Matan__teoria

		n
	Ix′ = 2	∑ mi (x − ai )= 0,
		i=1
		n
		∑ mi (y − bi )= 0.
	Iy′ = 2
		i=1

				n			n
	Получим критическую точку	xc =	1	∑ mi ai ,	yc =	1	∑ mi bi , где
			m			m
				i=1			i=1

Для исследования этой точки на экстремум вычислим величины

n

m = ∑ mi .

i=1

n			n
A11 = I′′xx = 2∑ mi = 2m, A12 = I′′xy = 0, A22 = I′′yy = 2∑ mi = 2m,
i=1			i=1
n		A11 A12
1 = A11 = 2∑ mi = 2m, 2 =			= A11 A22 − A122 = 4m2.
i=1		A12 A22

Так как 1 > 0, 2 > 0, то критическая точка (xc , yc ) является точкой минимума.

5.2. Глобальный экстремум функции

Требуется найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции не в окрестности точки (локальный экстремум), а в некоторой ограни( ченной замкнутой области (глобальный экстремум). Наибольшее (наименьшее) значение функции в такой области может достигаться либо внутри области в точках локального экстремума (а значит, в критических точках), либо на грани( це области.

Поэтому получаем следующий алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений функции z = f (M) в области D :

1) найти критические точки функции f (M) , принадлежащие области D , и вычислить значения функции в этих точках;

2)найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе области;

3)из всех полученных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее значения.

Пример 5.3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x y + y2 в круге x2 + y2 ≤ 4.

Решение. 1). Найдем критические точки функции в круге:	z′		= y = 0,
		x	= x + 2y = 0.
		z′
		y

Критическая точка M0(0,0) лежит в заданном круге и z0 = z (0,0) = 0 .

2). На границе области x2 + y2 = 4 или x = 2cost, y = 2sint (0 ≤ t ≤ 2π ), и поэтому функция z примет вид: z = 4sint cost + 4sin2 t = 2sin 2t + 2(1− cos2t). Найдем крити( ческие точки получившейся функции:

z′t = 4cos2t + 4sin 2t = 0 t g 2t = −1 t1 = 3π /8, t2 = 7π /8.

31

пересечением двух поверхностей.

или на линии

на поверхности с уравнением

F(x, y, z) = 0

f (x, y,z)

В критических точках имеем значения функции z1 = 2 + 2

2 , z2 = 2

− 2

2

, на

концах отрезка [0, 2π ] значение функции z = 0.

3). Из получившихся значений функции z = 0 , z = 2 + 2 2 ,

z = 2 − 2 2

≈ −0.8

вы(

берем наибольшее значение z = 2 + 2 2 и наименьшее значение z = 2 − 2

2 .

5.3. Условный экстремум функции

Выше рассматривалась задача об экстремуме функции нескольких пере( менных, при этом на независимые переменные не накладывалось никаких огра( ничений. На практике часто приходится иметь дело с экстремумом функции нескольких переменных, когда эти переменные связаны некоторыми условиями

– уравнениями связи. Например, требуется найти экстремум функции

F(x, y, z)=0,

G(x, y, z)=0, заданной

Общая постановка задачи

Исследовать функцию f (M ) = f (x1, x2 ,..., xn) на экстремум при наличии урав( нений связи

F		(x , x ,..., x ) = 0,
	1	1 2	n	(k < n).
................................					(5.2)
F	k	(x , x ,..., x ) = 0,
		1 2	n
Точку M0 назовем точкой условного минимума (соответственно, максимума)
функции f (M ) при наличии связей (5.2), если				f (M0) < f (M )	(соответственно,

f (M0) > f (M ) ) для всех точек M, принадлежащих некоторой окрестности точ(

ки M0 и удовлетворяющих уравнениям связи (5.2).

Для краткости записи ограничимся случаем экстремума w = f (x, y,u,v) четырех переменных при наличии двух уравнений связи

F (x, y,u,v) = 0,

G(x, y,u,v) = 0.

функции

(5.3)

D(F ,G)

Будем предполагать, что якобиан D(u,v) отличен от нуля. Тогда система двух уравнений (5.3) теоретически определяет две функции u, v от аргументов x, y:

u= u(x, y), v = v(x, y).

Взависимости от того, можно ли практически выразить u, v из системы уравнений (5.3), различают два метода отыскания условного экстремума.

