Matan__teoria

r ′ = {cosϕ ,

sinϕ ,

0},

r

′ = {−ρ sinϕ , ρ cosϕ ,

0},

r

′ = {0, 0, 1}.

ρ

ϕ

z

Так как

r′

r′

= 0,

r′

r′

= 0,

r′

r′

= 0 , то векторы

r′

, r′

, r′

ортогональны и обра(

ρ

ϕ

ρ

z

ϕ

z

ρ

ϕ

z

зуют ортогональный базис. Найдем коэффициенты Ламэ и ортонормированный базис по формулам (15.1):

r

r

r

′

′

(−ρ sinϕ )2 + (ρ cosϕ )2 + 0 = ρ , H

′

H

ρ

=

= cos2ϕ + sin2

ϕ + 0 =1,

H

ϕ

=

=

z

=

=1;

ρ

ϕ

z

′

′

′

r

ρ

r

1

r

z

e

=

= r

′, e

=

ϕ

=

r

′ , e

=

= r

′ .

Hρ

Hϕ

ρ

Hz

ρ

ρ

ϕ

ϕ

z

z

Итак, коэффициенты Ламэ и ортонормированный базис для цилиндрической системы координат имеют вид

		Hρ =1, Hϕ = ρ , Hz =1		,			(15.2)
e	= {cosϕ , sinϕ , 0},	e	= {−sinϕ , cosϕ , 0},	e	= {0, 0, 1}	.	(15.3)
ρ		ϕ		z

Сферическая система координат и ее базис

Координатные поверхности сферической системы координат: r = const − сферы с центром в точке O ,

θ= const − круговые полуконусы с осью симметрии OZ ,

ϕ= const − полуплоскости, проходящие через ось OZ .

Координатные линии:

lr − лучи, выходящие из точки O ,

lθ − меридианы на сфере,

lz − параллели на сфере.

Вспомним формулы (7.30), устанавливающие связь между декартовыми и сферическими координатами

x = rsinθ cosϕ , y = rsinθ sinϕ , z = r cosθ .

Локальный базис сферической системы координат образуют векторы, каса( тельные к координатным линиям lr , lθ , lϕ :

rr′ = {sinθ cosϕ , sinθ sinϕ , cosθ}, rθ′ = {r cosθ cosϕ , r cosθ sinϕ ,− rsinθ}, rϕ′ = {−r sinθ sinϕ , r sinθ cosϕ , 0}.

Скалярные произведения этих векторов равны нулю, поэтому эти векторы ор( тогональны и образуют ортогональный базис. Найдем коэффициенты Ламэ и ортонормированный базис по формулам (15.1):

r ′

H

r

=

=

(sinθ cosϕ )2 + (sinθ sinϕ )2 + cos2θ =1,

r

r

H

θ

=

′

=

(r cosθ cosϕ )2 + (r cosθ sinϕ )2 + (−r sinθ )2 = r ,

θ

r

H

ϕ

=

′

=

(−r sinθ sinϕ )2 + (r sinθ cosϕ )2 + 0 = r sinθ ;

ϕ

′

′

′

1

′

′

1

′

rr

rθ

rϕ

e

=

= r

,

e

=

=

r ,

e

=

=

r .

Hr

Hθ

r sinθ

r

r

θ

r

θ

ϕ

Hϕ

ϕ

111

Итак, коэффициенты Ламэ и ортонормированный базис для сферической си% стемы координат имеют вид

			Hr =1, Hθ = r, Hϕ = rsinθ		,		(15.4)
e	= {sinθ cosϕ , sinθ sinϕ , cosθ},		e	= {cosθ cosϕ , cosθ sinϕ ,− sinθ},		e′	= {−sinϕ , cosϕ , 0}.
r			θ			ϕ

Далее мы рассмотрим вычисление основных характеристик теории поля в про( извольной ортогональной криволинейной системе координат.

