Алгебра

1 2 1 5

1 5 6 3

2. Вычислите определитель

1 2 3 5

2 4 2 8

а) методом понижения порядка, б) методом приведения к треугольному виду. 3. Используя свойства определителя, докажите тождество:

		2b a	a b	a	a b c d		b	a b a
		2c b	c	b		c b		c		b	.
		d c	d	d c			0	1		1
						0		0	9	0
							0	9	0	0
	4. Найдите матрицу, обратную для матрицы
						9		0	0	0
							0	0	0	9

а) методом Гаусса, б) методом присоединенной матрицы.

5. Решите матричное уравнение XA 2B E , где
	1		1	3				1		3	2
A		2	5	7		,	B		1 2		0
												.
		1	1	2					3	1	4

2		7	1	0
	1	3	2	6
6. Вычислите ранг матрицы					.
2		6	4	12
	3	0	3	2

7. Решите системы:

5x x 2x 9,				x x 5x 2x 4x 1,
	1	2	3	1 2		3	4	5
а) 2x1	3x2 x3 7,			б) x1 x2 5x3 x4 7x5				3,
x		x x 0.		x 2x	2	x x 2x		2.
1		2	3	1		3 4	5

91

Вариант 25

		3
1 0	0

		1													2			3 1	T		5		1				1
										3														2
1. Вычислите: а)		0											; б)		3	4	0 2					2	0			1	2	.
		2							2													1	3
		3							1
		0
		2								2			2	3	1		0
2. Вычислите определитель													4	7	0		0
													8	2	1		0
													5	7	0		1

а) методом понижения порядка, б) методом приведения к треугольному виду. 3. Используя свойства определителя, докажите тождество:

					b2	b 1				b 1 2		c 1 2		d 1 2
					c2	c	1			b		c		d				.
					d 2	d	1			1		1		1
														0		3	0		0
																0	0
4. Найдите матрицу, обратную для матрицы														1					0
														0		0	3		0
																0	0
														0					3
а) методом Гаусса, б) методом присоединенной матрицы.
5. Решите матричное уравнение AXB 2BC 3D , где
		A	2	1			3			1		C	1	0		D		5	1
					,	B					,			,					1	.
			0	1			1 0						0	2				2
							1			4	1
6. Вычислите ранг матрицы 0										1	1 .
							3			12 3
										1
							2				1
7. Решите системы:
5x		2x	x	3,						x x 3x 2x						4x 3,
	1	2	3								1	2	3		4		5
а) x1	3x2 x3 6,									б) 2x1 2x2 5x3 x4 7x5 7,
3x		x 0.									x	x	x	8x		2x			2.
	1	2									1	2	3	4			5

92

6. ПРИМЕР ВАРИАНТА КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Вариант 0 (образец)

2		1	1		,	2		1	0
1. Вычислите 3A 2B , если A	0	1	4			B	3	2	2	.

ОТВЕТ:							2	5	3
	3A 2B							7	.
							6		8
									2	1	1			3		1
2. Найдите		C				AB						,	B		2	1
							, если A										.
									3	0	1				1	0

ОТВЕТ: -3.

											1	1	1		1
3.	Найдите матрицу, обратную для матрицы A 1											1	1	1 .
											1	1	1	1
												1	1	1
											1
	14	14		14		14				1 1 1			1
	14	14	14			14		1		1 1		1	1	1
	ОТВЕТ: A 1	14		14							1 1					A.
	14					14		4 1					1	4
		14	14								1	1
	14					14				1			1
				1		1	1
4.	Найдите ранг матрицы A				2	2	2
								.
					1	1
							1

ОТВЕТ: Ранг матрицы r(A) 2 .

	x1 4x2 2x3 0,
5. Найдите общее решение системы			3x2	x3	5x4	0,.
	2x1
	3x 7x			x 5x 0.
		1	2	3	4

				19		c			3		c			1		c
			8			1	8					2	2				3
			7					25							1
	X c1,c2 ,c3				c						c						c
ОТВЕТ:			8			1	8					2	2				3	.
									c1
									c2
									c3

93

7. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МАТРИЦЫ

Определители второго и третьего порядка

a		a		называется матрицей второго
Квадратная таблица чисел вида A	11	12
	a	a
	21	22

порядка.

Определителем квадратной матрицы A второго порядка называется число, рав-

ное det A

a11

a12

a

a

a

21

a .

a21

11

22

12

22

a11

a12

a13

Квадратная таблица чисел вида

A

a22

a23

называется матрицей

a21

a32

a33

a31

третьего порядка.

Определителем квадратной матрицы А третьего порядка называется число, равное

			a11	a12	a13
det A	A		a21	a22	a23
			a31	a32	a33

a11a22 a33 a12 a23 a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .

Правило треугольников:

Знаки (+) и (–) соответствуют знакам определенных слагаемых, входящих в определитель. Число всех элементов определителя 3-го порядка равно 3 3 = 9.

Свойства определителей

1 ) . Определитель квадратной матрицы А не меняется при транспонировании:

AT A .

