Алгебра

	2.191							2x y 5,										x 1,	y 3,
																		z 5
2		Решить систему x 3z 16, по правилу Крамера.
								5y z 10
	2.201	Решить систему уравнений																x1 2 ,
		2x1 3x2 11x3 5x4 2,																x2 0,
		x	x	2	5x		2x			1,								x 1,
		1				3		4										3
3		2x x			2	3x 2x 3,												x4 1
			1				3			4
		x	x	2	3x		4x			3.
		1				3		4
	2.211	Исследовать на совместность и найти общее реше-																Система не-
							3x		5x		2x	4x			2,			совместна
								1		2	3		4
4		ние системы						7x1		4x2 x3		3x4			5,
							5x		7x		4x	6x			3.
								1		2	3		4
	2.212	Исследовать на совместность и найти общее реше-																c1
							9x1 3x2 5x3 6x4 4,
									2x2		3x3	4x4						13 c1
5		ние системы					6x1								5,			7
														8.
							3x1 x2 3x3 14x4											0
	2.225	Найти фундаментальную систему решений и общее																Система
												3x		2x		x 0,		имеет толь-
													1		2	3		ко триви-
6		решение системы уравнений										2x1		5x2		3x3	0,	альное ре-
												3x		4x		2x	0.	шение
													1		2	3
	2.226	Найти фундаментальную систему решений и общее																c1E1 ,
												2x1 3x2 x3 0,							4
		решение системы уравнений											x2 x3 0,					E		1
7												x1
																		1
														2x2 2x3 0.						5
												3x1

61

5.РАСЧЕТНАЯ РАБОТА №1

5.1.ТИТУЛЬНЫЙ ЛИСТ

Федеральное агентство по образованию Уральский государственный технический университет – УПИ

имени первого Президента России Б.Н. Ельцина

Кафедра высшей математики

РАСЧЕТНАЯ РАБОТА №1

Дисциплина: МАТЕМАТИКА. Часть 1. Алгебра

Модуль 1: Алгебра: определители, матрицы, системы (1 зачетная единица)

Студент

Группа

Преподаватель

Вариант

Дата

Екатеринбург 2012

62

										5.2. ВАРИАНТЫ
																Вариант 1
		1												3
						0						3
		2								2
						1
		0								0
1. Вычислите: а)																		;
		3								1
						0
		2								2
1 1									2					3 T					2				1 3
									1 1									2
б)																				1 4				2	.
		0 1							0				1
																3		1	1		1
2. Вычислите определитель																1		3	1		1
																1		1	3		1
																1		1	1		3

а) методом понижения порядка, б) методом приведения к треугольному виду. 3. Используя свойства определителя, докажите тождество:

				a b x a x2			c				b a c
				1	1	1	1					1	1		1
				a b x a x2			c	x3			b a c					.
				2	2	2	2					2	2		2
				a b x a x2			c				b a c
				3	3	3	3					3	3		3
															0		1	0	0
																2	0	0
	4.	Найдите матрицу, обратную для матрицы																	0
															0		0	2	0
																0	0	0
																			2
	а) методом Гаусса,					б) методом присоединенной матрицы.
	5.	Решите матричное уравнение: ABXC 6D 3E , где
		3 4			0 1		1 0					3 2
	A		, B			, C			,			D	4 3		.
			4 5		1 0		2 3
							1		3			2	0
	6.	Вычислите ранг матрицы 2							1			3	0	.
							3		5			4	0
									17			4	0
							1

63

7. Решите системы:

2x y z 4,											x1 x2 4x3 2x4 3x5 0,
								б)																		2x4			2x5 1,
а) 3x 4y 2z 11,											2x1 x2 2x3
3x 2y 4z 11.													2x			x					x					x	4	x 0.
														1				2							3				5
												Вариант 2
		0												0							0				2
1								0 1
		3						1								3					1
1. Вычислите: а)	0												0													;
		2							2					2							2
	0	1							3				0			1					3
		2														2					2
								2
1											2			1													T
		5 2										3		6				7					1 1
б)	4																									.
		0 1										4		0											0 1
													2	1				0			0
2. Вычислите определитель													1	2				1			0
													0	1				2			1
													0	0				1			2

а) методом понижения порядка, б) методом приведения к треугольному виду. 3. Используя свойства определителя, докажите тождество:

a1	b1	a1x b1 y c1		a1	b1	c1
a2	b2	a2 x b2 y c2		a2	b2	c2	.
a3	b3	a3 x b3 y c3		a3	b3	c3