15.2. Основные характеристики поля в ортогональных координатах

Градиент в ортогональных координатах

Пусть задано скалярное поле f (u,v,w) в криволинейной ортогональной системе координат с ортонормированным базисом eu , ev , ew . Вектор grad f = b

разложим по этому базису

grad f = b = bu eu + bv ev +bw ew .

В ортонормированном базисе координаты вектора равны его проекциям на ба( зисные векторы:

′

b = np

grad f

=e

grad f =

ru

grad

u

eu

u

r

′

u

=

1

( fx′ x′u +

fy′

y′u + fz′

Hu

Аналогично, b

=

1

∂f

,

b

=

1

∂f

.

Итак,

∂v

v

H

v

w

H

w

∂w

	f =	1		{x′u , y′u , z′u} {fx′ , fy′ , fz′}=
		Hu
	z′u )=		1		∂f .
			Hu
					∂u

=

1

∂f

+

1

∂f

+

1

∂f

.

(15.5)

grad f

e

e

e

∂u

u

∂v

v

∂w

w

H

u

H

v

H

w

В частности, в цилиндрических координатах

=

∂f

+

1

∂f

+

∂f

;

…

(15.6)

grad f

∂ρ

e

ρ

ρ

∂ϕ

e

ϕ

∂z

e

z

в сферических координатах

=

∂f

+ 1

∂f

+

1

∂f

.

grad f

e

e

θ

e

ϕ

∂r

r

r

∂θ

rsin

θ ∂ϕ

Пример 15.1. Скалярное поле

f (ρ,ϕ, z) = ρ cosϕ + zsinϕ + 2ρ задано в цилиндриче(

ской системе координат. Найти наибольшую скорость изменения поля в точке

A(1, π, 1).

Решение. Наибольшая скорость изменения поля в точке равна модулю его гра( диента в этой точке. Найдем градиент по формуле (15.6):

∂f

1

∂f

∂f

1

grad f =

e

ρ

+

e

ϕ

+

e

= (cosϕ + 2)e

ρ

+

(−ρ sinϕ + z cosϕ )e

ϕ

+ sinϕ e

.

∂ρ

ρ

∂ϕ

∂z

z

ρ

z

В заданной точке ρ =1, ϕ = π , z =1, поэтому

grad f (A) = eρ − eϕ и

grad f (A)

= 2 .

Итак, наибольшая скорость изменения поля в точке A равна 2 .

112

Векторные линии в ортогональных координатах

Рассмотрим векторное поле a = a e	+ a e	v	+ a	w	e	w	в произвольной ортого(
u u	v

нальной системе координат. Векторная линия поля a есть линия, в каждой точ(

ке которой касательный вектор d r

коллинеарен вектору поля a . Так как

′

′

′

′

=

′

= H

′

= H

′

= H

d r = r du + r dv + r dw,

r

r

e

e ,

r

e , r

e ,

u

v

w

u

u

u

u u

v

v v

w

w w

то, подставляя выражения для r

′,

r

′,

r ′

в

d r , получим

u

v

w

d r = (H

u

du)

e

+ (H

v

dv)e

+ (H

w

dw)e

.

(15.7)

u

v

w

Из условия коллинеарности векторов d r

и a

следует пропорциональность их

координат:

Hu du

=

Hv dv

=

Hw dw

.

(15.8)

a

a

a

w

u

v

Мы получили систему дифференциальных уравнений для отыскания векторных линий поля a .

Пример 15.2. Найти векторные линии поля

a = ρ ϕ eϕ + z ez , заданного в цилин(

дрической системе координат.

Решение. Воспользуемся уравнениями (15.8):

Hρ dρ

=

Hϕ dϕ

=

H

z

dz

.

a

ρ

a

a

z

ϕ

Так как

Hρ =1,

Hϕ = ρ , Hz =1,

aρ = 0,

aϕ = ρ ϕ , az = z , то уравнения векторных

линий примут вид

dρ

=

ρ dϕ

= dz или

dρ = 0,

dϕ

= dz

. Отсюда

ρ = c1

,

т.е. век(

ρ ϕ

ϕ

0

z

z

z = c2ϕ,

торными линиями являются спирали.