Сведение к безусловному экстремуму

Предположим, что из уравнений связи легко выразить переменные u, v че( рез две другие переменные x , y : u = u(x, y), v = v(x, y). Подставим найденные

32

u, v в функцию w. Получим w = f (x, y,u (x, y),v(x, y)) = g (x, y) − функцию двух пе( ременных. Так как связи между переменными x , y , u, v уже учтены, то остает( ся найти безусловный экстремум полученной функции g (x, y) .

Пример 5.4. Найти экстремум функции w = x2 + y2 + z2 , если x , y , z удовлетво( ряют уравнениям связи x + y − 3z + 7 = 0, x − y + z − 3 = 0.

Решение. Из двух уравнений связи выразим две переменные y = 2x −1, z = x + 2 и подставим в функцию w. Получим w = x2 + (2x −1)2 + (x + 2)2 . Исследуем получен( ную функцию одной переменной на экстремум:

	w ′ = 2 x + 4 (2 x −1) + 2(x + 2) =12 x = 0 при x = 0 .
	x
Так как w′′	=12 > 0 , то функция w = x2 + (2x −1)2 + (x + 2)2	имеет минимум при x = 0 .
x x
Тогда функция w = x2 + y2 + z2 имеет минимум при		x = 0, y = −1, z = 2 , при этом
wmin = 5 .
	Метод множителей Лагранжа

Этот метод применяется, когда из уравнений связи трудно или невозможно выразить одни переменные через другие.

Пусть точка M0 есть точка условного экстремума функции w = f (x, y,u,v) при наличии двух уравнений связи

F (x, y,u,v) = 0,

G(x, y,u,v) = 0.

D(F ,G)

Если якобиан D(u,v) отличен от нуля, то система двух уравнений связи теорети(

чески определяет две функции u, v от аргументов x, y: u = u(x, y), v = v(x, y). Тогда а) функция w = f (x, y,u (x, y),v(x, y)) = g (x, y) имеет экстремум в точке (x0 , y0) и в силу следствия из теоремы 5.1 в этой точке d f (x, y,u (x, y),v(x, y)) = 0 ;

б) из уравнений связи имеем	F (x, y,u (x, y),v(x, y)) ≡ 0,		d F (x, y,u (x, y),v(x, y)) ≡ 0,
		G(x, y,u (x, y),v(x, y)) ≡ 0,		d G(x, y,u (x, y),v(x, y)) ≡ 0.

Воспользовавшись свойством инвариантности первого дифференциала, запишем:

d f = f ′		dx + f ′	dy + f ′	du + f ′	dv = 0,
	x	y	u	v
d F = F′		dx + F′	dy + F′	du + F′	dv = 0,
	x	y	u	v
d G = G′		dx + G′ dy + G′ du + G′ dv = 0.
	x	y	u	v

Умножим второе уравнение на множитель λ , третье уравнение – на множитель 8 и сложим с первым уравнением:

′	′	′	′	′	′	′	′	′	′	′	′
(fx	+ λ Fx + 8 Gx )dx + (fy + λ Fy + 8 Gy )dy + (fu						+ λ Fu + 8 Gu )du + (fv			+ λ Fv	+ 8 Gv )dv = 0 .
	Введем функцию Лагранжа Ф = f + λ F + 8 G							(λ и 8 называют множителями

Лагранжа) и запишем предыдущее равенство с помощью этой функции:

′	′	′	′	(5.4)
Фx dx +Фy dy +Фu du +Фv dv = 0 .

33

Выберем λ и 8 так, чтобы Фu′ = Ф′v = 0 . Это возможно, так как система уравнений

Ф′		= f	′	+ λ F′		+ 8 G′	= 0,
	u		u	u		u
	′	= f	′	+ λ F	′	′	= 0,
Ф			v			+ 8 G
	v			v		v

имеет единственное решение в силу того, что определитель системы D((F ,G)) ≠ 0 .

D u,v

С учетом равенства Фu′ = Ф′v = 0 соотношение (5.4) примет вид Ф′x dx +Ф′y dy = 0 . Это равенство верно при любых dx и dy ; в частности,

при dy = 0, dx ≠ 0 из равенства Ф′x dx +Ф′y dy = 0 получим Ф′x = 0 , при dx = 0, dy ≠ 0 из равенства Ф′x dx +Ф′y dy = 0 получим Ф′y = 0 .