		1		0	0	0
			0	0	3	0
	4. Найдите матрицу, обратную для матрицы
		0		3	0	0
			0	0	0	3

а) методом Гаусса, б) методом присоединенной матрицы. 5. Решите матричное уравнение A3 X B , где

	1			0	1
														2		0	0
	2
					2
A 0			1		0								, B		0	2	0
																		.
	1					1									0	0	2
			0
	2				2

64

																							1					0						1	0
																									1			1						0	0
6.	Вычислите ранг матрицы																						0					1						1	0
																									0			0						1	1		.
																									0			1						0	1
7.	Решите системы:
		2x2						3x3 1,																x1 x2 4x3 2x4 3x5 1,
									2,
а)		x1 3x3																																		4x3 2x4 2x5 1,
			x		2x				3,												б) 2x1 x2
																												x				2x					x						x		x 2.
			1					2																												2
		4x						4.																				1									3							4	5
					4
																												Вариант 3
1.	Вычислите:
											1													1															1
					3			0										3			0										3			0
			2														2											2									2
											2													2
	а)	0 1									0 0 1											0 0 1																	0					;
					1												1														1
								0				3								0				3										0						3
					2												2					2									2						2
											2

1	3 T 5	0	1	2		1 0
б)		1		6	3	4 0			.
0	1 2		0
								5	6	0	0	0
								1	5	6	0	0
2. Вычислите определитель								0	1	5	6	0
								0	0	1	5	6
								0	0	0	1	5

а) методом понижения порядка, б) методом приведения к треугольному виду. 3. Используя свойства определителя, докажите тождество:

1	a	bc	b a c a	1	0	0
1	b ac			0	1	c	.
1	c	ab		0	1	b

		3		0	0	0
			0	5	0	0
	4. Найдите матрицу, обратную для матрицы
		0		0	0	5
			0	0	5	0

а) методом Гаусса, б) методом присоединенной матрицы.

65

5. Решите матричное уравнение AXA C , где
0		0	0	1			3 0			0	0
	0	0	1	0				0	3 0		0
A						,	C					.
0		1	0	0			0		0	3	0
	1	0	0	0				0 0		0	3

																		1				0			0	0		2
																					0	1			0	2
																												0
6.	Вычислите ранг матрицы																	0				0			1	0		0 .
																					0			1	0	2
7.	Решите системы:																											0
	x1 2x2				3x3 4x4							21,											x1 x2 4x3 2x4 3x5 1,
				3x2 0,
	2x1
а)		2x		3x			21,														б) x1 x2 4x3 2x4 2x5 0,
																									2x	x		x			x	x	0.
			2	3
	2x			4x			14.																		1	2		3			4	5
		3		4
																								Вариант 4
																1								3
											3
																						0
									2							2
										1						3
																						0			;
																2
1. Вычислите: а)									2
									0							0						1
							2							3							5			4	T		1 0					1
							б)		4				0								1	0			4			0 1 2 .
							5							1													1 0					1
																					0	2
									0				2
																												2 3 1
																								2	1	1	1	1
																								1	3	1	1	1
2.	Вычислите определитель																							1	1	4	1	1
																								1	1	1	5	1
																								1	1	1	1	6

а) методом понижения порядка, б) методом приведения к треугольному виду. 3. Используя свойства определителя, докажите тождество:

66

1	1	1	x 1 2	1	0	0
1	x	x2		0	1	x 1	.
1	x2 x			0	x 1	1

	0		0	0	4
		0	1	0	0
4. Найдите матрицу, обратную для матрицы
	0		0	4	0
		4	0	0	0

	а) методом Гаусса,																								б) методом присоединенной матрицы.
5.	Решите матричное уравнение ABXC E , где
																																																					1							0 0
	1 0										0													1						0										0
																																																					2
				3								1																		1											3																			1
A		0																, B									0																				,			C	0															0	.
				2						2																				2									2																					2
																																																																		1
		0			1								3														0							3 1																	0									0
					2																																																													2
												2																		2										2
																												2		1			1							1
																													1	3			1						1
6.	Вычислите ранг матрицы 1																													1			4							1 .
																													1	1			1						5
																													1	2			3						4
7.	Решите системы:
		2x1								x2 3x3 2x4																		10,										x1 2x2 x3 3x4 4x5 1,
										3x2 15,
		3x1
		а)		x						2x					0,																	б) x1 x2 2x3 2x4 2x5 2,
																																							2x								x 2x									x						x						0.
				2						4
		3x								x					15.																								1											2	3									4						5
				1						4
																															Вариант 5
												1																		1																				1
																									3																						3															3
																													0																					0																0
																		2						2									2																		2									2
																																							2
																					1																		1																					1
																				3															3																					3
1. Вычислите: а)																													0																					0																0 ;
																		2						2									2						2														2							2
												0												0 1 0															0											1 0											0 1