Линейный интеграл в ортогональных координатах

Рассмотрим векторное поле a и линейный интеграл этого поля

∫ a d r .

(L)

Запишем векторы a и d r

в ортонормированном базисе eu , ev ,

ew :

a = a e

+ a e

+ a

w

e

,

d r

= (H

u

du) e + (H

v

dv)e

+ (H

w

dw)e

. Тогда

u u

v v

w

u

v

w

∫ a d r =

∫ auHu du + avHv dv + awHw dw

.

(15.9)

(L)

(L)

Пример 15.3. Найти циркуляцию поля

a = ρ sinϕ eρ − ρ2z eϕ + ρ2 ez , заданного в

цилиндрической системе координат, вдоль линии x2 + y2 = R2,

z = h.

Решение. Циркуляцию вычислим по формуле (15.9), записав ее для цилиндри( ческой системы координат

∫ a d r = ∫ aρHρ dρ + aϕHϕ dϕ + azHz dz .

(L) (L)

113

u = u0 , то

На заданной линии ρ = R,	z = h , поэтому dρ = 0, dz = 0, a			H	ϕ	= −ρ2 z ρ = −R3 h ,
			ϕ
∫ a d r			2π
		= ∫ aϕHϕ dϕ = −R3 h ∫ dϕ = −2π R3 h .
(L)		(L)	0

Поток в ортогональных координатах

Поток поля a через ориентированную поверхность (σ ) вычисляется по фор( муле Πσ = ∫ (a,n)dσ , где n − единичный нормальный вектор к поверхности (σ ).

(σ)

Рассмотрим случай, когда (σ )

есть часть координатной поверхности w = w0 .

Тогда ее параметрическое уравнение r = r (u,v,w

),

(u,v) (S) и по формулам (10.6)

0

Πσ = ± ∫∫ a

(ru′× rv′)

du dv ;

(S)

w=w

0

здесь берется знак (+) , если r ′× r ′ ↑↑ n, и знак

(−)

, если

r ′× r

′ ↑↓ n .

u

v

u

v

Заменим в подынтегральном выражении

r ′

=

r ′

e

= H

e ,

r ′

= H

v

e

и учтем,

u

u

u

u u

v

v

что в ортонормированном базисе

e × e

= e

и

a e

= a

w

. Тогда

u

v

w

w

a (ru′× rv′)= a (Hu eu × Hv ev) = (a ew)HuHv = awHuHv ,

Πσ = ± ∫∫

(aw Hu Hv)w=w du dv

;

(15.10)

(S)

0

здесь берется знак (+), если n ↑↑ ew , знак (−) , если n ↑↓ ew . Формула (15.10) полу( чена для вычисления потока через часть координатной поверхности w = w0 .

Аналогично, если (σ ) есть часть координатной поверхности

	Πσ = ± ∫∫ (au Hv Hw)u=u0 dv dw			;		(15.11)
	(S)
здесь берется знак (+), если n ↑↑ eu , знак (−), если n ↑↓ eu .					z	l z
Пример 15.4. Найти поток поля a = ρ eρ − cosϕ eϕ + z ez , заданного в
						n	3
цилиндрической системе координат, через внешнюю сторону за(						3
мкнутой поверхности (σ ), образованной поверхностями x2 + y2 = 4,							n1
z = 0, z = 3 (рис. 81).								lρ
Решение. Поверхность (σ ) состоит из поверхности цилиндра (σ1) с
					0
уравнением x2 + y2 = 4 или ρ = 2 , из нижнего основания (σ		2	) с урав(				y
					x
нением z = 0 и верхнего основания (σ3) с уравнением z = 3 . Эти три						n2
поверхности являются координатными поверхностями цилиндриче(						Рис. 81
ской системы координат, поэтому по формуле (15.10) получим:

114

		= ± ∫∫ (aρ Hz Hϕ )		ρ=2 dz dϕ = +∫∫ (ρ ρ )	3	2π
Πσ1					ρ=2 dz dϕ = 4 ∫dz ∫ dϕ = 24π ,
		(S)		(S)	0	0
		Πσ2	= ± ∫∫ (az Hρ Hϕ )z=0 dρ dϕ = −∫∫ (z ρ )z=0 dρ dϕ = 0,
			(S)	(S )
					2	2π
Πσ3	= ± ∫∫ (az Hρ Hϕ )z=3 dρ dϕ = +∫∫ (z ρ )z=3 dρ dϕ = 3∫ρ dρ ∫ dϕ =12π ;
		(S)		(S)	0	0

вформуле для Πσ1 перед интегралом выбран знак (+) , так как вектор eρ есть каса( тельный вектор к координатной линии lρ , направленный в сторону возрастания ρ , и

вту же сторону направлен вектор n1 нормали к внешней стороне цилиндра (рис. 81);

вформуле для Πσ2 перед интегралом выбран знак (−) , так как вектор ez есть ка( сательный вектор к координатной линии lz , направленный в сторону возрастания z , а вектор n2 нормали к нижнему основанию направлен в противоположную сторону;

вформуле для Πσ3 перед интегралом выбран знак (+) , так как вектор ez направ( лен в сторону возрастания z , и вектор n3 нормали к верхнему основанию направлен

вту же сторону.

Таким образом, Πσ = Πσ1 + Πσ2 + Πσ3 = 24π + 0 +12π = 36π.

Пример 15.5. Найти поток поля a = r er + r sinθ eθ + rϕ sinθ eϕ , заданного в сфериче(

ской системе координат, через внешнюю поверхность конуса z =

x2 + y2 , ограни(

ченного плоскостью z =1.

Решение. Поверхность конуса есть часть координатной поверхности θ =

π

(рис. 82),

4

поэтому по формуле (15.10)

Πσ = ± ∫∫ (aθ Hr Hϕ )θ =

π

dr dϕ = + ∫∫

(rsinθ r sinθ )θ =

π

dr dϕ = 12 ∫∫ r2 dr dϕ ;

4

(S)

(S)

4

(S)

перед интегралом выбран знак (+), так как вектор eθ есть каса(

z

тельный вектор к координатной линии lθ

(к меридиану сферы),

1

A

направленный в сторону возрастания θ , и в ту же сторону направ(

лен вектор n нормали к внешней стороне конуса.

θ

n

На поверхности конуса

r меняется от r = 0

(в точке O ) до

O

y

r = 2 ( в точке A), ϕ меняется от 0 до 2π ; поэтому

x

2π

2

2

2

Πσ = 12 ∫∫ r2 dr dϕ = 12 ∫ dϕ ∫ r2dr =

π .

Рис. 82

3

(S)

0

0

Дивергенция в ортогональных координатах

Воспользуемся инвариантным определением дивергенции (10.12):

(diva)

=

lim

Π σ

;

P0

(V)→P

V

0

здесь (V )− любое тело, содержащее точку P0 , (σ )− граница тела (V ).

115

В частности, за (σ ) удобно взять поверхность, состоящую из координатных по(

верхностей u = u0 , u = u0 + u, v = v0 , v = v0 + v, w = w0 , w = w0 +

На поверхности (σ1) : u = u0 , n1 = −eu ; на поверхности (σ1/ ): u = u0 + du, n1/ = + eu , поэтому по формуле (15.11)

Πσ1 = − ∫∫ (au

Hv Hw)u=u

dv dw,

(

)

0

S

ev

Πσ1/ = + ∫∫ (au Hv Hw)u=u0+du dvdw,

(S)

Π + Π

/ =

∫∫

(a H

v

H

)

u=u +du

− (a H

v

H

)

u=u

dvdw .

σ1

σ

u

w

u

w

1

(S)

0

0

w	(рис. 83).
		eu
		P1
	P	(σ1/ )
	0
	•	ew
	(σ1)
P2		P
		3

Рис. 83

Применим формулу Тейлора первого порядка и теорему о среднем:

σ1

σ

∫∫

∂

u

v

w

u=u

∂

u

v

w

P

Π

+ Π

/

=

∂u

(a H

H

)

+ o(du) dv dw =

∂u

(a H

H

)

dudv dw+ o(dudv dw).