Итак, в точке экстремума Ф′x = Ф′y = Фu′ = Ф′v = 0 . Для отыскания условного экстремума

F (x, y,u,v) = 0,

функции f (x, y,u,v) при наличии уравнений связи нужно:

G(x, y,u,v) = 0

1)составить вспомогательную функцию Лагранжа Ф следующим образом:

Ф= f (x, y,u,v)+ λ F (x, y,u,v)+ 8 G(x, y,u,v);

2) найти ее критические точки из уравнений Ф	′ = Ф	′ = Ф	′ = Ф ′ = 0 и урав(
x	y	u	v
нений связи F (x, y,u,v) = 0, G(x, y,u,v) = 0 ;

3) исследовать критические точки на экстремум, исходя из геометрических или физических соображений или знака d2Ф .

Аналогично этот метод применяется и для отыскания экстремума функции

	n переменных при наличии k	уравнений связи (k < n).
	Пример 5.5. На поверхности		x2	+ y2 + z2 =1 найти точки, наиболее и наименее
		96

удаленные от плоскости 3x + 4y +12z = 288 .

Решение. Рассмотрим точку M (x, y,z) , лежащую на заданной поверхности. Рас( стояние от точки M до плоскости 3x + 4y +12z = 288 вычисляется по формуле

d =

3x + 4y +12z − 288

=

3x + 4y +12z − 288

.

(5.5)

13

32 + 42 +122

Чтобы исследовать расстояние на экстремум, достаточно исследовать на экс( тремум более простую функцию f (x, y,z) = 3x + 4y +12z − 288, причем надо учесть, что точка M (x, y,z) не произвольная точка пространства, а лежит на заданной поверхности, т.е. ее координаты удовлетворяют уравнению поверхности

x2 + y2 + z2 −1= 0 . Это уравнение есть уравнение связи. Решим задачу, применив

96

метод множителей Лагранжа. Составим функцию Лагранжа

Ф =(3x+4y +12z−288) +λ	x2	+ y2 + z	2 −1 .
96

34

Найдем ее критические точки из системы уравнений

x

′

=3+λ

=0,

Ф

x

48

x = −

3 48 ,

λ

′

= 4+2λy =0,

y = −

2

,

Ф

y

λ

6

′

=12+2λz =0,

z = −

,

λ

z

Ф

x

2

2

2

+ y

+ z

−1= 0.

x2

2

2

+ y

+z

−1

=0,

96

96

Подставим полученные x , y , z в последнее уравнение системы

32 482

+

4

+

36

=1 или

1

(9 24 + 4 + 36) =1 , λ2 = 256 ,

λ = ±16.

48 2λ2

λ2

λ2

λ2

(−9,− 1 ,−

3).

Для λ1 = 16 получим критическую точку M1

8

8

Для λ2 = −16 получим критическую точку M2 (9,

1 ,

3).

8

8

По формуле (5.5) вычислим расстояние от точек M1

и M2

до заданной плоскости:

3 (−9)+4 (−

1)+12 (−

3)−288

3 9+4 1

+12 3−288

d

1

=

8

8

= 24

8

,

d

2

=

8

8

=19

9

.

13

13

13

13

Таким образом, точка M1

наиболее удалена от заданной плоскости, точка M2

наименее удалена от плоскости.

Пример 5.6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f (x, y, z) = x y z , если x2 + y2 + z2 =1, x + y + z = 0.

Решение. Составим функцию Лагранжа

Ф = x y z + λ (x2 + y2 + z2 −1)+ 8 (x + y + z) .

Найдем ее критические точки из системы уравнений

	′
		= y z +2λx
	x
Ф
	′
		= x z +2λ y
	y
Ф
	′
		= x y +2λz
Фz

+ =0,

			2	+ y	2	+ z	2	=1,
+ =0,	и уравнений связи	x
			x + y + z = 0.
+ =0,

Вычитая в первой системе второе уравнение из первого, получим

	(y − x) z + 2λ (x − y) = 0																										или (y − x)( z − 2λ) = 0.
Рассмотрим два случая:
а) если y = x , то из уравнений связи получим систему																																						2	+ z		2	=1, и критиче(
																																			2 x
																																				2 x + z = 0,
	1								1							2																									f (x, y, z) = x y z и
ские точки M1,2 ±				, ±									,									; в силу симметрии функции
	6								6
																	6
уравнений связи аналогично можно получить критические точки
						1									2								1					2				1				1
M3,4			±								,								,			±				,	M5,6				, ±			,	±					;
						6									6								6					6				6
																																						6