2). При перестановке местами любых двух строк (столбцов) определитель |A| меняет знак. Например

a11	a12	a13		a21	a22	a23
a21	a22	a23		a11	a12	a13	.
a31	a32	a33		a31	a32	a33

3 ) . Определитель, содержащий две одинаковые строки (столбца), равен нулю. 4). Умножение всех элементов некоторой строки (столбца) определителя |A| на

94

число k равносильно умножению определителя на это число. Например

k a11	a12	a13		a11	a12	a13
k a2 1	a2 2	a 23	k	a 21	a 22	a23	, k co nst .
k a31	a32	a33		a31	a32	a33

5). Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя |A| равны нулю, то и сам определитель равен нулю

a11	a12	a13
0	0	0	0 .
a31	a32	a33

6). Если все элементы двух строк (столбцов) определителя |A| пропорциональны, то определитель равен нулю.

7). Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то такой определитель можно представить в виде суммы двух определителей. Например

a/

a//

a/

a//

a/

a//

a/

a/

a/

a//

a//

a//

11

11

12

12

13

13

11

12

13

11

12

13

a21

a22

a23

a21

a22

a23

a21

a22

a23

.

a31

a32

a33

a31

a32

a33

a31

a32

a33

8 ) . Если к элементам какой-нибудь строки (столбца) определителя |A| прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольный множитель k, то величина определителя не изменится. Например

a11 k a21	a12 k a22	a13 k a23		a11	a12	a13
a21	a22	a23		a21	a22	a23	.
a31	a32	a33		a31	a32	a33

9). Определитель |A| численно равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения (определены ниже):

		a11	a12	a13
A		a21	a22	a23		ai1 Ai1 ai2Ai2 ai3Ai3, i 1, 2,3
		a31	a32	a33		.

10). Определитель произведения матриц А и В (определено ниже) равен произведению их определителей:

A B A B

Определители n–го порядка

Число всех слагаемых в определителе n -го порядка равно n n n 1 n 2 3 2 1.

Минором Мij элемента аij ( иначе – дополнительный минор элемента аij) определителя n-го порядка называется определитель (n–1) порядка, полученный из исходного вычеркиванием i–й строки и j–го столбца, на пересечении которых

95

стоит элемент aij.

.

Алгебраическим дополнением Аij элемента аij называется его минор со знаком (-1)i+j, где i – номер строки, а j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент aij, Aij ( 1)i j Mij .

Для определителей n -го порядка имеют место все перечисленные выше свойства определителей.

Методы вычисления определителей n–го порядка

Метод понижения порядка (разложение определителя по элементам строки или столбца)

Определитель n-го порядка |A| численно равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Метод сведения к треугольному виду

Используя свойства 1) – 9), определитель преобразуют к виду, когда элементы, лежащие по одну сторону от главной диагонали, становятся равными нулю. Преобразованный таким образом определитель равен произведению элементов, лежащих на главной диагонали.

Матрицы. Виды матриц

Матрицей размерности m n называется прямоугольная таблица чисел aij :

																a11			a12	...		a1n
																a			a	...		a
						A		a					(a )	m,n				21	22			2n		,
								ij				m,n	ij				...		...	...		...
																			am2	...
Частные виды матриц																am1						amn
																7
A 2			1	7,3 - матрица-строка, B
																3,5 - матрица-столбец,
																0
	0		0	0													6		0	0
O		0	0	0		- квадратная нулевая,									C			0	2	0		- квадратная диагональ-
		0	0 0															0
																			0 11

	1		0	0				4		1	2
ная, E		0	1	0		- единичная,	D		0	7	5		- верхняя треугольная,
		0	0	1					0	0	1

96

	4		0	0
F		1	7	0		- нижняя треугольная.
		2	3	1

, - главная и побочная диагонали.

Операции над матрицами

Транспонирование. Если матрица A имеет размерность m n , транспони-

рованная матрица AT B имеет размерность n m и элементы транспониро-

ванной матрицы вычисляются по формуле aT								b		a			ji	. Например,
							ij	ij
1	2	3					1		4
				- исходная матрица,	T			2	5			- транспонированная.
A	5	6			A
4								3	6

Равенство. Если A и B матрицы одинаковой размерности, то A B aij bij .

Сумма. C A B cij aij bij ; A B B A (слагаемые одной размерности).

Умножение на число. B A bij aij ;

( )A ( A) , (A B) A B , 0 A O; 1 A A.

Умножение матриц. Произведением матрицы A (ail ) размерности		m n
на матрицу B (blj )	размерности n k называется матрица C cij	A B
размерности m k , элементы которой вычисляются по формуле
n
cij aip bpj	ai1 b1 j ai2 b2 j ... aik bkj , i 1,...,m , j 1,...,k .
p 1

Иначе: элемент, стоящий на пересечении i –й строки и j –го столбца матрицы произведения cij , равен сумме произведений элементов i –й строки матрицы А

на соответствующие элементы j –го столбца матрицы В.

97

Число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

В общем случае A B B A ; если A B B A, то матрицы перестановочные (коммутирующие).

Свойства:

1)A B C A B C .

2)A B C A C B C .

3)A B C A B A C .

4)A E E A A.

5)A O O A O .