1

(S)

0

0

Аналогично, для поверхности (σ2), где v = v0 , и для поверхности (σ2/ ), где v = v0 + dv ,

Πσ2 + Πσ2/ = ∂∂v (av Hu Hw)P0 dudv dw+ o(dudvdw);

для поверхности (σ3), где w = w0 , и для поверхности (σ3/ ), где w = w0 + dw,

Πσ3 + Πσ3/ = ∂∂w (aw Hu Hv )P0 dudvdw + o(dudvdw).

Складывая эти потоки, получим поток через замкнутую поверхность (σ ):

Π

=

∂

(a H

H

)+

∂

(a H

H

) +

∂

(a

H

H

)

dudv dw + o(dudv dw).

∂v

σ

∂u u

v

w

v

u

w

∂w

w

u

v P

0

Теперь вычислим объем V тела (рис. 83): в п. 7.4 было показано, что

= r ′ du

= r ′ dw+ o(dw).

PP

+ o(du), PP

= r ′ dv + o(dv), PP

1

u

2

v

3

w

В ортонормированном базисе эти векторы ортогональны и потому с точностью до o(dudvdw) получим

V ≈

=

′

′

du dv dw = H

du dv dw .

PP

PP

PP

r

r

r ′

u

H

v

H

w

1

2

3

u

v

w

Тогда

∂

(a H

H

)+

∂

(a H

H

) +

∂

(a

H

H

)

dudvdw+ o(dudv dw)

Πσ

=

∂u

u

v

w

∂v

v

u

w

∂w

w

u

v

P0

.

Hu Hv Hw du dvdw+ o(dudv dw)

V

Переходя в этом равенстве к пределу, получим

diva =

1

∂

(a H

H

)+

∂

(a H

H

) +

∂

(a

H

H

)

.

(15.12)

H

H

H

u

v

w

∂u

u

v

w

∂v

v

u

w

∂w

w

u

v

В частности, в цилиндрических координатах

diva =

1

∂

(ρ aρ

)+

∂

(aϕ ) +

∂

(ρ az )

,

(15.13)

ρ

∂ϕ

∂z

∂ρ

в сферических координатах

116

diva =

1

∂

(r2ar )+

1

∂

(sinθaθ ) +

1

∂

(aϕ )

.

r2

∂r

r sinθ

∂θ

r sinθ

∂ϕ

Пример 15.6. Найти поток поля a = ρ eρ − cosϕ eϕ + z ez , заданного в цилиндриче( ской системе координат, через внешнюю сторону замкнутой поверхности (σ ), обра(

зованной поверхностями

x2 + y2 = 4, z = 0,

z = 3 (рис. 81).

Решение. Поверхность (σ ) ─ замкнутая, поэтому можно воспользоваться форму(

лой Остроградского

= (a,n)dσ=

diva dV .

Πσ

∫

∫

(σ)

(V)

Вычислим дивергенцию по формуле (15.13)

diva =

1

∂

(ρ aρ )+

∂

(aϕ ) +

∂

(ρ az )

=

1

∂

(ρ2)+

∂

(

−cosϕ ) +

∂

(ρ z)

=

1

(3ρ + sinϕ ).

∂ρ

∂ϕ

∂z

ρ

∂ρ

∂ϕ

∂z

ρ

ρ

Учитывая, что в цилиндрической системе координат dV = ρ dρ dϕ dz , получим

3

2π

2

2π

Πσ = ∫ div a dV = ∫∫ (3ρ + sinϕ )dρ dϕ ∫dz = 3 ∫ dϕ ∫(3ρ + sinϕ )dρ = 3 ∫ (6 + 2sinϕ )dϕ = 36π .

(V)

(S)

0

0

0

0

Сравните с вычислением этого потока в примере 15.3 без формулы Остроградского.