б) если z = 2λ , то вычитая в первой системе третье уравнение из первого, получим

35

(z − x) y − 2λ (z − x) = 0 , или (z − x)			= 0		(z − x)( y − z) = 0.
		y − 2λ		, или
		=z
При z = x получим критические точки		M3,4 ; при		y = z	получим критические

точки M5,6 . Функция f (x, y, z) = x y z в полученных точках принимает два значения

f	=	−2		,	f		=		2		.
1	6		6			2		6	6

Уравнения связи определяют линию пересечения сферы x2 + y2 + z2 =1 с центром в начале координат и плоскости x + y + z = 0 , проходящей через начало коорди( нат. Так как линия пересечения есть окружность, т.е. ограниченное замкнутое множество, то на нем непрерывная функция достигает наибольшего и наименьшего значений, причем достигает она эти значения в критических точ( ках.

Поэтому значение f =	−2			− минимальное, а значение f		=	2			− максимальное.
1	6		6		2		6	6

Глава 2. ИНТЕГРАЛЫ ПО ФИГУРЕ

В этой главе будут рассмотрены различные интегралы от функции несколь( ких переменных, а именно, определенные, двойные, тройные, криволинейные, поверхностные интегралы, т.е. интегралы соответственно по отрезку, по плос( кой области, по телу, по дуге, по поверхности.

6. Понятие интеграла по фигуре и его свойства

Для единообразного введения интегралов нам понадобится понятие фигуры

и её меры.

6.1. Фигура и её мера

Объединим общим названием “фигура” – отрезок [a,b], дугу (l) , плоскую область (S) , поверхность (σ ), тело (V) . Отрезок и дугу назовем одномерной фи( гурой, плоскую область и поверхность – двумерной фигурой, тело – трехмер( ной фигурой.

С понятием фигуры связано понятие её меры. Мерой одномерной фигуры назовем её длину, мерой двумерной фигуры назовем её площадь, мерой трех( мерной фигуры назовем её объём. Для фигур (l) , (S) , (σ ) , (V) их меры соответ( ственно обозначим l , S , σ , V . В общем случае фигуру обозначим (Ф) , а её ме( ру – той же буквой Ф , но без скобок.

Для дальнейшего изложения введем понятие диаметра фигуры. Назовем диаметром diam(Ф) фигуры (Ф) наибольшее из расстояний между её точками. Например, диаметр шара радиусом R равен 2R , диаметр куба равен длине его диагонали.

Вдальнейшем будем предполагать, что

1)фигура (Ф) ─ ограничена, т.е. имеет конечный диаметр,

2)фигура (Ф) ─ замкнута, т.е. включает границу.

36

6.2. Задача о вычислении массы фигуры

Пусть (Ф) – произвольная фигура, в каждой точке P которой известна плот(

ность распределения массы γ (P) . Разобьём фигуру (Ф) на
n малых ячеек ( Фk ) (k = 1, 2,…n) . В каждой ячейке ( Фk )
выберем произвольную точку Pk (рис. 13). В силу малости	P1	Pk
ячейки её плотность можно считать постоянной и равной
γ (Pk ). Тогда масса ячейки mk приближенно равна произ(
ведению плотности на меру ячейки, т.е. mk ≈ γ (Pk ) Фk .		Рис. 13
Суммируя массы всех ячеек, получим массу фигуры
n
m ≈ ∑γ (Pk ) Фk .		(6.1)

k=1

Это приближенное равенство будет тем точней, чем меньше диаметры всех ячеек или максимальный из диаметров ячеек d = max diam( Фk ) . Точное значе( ние массы фигуры определяется как предел суммы (6.1) при d → 0

n

m = lim ∑γ (Pk) Фk .

d→0 = k 1

Этот предел называют интегралом от функции γ (P) по фигуре (Ф) и обозначают ∫ γ (P) dФ. К пределам такого типа приводят и другие задачи. Абстрагируясь от

(Ф)

конкретной задачи о массе фигуры, дадим общее понятие интеграла по фигуре.

