Алгебра

	Тогда										1			0					0 2
																						0 0
	X D		1			1
														3 2							0	2 0
			C						0									1 2
																					0	0 2
											0 1 2								3 2				.
	2			0							0
				3
	0									1
				1
	0											3
																				1	1	1
	Найдите ранг матрицы																				2
																		A 2				2 .
																					1
																				1		1
	РЕШЕНИЕ: есть миноры первого порядка, отлич-
	ные от нуля, например, M1 1; есть миноры второ-
	го порядка, отличные от нуля, например,
23	M2		2				2				2 2 4 0 ; единственный минор													2
			1				1
	третьего порядка – определитель матрицы равен
										1				1			1
	нулю, M3									2				2			2	0 . Ранг матрицы

1 1 1

	r(A) 2 .
										1				1	1	1	1
														3	6	6
										3							9
	Вычислите ранг матрицы											1		1	4	4	9
																		.
												1		1	8	8	27
	РЕШЕНИЕ:
	1			1	1	1	1
24			3 6			6												4
	3						9
		1 1 4 4					9		2			3 1 2
		1		1	8	8	27
		1		1	1	1	1
		0		6 3		9	6						2	2
			1 1 4 4				9
												3
			1	1	8	8	27

41

	1		1	1	1	1
			2	1	3
	0					2			3 1					3
		1 1		4 4		9
		1	1	8	8	27
	1		1	1	1	1
			2	1	3
	0					2			4 1 4
		0 0 3 3				8
		1	1	8	8
						27
	1		1	1	1	1
			2	1	3
	0					2
		0	0	3	3	8				4		2			4
		0	2	7	9	26
	1		1	1	1	1
			2	1	3
	0					2					2
		0	0	3	3	8				4			3		4
		0	0	6	6	24
	1		1	1	1	1
			2	1	3
	0					2
		0	0	3	3	8
							.
		0	0	0	12	8

В левом верхнем углу матрицы стоит определитель треугольного вида, который равен произведению элементов, стоящих на его главной диагонали 72 0 , значит, ранг матрицы равен четырем.

	3.4. Системы линейных уравнений
№	Задание	Ответ
п/п
	Решите систему линейных уравнений матричным
	2x 11y 2,
	методом
	x 2 y 1.	1
25
	РЕШЕНИЕ:
			0

2	11		x
				1			2
		,				,			,
A			X				B
1	2		x2				1

42

																								11		1
			2 11				1			0		1		11			1		0			1			2			2	0
															2			2
A	E
			1		2		0			1				2			0						0	15			1
												1							1										1
																									2			2
		11			1										0		2		11
	1					2				0			1
			2														15				15
																							.
				1						2					1		1				2
													0
	0		1
					15					15						15						15
			2			11
1			15									1		2	11				1
								15
																						A .
A
								2				15 1			2				15
		1							15
			15
			1						1
				B
X A
										0

3x 5y 5,

Решите систему

6x 10 y 7.

РЕШЕНИЕ:

26 A		3	5	5		,				3	5		0 ,	1		5	5	0	несовместна
		B
		6	10	7						6	10					7	10
		rang	A 1,			rang A			B 2 ,

по теореме Кронекера–Капелли система несовместна.

Решите систему линейных уравнений

x 2y 4z 31,

5x y 2z 29,

3x y z 10

и ответьте на вопросы об этой системе.

РЕШЕНИЕ:
																									3
27		1			2	4									31			2	4
																									4
		5 1				2	27 0 ,			x					29			1 2				81,			5
		3			1	1									10			1 1
				1	31	4								1				2	31
y				5	29	2			108 ,	z				5				1	29		135.
				3	10	1								3				1	10
По формулам Крамера										x		x					,	y	y		,	z	z		и

43

	x				3
X					4
	y					.
					5
	z

Данная система линейных уравнений:

1)однородна - нет;

2)неоднородна - да;

3)основная матрица системы имеет ранг, равный единице, - нет;

4)основная матрица системы имеет ранг, равный двум, - нет;

5)основная матрица системы имеет ранг, равный трем, - да;

6)основная матрица системы имеет ранг больше трех - нет;

7)ранг основной матрицы системы не равен рангу ее расширенной матрицы - нет;

8)ранг основной матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы - да;

9)система несовместна - нет;

10)система совместна - да;

11)может быть решена методом Крамера - да;

12)может быть решена методом Гаусса - да;

13)имеет базисный минор первого порядка - нет;

14)имеет базисный минор второго порядка - нет;

15)имеет базисный минор третьего порядка - да;

16)имеет базисный минор более третьего порядка - нет;