Ротор в ортогональных координатах

Воспользовавшись инвариантным определением ротора, можно получить выражение для ротора в ортогональной криволинейной системе координат, аналогично тому, как это было сделано для дивергенции:

eu

ev

ew

Hv Hw Hu Hw Hu Hv

=

∂

∂

∂

.

rot a

∂u

∂v

∂w

au Hu

av Hv

aw Hw

В частности, в цилиндрических и, соответственно, в сферических координатах

er

eθ

eϕ

1

e

e

1

e

r2 sinθ

r sinθ

ρ

ρ

ϕ

ρ

z

r

rot a =

∂

∂

∂

,

rot a =

∂

∂

∂

.

∂ρ

∂ϕ

∂z

∂r

∂θ

∂ϕ

aρ

ρ aϕ

az

ar

aθ r

aϕ r sinθ

Оператор Лапласа в ортогональных координатах

Оператор Лапласа есть оператор вида f = div(grad f ), поэтому для его за( писи следует воспользоваться формулами (15.12) и (15.5). Тогда

f =

1

∂

Hv

Hw ∂ f

+

∂

Hu

Hw ∂ f

+

∂

Hu Hv ∂ f

.

Hu

Hv

Hw

Hw

∂u

Hu ∂u

∂v

Hv ∂v

∂w

∂w

117

В частности, в цилиндрических координатах

1

∂

∂f

∂

1 ∂f

∂

∂f

1 ∂

∂f

1 ∂2 f

∂2 f

f =

ρ

+

+

ρ

=

ρ

+

+

,

ρ

∂ρ

∂ϕ

ρ ∂ρ

ρ2

∂ϕ2

∂z2

∂ρ

ρ ∂ϕ

∂z

∂z

∂ρ

в сферических координатах

1

∂

2

∂f

1

∂

∂f

1

∂2 f

f

=

r

+

sinθ

∂θ

+

.

(15.14)

r2

∂r

2 sinθ

2 sin2θ

∂ϕ2

∂r

r

∂θ

r

Пример 15.7. Найти все решения уравнения Лапласа f

= 0, зависящие только от r .

Решение. Так как f

зависит только от r

и не зависит от θ и ϕ , то используя форму(

лу (15.14), получим: f

=

1

∂

2

∂f

= 0 . Отсюда

r

∂r

r2

∂r

r

2

∂f

= C ,

∂f

=

C

, f (r) =

C1

+ C

,

∂r

∂r

r2

r

2

где C1, C2 − произвольные постоянные.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Краснов М.Л. Вся высшая математика /М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Ма( каренко. М.: Эдиториал УРСС, 2004. Т.4. 352 с.

2.Бермант А.Ф. Курс математического анализа /А.Ф. Бермант, И.Г. Арамано( вич. СПб.: Издательство «Лань», 2005. 736 с.

3.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике /Д.Т. Письменный. М.: Айрис(пресс, 2003. Ч.1. 288 с.

4.Никольский С.М. Курс математического анализа /С.М. Никольский. М.: Физ( матлит, 2001. 592 с.

5.Бронштейн И. Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся вту( зов /И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. М.: Наука, 1980. 946 с.

6.Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа /Г.Н. Берман. М.: Наука, 2002. 443 с.

7.Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов / под ред. Б.П. Демидовича. М.: «Изд(во Астрель», 2003. 495 с.

118

Учебное издание

Минькова Ревекка Максовна

Дифференциальное и интегральное исчисление функции нескольких переменных

Редактор Н.П. Кубыщенко

Компьютерная верстка Р.М. Миньковой

ИД № 06263 от 12. 11. 2001

Подписано в печать 24. 01. 07			Формат 60 84 1/16
Бумага типографская		Офсетная печать	Усл. печ. л. 6,92
Уч.(изд. л. 5,5	Тираж	Заказ	Цена ″С″

Редакционно(издательский отдел ГОУ ВПО УГТУ(УПИ 620002, Екатеринбург, Мира, 19

Ризография НИЧ ГОУ ВПО УГТУ(УПИ 620002, Екатеринбург, Мира, 19

119