6)A B T BT AT .

(Свойства 4) и 5) справедливы только для квадратной матрицы А).

Обратная матрица

Квадратная матрица A n –го порядка называется вырожденной, если определитель этой матрицы равен нулю, A 0 , и невырожденной, если A 0 .

Матрица А-1 называется обратной матрицей для некоторой квадратной матрицы А, если выполняется соотношение: A A 1 A 1 A E .

Если матрица A не вырождена, то существует, и притом единственная, обрат-

	ная матрица A 1, равная A 1	1	AV T , где AV	Aij - присоединенная мат-
		det A

рица (матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов исходной матрицы, стоящих на тех же местах).

Свойства обратной матрицы:

1) A 1 1 A .

2 A 1 1 A 1 .

3A B 1 B 1 A 1 .

4A 1 T AT 1 .

Алгоритм нахождения обратной матрицы с помощью присоединенной матрицы:

1.Находим det A , проверяем det A 0 .

2.Находим Mij - все миноры матрицы A .

3.Определяем Aij ( 1)i j Mij .

4.Строим матрицу алгебраических дополнений AV Aij и транспонируем:

98

AV T Aji .

5.Делим каждый элемент матрицы на det A : A 1 det1 A AV T .

К элементарным преобразованиям строк (столбцов) матрицы относятся следующие:

перестановка строк (столбцов);

умножение строки (столбца) на число 0;

прибавление к элементам строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на некоторое число;

Алгоритм нахождения обратной матрицы с помощью элементарных преобразований строк

Для данной матрицы A n -го порядка строим прямоугольную матрицу

A A E размера n 2n , приписывая к A справа единичную матрицу. Да-

лее, используя элементарные преобразования строк, приводим матрицу A к

виду E B , что всегда возможно, если матрица невырождена. Тогда B A 1 .

Решение матричных уравнений

Равенство, содержащее неизвестную матрицу X и известные матрицы A, B, C,…, называется матричным уравнением относительно матрицы X, например, A X B .

Простейшие типы матричных уравнений:

1.

A X B . Матрица A – квадратная и невырожденная,

A

0, следователь-

но, существует обратная матрица A 1.

Умножим уравнение на A 1

слева: A 1 A X A 1B, E X A 1B , X A 1B .

2.

X A B . Матрица A – квадратная,

A

0.

Умножим уравнение на A 1

справа:

X AA 1

B A 1

X B A 1 .

3.

A X B C . Матрицы A и

B – квадратные,

A

0,

B

0.

Умножим уравнение на A 1

слева: A 1 A X B A 1C X B A 1C .

Умножим уравнение на B 1

справа:

X B B 1 A 1C B 1 X A 1 C B 1 .

Ранг матрицы

Пусть в матрице A размерности m n выбраны k строк и k столбцов,

причем k min m,n . Тогда элементы, стоящие на пересечении выбранных

строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k -го порядка. Определитель Mk этой матрицы называется минором k -го порядка матрицы A.

Рангом матрицы A называется число, равное максимальному порядку r отличных от нуля миноров Mk этой матрицы:

r r A rang A.

Матрицы одинаковой размерности называются эквивалентными, что обозна-

99

чается A B , если r A r B .

Ранг матрицы A вычисляется методом окаймляющих миноров или методом элементарных преобразований.

Метод окаймляющих миноров

Пусть в матрице A элемент aij 0, тогда M1 0 и rangA 1. Окаймляем этот элемент элементами соседнего столбца и соседней строки (например,j 1 -го столбца и i 1 -й строки), получаем минор 2-го порядка:

M2	ai, j	ai, j 1	.
	ai 1, j	ai 1, j 1

Если M2 0 , то присоединяем другие строки и столбцы, перебирая все возможные миноры 2-го порядка. Если все миноры второго порядка равны нулю, то rangA 1; если же существует хотя бы один минор 2-го порядка, отличный от нуля, то rangA 2 .

Выбираем отличный от нуля минор 2-го порядка M2 и окаймляем его элементами соседних строк и столбцов до минора 3-го порядка и так до тех пор, пока не будет выполнено условие: Mr 0 , но все Mr 1 0. Тогда rangA r .

Метод элементарных преобразований

Элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга.

Кэлементарным преобразованиям матрицы относятся следующие:

перестановка строк (столбцов);

умножение строки (столбца) на число 0;

прибавление к элементам строки (столбца) матрицы элементов другой строки, умноженных на некоторое число;

Кроме того, ранг матрицы не меняется при транспонировании матрицы и при отбрасывании нулевой строки (столбца) .

Для определения ранга матрицы A методом элементарных преобразований следует:

1.Переставить строки и столбцы так, чтобы в верхнем левом углу матрицы был ненулевой элемент.

2.Все элементы первого столбца, кроме a11 , обратить в ноль с помощью

элементарных преобразований строк:

	a11	...	a1n			a11		...	a1n
A		...	...				0	...	...
	...									.
		...					0	...
	am1		amn						amn

3.Переставить строки со 2–й по m и столбцы со 2–го по n так, чтобы a22 0. Повторить операцию 2) со вторым столбцом: во втором столбце

100