6.3. Понятие интеграла по фигуре

Пусть на фигуре (Ф) определена скалярная функция f (P) . Так же, как и в задаче о массе фигуры, разобьем фигуру (Ф) на n ячеек ( Фk ) (k = 1, 2,…n) . В

каждой ячейке ( Фk ) выберем произвольную точку Pk . Составим	сумму
n
∑ f (Pk ) Фk . Эту сумму называют интегральной суммой функции f (P)	по фи(
k=1

гуре (Ф) . Найдем предел интегральной суммы при стремлении к нулю d (мак( симального из диаметров ячеек).

Если существует при d → 0 предел интегральной суммы функции f (P) по
фигуре (Ф) , не зависящий от способа разбиения фигуры и выбора точек Pk , то
этот предел называют интегралом функции f (P) по фигуре (Ф) и обозначают
∫ f (P)dФ. При этом функцию f (P)		называют интегрируемой на фигуре (Ф) .
(Ф)
Таким образом, по определению
		n
	∫ f (P)dФ = lim ∑ f (Pk ) Фk .			(6.2)
	(Ф)	d→0 k=1
Естественно возникает вопрос: для каких функций f (P)				существует инте(

грал по фигуре (то есть существует предел интегральных сумм, не зависящий

37

от способа разбиения фигуры на ячейки и от выбора точек Pk ). Ответ на этот вопрос дает следующая теорема, которую приводим без доказательства.

Теорема существования. Пусть функция f (P) непрерывна на фи( гуре (Ф) . Тогда существует интеграл ∫ f (P)dФ.

(Ф)

Интеграл по фигуре может существовать не только для непрерывных функ( ций, но и для кусочно(непрерывных функций. В дальнейшем будем предпола( гать, что интегралы, о которых идет речь, существуют.

6.4.Конкретные виды интегралов по фигуре

Вп. 6.1 мы рассматривали фигуры пяти видов: отрезок, дугу кривой, по( верхность, плоскую область, тело. В соответствии с этим мы получим следую( щие пять видов интегралов по фигуре:

1). Если фигура (Ф) является отрезком [a,b], то интеграл называют опреде%

b

ленным интегралом и обозначают ∫ f (x)dx . По определению (6.2)

a

b

n

∫ f (x)dx = lim ∑ f (xk) xk .

xk

x

0

a

b

a

d→0 k=1

xk

Здесь xk – координаты выбранных точек Pk , xk – меры

Рис.14

ячеек разбиения, т.е. длины частичных отрезков (рис. 14), d

– максимальный из xk .

2). Если фигура (Ф) является дугой кривой (l ), то интеграл по такой фигуре

называют криволинейным интегралом 1%го рода и обозначают

∫ f (P)d l . По определению (6.2)

Pk

(l )

(l )

( lk)

n

∫ f (P)d l = lim ∑ f (Pk) lk .

(l)

d→0 k=1

Рис.15

Здесь lk – меры ячеек, в данном случае длины частичных дуг ( lk); d

– мак(

симальный из diam( lk ) (рис. 15).

3). Если фигура (Ф) является поверхностью (σ ), то интеграл по такой фигуре называют поверх%

ностным	интегралом		1%го рода и обозначают
∫ f (P)dσ . По определению (6.2)
(σ )
			n
		∫ f (P)dσ = lim ∑ f (Pk) σk .
		(σ)	d→0 k=1
Здесь σk	– меры ячеек, в данном случае их площа(
ди; d – максимальный из			diam( σk ) (рис. 16).

z

Pk

(σ )

i

0

y

xРис. 16

38

4). Если фигура (Ф) является плоской областью (S), то интеграл по такой фигуре называют двойным интегралом и обозначают ∫ f (P)dS . По определению (6.2)

	(S)
	n
∫	f (P)dS = lim ∑ f (Pk) Sk .
(S)	d→0 k=1

Здесь Sk – меры ячеек, в данном случае их площади; d – максимальный из diam( Sk ) (рис. 17).