17)имеет одно базисное неизвестное - нет;

18)имеет два базисных неизвестных - нет;

19)имеет более двух базисных неизвестных - да;

20)не имеет свободных неизвестных - да;

21)имеет одно свободное неизвестное - нет;

22)имеет более двух свободных неизвестных -

нет;

23)решений не имеет - нет;

24)имеет единственное решение - да;

		Решите систему линейных уравнений
		x2 3x3				4x4				5,			1
		x 2x				3x			4,
					3			4
			1										2
	28										X
		3x1		2x		2 5x			4 12,				1
		4x 3x					5x			5.
						2			3
			1										1
		РЕШЕНИЕ:

44

Запишем расширенную матрицу системы

0		1	3	4		5
		0	2	3		4
1
	3	2	0	5		12
							.
	4	3	5	0		5

Если 0 , то неизвестные можно найти по формулам Крамера:

x	1		x			2		x			3		x			4
1		,		2			,		3			,		4		.

Вычислим основной определитель матрицы системы разложением по элементам первой строки:

	0	1		3	4				0	2			3
	1	0	2		3
						0 ( 1)1 1			2 0				5
	3	2	0		5
									3	5			0
	4	3	5		0
1 ( 1)1 2				1	2	3		3 1 1 3				1	0		3
				3	0 5							3	2		5
				4	5	0						4	3		0
			1		0	2
4 1 1 4 3					2 0

43 5

0 0 1 30 3 18 4 12 24.

Чтобы получить определитель 1 , заменим в первый столбец столбцом свободных членов

		5	1					3		4					разложим
		4	0					2		3
1															определитель
		12	2			0				5
															по элементам
		5	3					5		0
															второго столбца
1 ( 1)1 2					4				2	3			0 ( 1)2 2				5			3		4
					12				0 5								12				0 5
						5			5	0							5			5		0
2 ( 1)3 2								5	3			4			3 ( 1)4 2				5		3	4
								4	2			3							4		2			3
								5	5			0							12		0		5

1 ( 30) 0 ( 2) 0 3 ( 2) 24.

Аналогично вычисляем 2 , 3 и 4 :

45

			0	5					3						4
2			1	4					2						3								48
			3	12					0						5
																														,
			4		5				5						0
			0	1				5						4
3			1	0				4						3						24
			3	2				12						5														,
			4	3					5					0
			0	1				3						5
4			1	0				2						4						24
			3	2					0					12																	.
			4	3				5							5
		Отсюда						x					1									24					1						,		x		2				2		48	2					,
									1													24																					24
																																																	1
		x3		3				24		1 , x4																			4						24					1 ,							2
																																											X							.
								24																										24
																																																	1
																																																1
Решите систему линейных уравнений:
				x			2x						2x											x							x							1,
					1						2										3								4							5
				2x1 4x2 4x3 2x4 2x5 2,																																															1				2
				x					2x					2	2x										3		x					4		x					5	1.												0				1
							1
РЕШЕНИЕ:																																																		X 0 c					0
																																																				0		1		0
Запишем расширенную матрицу системы A																																																B
																																																				0				0
	1			2 2 1												1										1
																																																			2				1
		2		4			4 2 2																		2						2 2 1 2																					0				0
29		1		2			2 1 1																		1																									c		1	c			0
																																																		2				3
		1		2					2						1 1																1																					0				1
				0					0						0								0																	3 1 3												0				0
0																															0
																																																				1
		1		2					2 1															1					1																							0
	1		2		2				1 1											1
																																																		c		0
																														1																1 .
0 0 0									0 0								0																	2 2 1									1							4		0
			0		0				0					0						0
	0																																																			1

Ранг основной матрицы системы равен единице и совпадает с рангом расширенной матрицы сис-

46

темы, следовательно, по теореме Кронекера– Капелли система линейных уравнений совместна. Она равносильна уравнению:

				x1 2x2 2x3 x4 x5 1.
	В качестве базисного неизвестного выберем x1 ,
остальные неизвестные считаем свободными. При
x2	c1, x3			c2 ,					x4 c3 , x5								c4			выразим базисное
неизвестное через эти параметры:
x1 2c1 2c2 c3 c4 1 .
	Итак,
				x1 2c1 2c2 c3 c4 1,
				x		2	c ,
										1
							c2 ,
				x3
				x		4	c				3	,
							c4 ,
				x5
					2								2				1			1					1
				1									0				0			0				0
						0			c2						c3
		X c1											1				0			c4 0					0 .
				0									0				1			0				0
						0
													0				0			1					0
Решите систему линейных уравнений																										0							0
																																	0
x1		2x2				3x3							4x4				4x5			4x6						0								4
																							18,			6
																										X	c1						3
		2x2				3x3							4x4				4x5			4x6			18,			0
																										0							1
					3x								4x				4x		4x				18,										0
								3						4				5			6
																										0							0
		4x2				6x3							8x4				8x5			8x6				36,
30 2x1																											0								0
3x		6x				9x							12x			12x				12x				54,
																											0								0
	1	8x	2	12x					3				16x		4	16x			5	16x			6	72.
4x			2						3						4				5			6						4								4
	1
РЕШЕНИЕ:																														c3
																										c2	3								3
	Запишем расширенную матрицу системы																										0								0
																											1								0
																											0								1

47

		1		2		3	4	4	4			18
			0	2		3	4	4	4			18
A		0		0		3	4	4	4			18
	B		2	4		6	8	8	8			36
		3		6		9	12	12	12			54
		4		8	12		16	16	16			72
	4 2 1 4
	1			2	3	4	4	4		18
		0		2	3	4	4	4		18
	0			0	3	4	4	4		18
		0		0	0	0	0	0		0
	3			6	9	12	12	12		54
		4		8	12	16	16	16		72

				5	3	1					5
				6	4							6
						1
1		2	3	4	4	4			18
0		2	3	4	4	4			18					1	2	3	4	4	4		18
0 0 3 4 4 4																		4 4
									18 0 2 3 4												18 .
0 0 0 0 0 0									0
	0	0	0	0	0	0			0					0 0 3 4				4 4			18
	0	0	0	0	0	0			0

В левом верхнем углу матрицы стоит опреде-

	1	2	3
литель z	0	2	3	6 0 , его можно считать ба-
	0	0	3

зисным минором. Ранг основной матрицы системы линейных уравнений равен трем и равен рангу ее расширенной матрицы, следовательно, система совместна по теореме Кронекера–Капелли. Для удобства продолжим преобразования матрицы и приведем базисный минор не только к треугольному, но и к диагональному виду. С помощью

преобразований 1 2 1 получим:

2 3 2

48

1		0	0	0	0	0		0
	0	2	0	0	0	0		0
										.
	0	0	3	4	4	4		18

Восстановим по полученной матрице решение системы уравнений:

x1 0,

2x2 0,

3x3 4x4 4x5 4x6 18.

Базисный минор содержит базисные неизвестные x1, x2 , x3 . Свободными являются неизвестные

x4 , x5 , x6 . Придадим свободным неизвестным
значения x4											c1,				x5 c2 ,						x6	c3			и перенесем их в
правую часть уравнений:
x1 0,																					x1		0,
																					x		0,
				0,
2x2																						2			4					4				4
3x		3		4c 4c								2	4c			3	18,				x	3				c					c	2			c	3	6,
x								1																	3		1			3				3
	4		c				,																c
					1		,														x				,
x	5		c			2																4	1
			c																		x5		c2 ,
x	6					3
																							c3.
																					x6
								0								0						0			0
							0							0							0				0
									4								4						4				6
X c											c								c
									3								3						3					.
				1			1						2	0						3	0				0
																											0
							0							1							0
																											0
								0								0						1
Решите систему линейных уравнений
x1 2x2 3x3 4x4 4,
				x3 x4 3,
x2																																								0				8
				3x2 3x4 1,
x1
31 7x							3x				x				3.																						X	c	1					3
																																								2				6
					2			3						4
РЕШЕНИЕ:																																								1				0
	Воспользуемся методом Гаусса. Запишем рас-
ширенную матрицу системы:

49

1			2	3	4		4
	0		1	1	1
							3									3			1				3
1			3	0	3		1
	0		7	3	1		3
		1		2	3	4							4
			0	1	1		1					3						3	5	2							,
					3		1																		3
		0 5										3						4	7		2					4
			0	7	3	1
												3
		1		2	3	4							4
			0	1	1						1	3
																	4 2 3 4
		0		0	2	4						12
			0	0	4	8						24
		1		2	3	4						4
			0	1	1	1					3							3
					2 4														3
																	2
		0 0										12
			0	0	0	0						0
		1		2	3	4						4
			0 1		1	1
											3 .
			0	0	1	2						6

В левом верхнем углу стоит треугольный определитель третьего порядка

1 2 3

0 1 1

1 0,

0 0 1

значит, ранг основной матрицы системы равен 3, равен рангу ее расширенной матрицы, и система совместна.

Чтобы получить ее решение, получим нули под главной диагональю базисного минора с помощью преобразования 2 3 2 :

50