые цилиндры с осью симметрии OZ ,

ϕ= const − полуплоскости, проходящие через ось OZ , z = const − плоскости, перпендикулярные оси OZ .

Координатные линии:

lρ − лучи, перпендикулярные оси OZ и имеющие начало на этой оси,

lϕ − окружности с центром на оси OZ , лежащие в плоскостях z = const ,

lz − прямые, параллельные оси OZ .

Запишем связь между декартовыми и цилиндрическими координатами

x = ρ cosϕ , y = ρ sinϕ , z = z или в векторном виде r = {ρ cosϕ , ρ sinϕ , z} .

Локальный базис цилиндрической системы образуют векторы, касательные к координатным линиям lρ , lϕ , lz :

110