5). Если фигура (Ф) является телом (V) , то интеграл по такой фигуре называют тройным интегралом и обо( значают ∫ f (P)dV . По определению (6.2)

(V)

	n
∫	f (P)dV = lim ∑ f (Pk) Vk .
(V)	d→0 k=1

y

iPk

(s)

0

x

zРис. 17

(V )

Pk

Здесь Vk – меры ячеек, в данном случае их объ(	0	y
ёмы; d – максимальный из diam( Vk ) (рис. 18).	х	Рис.18 6

Рассмотрим еще одну часто употребляемую форму записи двойного инте(

грала. Двойной интеграл – это интеграл по плоской области (S). Пусть эта об(

ласть лежит в плоскости XOY . Так как интеграл не зависит от способа разбие(

ния фигуры на ячейки, то разобьём фигуру на ячейки

y

прямыми, параллельными оси OY , с расстояниями x

между ними и прямыми, параллельными оси OX , с

расстояниями y между ними (рис. 19). Тогда площадь

y

любой ячейки, кроме приграничной, равна S = x y .

Поэтому dS и интеграл записывают в следующем виде:

0

x

x

dS = dx dy ,

Рис.19 7

∫

f (P)dS = ∫∫ f (x, y)dxdy.

(S)

(S)

Аналогичная форма записи принята и для тройного интеграла

∫ f (P)dV =∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz.

(V) (V)

6.5. Свойства интеграла по фигуре

Пусть, как предполагалось ранее, фигура (Ф) ─ ограничена и замкнута, а интегралы, о которых идет речь, существуют.

1. Свойство линейности

∫ (λ f (P)+ 8 g (P))dФ = λ ∫ f (P)dФ + 8 ∫ g (P)dФ ,
(Ф)	(Ф)	(Ф)

где λ и 8 – константы.

39

Это свойство следует из определения интеграла по фигуре и свойств пределов:

			n
∫ (λ f (P)+ 8 g (P))dФ = lim ∑(λ f (Pk )+ 8 g (Pk )) Фk =
(Ф)			d→0 k=1
	n		n	(Pk ) Фk =λ ∫ f (P)dФ + 8 ∫ g (P)dФ .
= λ lim ∑ f (Pk ) Фk			+ 8 lim ∑g
d→0 k=1			d→0 k=1		(Ф)	(Ф)
2. Свойство аддитивности
Пусть фигура (Ф) разбита (рис. 20) на части (Ф1) и (Ф2 ) . Тогда						(Ф	2 )
	∫ f (P)dФ = ∫		f (P)dФ + ∫	f (P)dФ	.
						(Ф1 )
	(Ф)	(Ф1)	(Ф2)

Так как интеграл по фигуре численно равен массе фигуры с

плотностью f (P) , то физический смысл этого свойства сле( Рис.20 дующий: масса всей фигуры (Ф) равна сумме масс её ча( стей (Ф1) и (Ф2 ) .

3. О вычислении меры фигуры

Мера Ф фигуры (Ф) вычисляется по формуле

Ф = ∫ dФ .

(Ф)

Это свойство следует из определения интеграла по фигуре (Ф) от функции f (P) ≡1:

				n
		∫	1 dФ = lim ∑		1 Фk = lim Ф = Ф .
		(Ф)		d→0 k=1	d→0
В частности, из этой формулы мы имеем формулы для отыскания длины l										дуги (l) ,
площади S плоской области (S), площади σ поверхности (σ ), объёма V тела (V) :
		l = ∫ d l ,	S = ∫ dS ,		σ = ∫ dσ , V = ∫ dV .					(6.3)
		(l)		(S)	(σ)	(V)
4. Об интегрировании неравенств
	Если	f (P) ≤ g (P) на фигуре (Ф) , то ∫ f (P)dФ ≤ ∫					g (P)dФ .
					(Ф)	(Ф)
					n	n
Действительно, так как f (P) ≤ g (P) , то					∑ f (Pk ) Фk ≤ ∑g		(Pk ) Фk и поэтому
					k=1	k=1
		n			n
	∫ f (P)dФ = lim ∑ f (Pk ) Фk ≤ lim ∑g (Pk ) Фk = ∫ g (P)dФ .
	(Ф)	d→0 k=1			d→0 k=1	(Ф)
5. Об оценке интеграла
				m Ф ≤ ∫	f (P)dФ ≤ M Ф,					(6.4)
				(Ф)

где m и M − наименьшее и наибольшее значения функции f (P) на фигуре (Ф) . Действительно, так как m ≤ f (P) ≤ M на фигуре (Ф) , то по свойствам 4, 1, 3

40