67

	0		2 1 T 3				1
		4	1 3		2			1
б)							3		.
		0	1 2		2			2
											1	1	1	1
2.	Вычислите определитель										1	2	3	4
											1	3	6	10
											1	4	10	20

а) методом понижения порядка, б) методом приведения к треугольному виду. 3. Используя свойства определителя, докажите тождество:

	1	1	1	b a c a	1	0		0
	a b c				0	1		1			.
	a3	b3	c3		0	b2 b 1 c2 c 1
						0	0	6	0
4. Найдите матрицу, обратную для матрицы						0	6	0	0	.
						2	0	0	0
							0	0	6
						0
а) методом Гаусса,				б) методом присоединенной матрицы.

5. Решите матричное уравнение A2 X C , где

		1	0		0												1		0	0
			1		1
A		0														C
															,			0 0		1 .
			2
					2													0	1
			1		1															0
		0
			2		2

1		0	0	1
	0	1	0	2
6. Вычислите ранг матрицы 0		0	1	3	.
	1	2	3	14
	4	5	6	32

68

7.	Решите системы:
	x1 x3 x4 0,														6x1 6x2 3x3 3x4 4x5 1,
			x3		2,
	x2																					2x1		x2 x3 x4 x5 1,
а)		x	x		0,								б)
																						2x		x				x x										x		2.
		1		3
	x		x			2.																	1	2							3					4			5
		2		4
																						Вариант 6
																								0																0
								1 0							0 1																	0 1													0
									3						1												3				1										3 1
1. Вычислите: а)									0														0																0											;
															2									2																2					2
									2																						2
									1															1																1
																		3																	3											3
									0														0																0
																								2
									2						2																	2									2 2
	1			1							0				1
		2		0		1	1 T					2			4
б)							2		2										.
	3			5		0					3				1
		4										1
				1											5
																	1					2		0			0				0
																	3					4		0			0				0
2.	Вычислите определитель																0					0		1			0				0
																	0					0		0			2				0
																	0					0		0			0				3

а) методом понижения порядка, б) методом приведения к треугольному виду. 3. Используя свойства определителя, докажите тождество:

		sin sin	cos cos	cos				0	cos		cos
		sin sin	cos cos	cos	cos			0	cos		cos	.
		1	1	1				1	0		1
						1		0	0	0
							0	0	0	7
	4. Найдите матрицу, обратную для матрицы
						0		0	7	0
							0	7 0		0

а) методом Гаусса, б) методом присоединенной матрицы.

69

5.	Решите матричное уравнение A2 X B , где
																			1
																																					3
																																										0
				1		1		1														4													4
																			3																1
				A	0	1 1 ,							B																													0 .
																			4																4
					0	0
								1											0						0																	1
																																										2
													5						3						4										6						7
														5					4						0										1						2
6.	Вычислите ранг матрицы																																										.
													5						3						5										1						2
														5					3						4										7						0
7. Решите системы линейных уравнений
	2x1 3x2 x3 5,																								3x1 x2 x3 2x4 3x5 1,
			2x2 5x3			12,												б) z																									4x3 2x4								2x5 2,
а) x1																									x1 x2
	4x		x	3x	15.																				2x 2x x																									x	x		0.
		1	2	3																															1								2					3		4		5
																			Вариант 7
								1																	1																								2
													0				3																		0												3
								2						2											2
													1																						1								2
1. Вычислите: а)								0						0											0																		0							;
									3					1											3																		1
													0																						0
								2						2											2																		2
						5								T					2							3 5																					2			1	1
												1 1																																				2 2			3
					б)														1						2 0																2											.
						0						4 1																																				1		3	4
																													1						0								1			0
2.	Вычислите определитель																												0						2								0			3
																													0						0								3			0
																													0						5								0			4

а) методом понижения порядка, б) методом приведения к треугольному виду. 3. Используя свойства определителя, докажите тождество:

70