Алгебра

aij :

a11	k a12	a12	a13		a11	a12	a13
a21	k a22	a22	a23		a21	a22	a23	.
a31	k a32	a32	a33		a31	a32	a33

З а м е ч а н и е : п ользуясь свойством 8, можно, не меняя величину определителя, все элементы некоторой строки (столбца) определителя, кроме одного, сделать равными нулю.

С в о й с т в о 9 . Определитель произведения квадратных матриц равен произведению их определителей.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минором Mij элемента aij квадратной матрицы А называ-

ется определитель матрицы, полученной из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, на пересечении которых стоит элемент aij.

ПРИМЕР: Найдите минор M22 элемента a22 матрицы 3-го порядка

							a11		a12	a13
					A		a		a	a
								21	22	23	.
							a		a	a
								31	32	33
Решение: M 22			a11	a13		.
			a31	a33

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Алгебраическим дополнением Aij элемента aij квадрат-

ной матрицы А называется минор Mij этого элемента со знаком (–1)i+j, где i – номер строки, а j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент

					Aij 1 i j Mij .
ПРИМЕР:
1		2	3				1	3		12, A22 1	4
	4	5	6		: M22							M22	12 .
Для матрицы							7	9
	7	8	9

Те орема . Определитель численно равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на соответствующие им алгебраические дополнения

n

det A A aik Aik ai1Ai1 ai2 Ai2 ...ain Ain ,i 1,2,...,n .

k 1

Для определителя 3-го порядка это разложение имеет вид

		a11	a12	a13
A		a21	a22	a23	ai1 Ai1 ai2Ai2 ai3Ai3, i 1, 2, 3.
		a31	a32	a33

11

При разложении по элементам первой строки для определителя 3 –го порядка имеем,

a11

a12

a13

a22

a23

a21

a23

a21

a22

A

a

a

a

a

a

a

21

22

23

11

a

a

12

a

a

13

a

a

a31

a32

a33

32

33

31

33

31

32

ПРИМЕР:

Вычислим определитель 3-го порядка разложением по элементам первой строки:

	2	0	5		3	16		1	16		1	3		30 16 5 1 92 5 87.
	1	3	16	2			0			5			2
					1	10		0	10		0	1
	0	1	10

В к а ч е с тв е с л е д с т в и я и з п р и ве д ё н н о й вы ш е те о р е м ы п о л у ч а - е м с л е д у ю щ е е с в о й с т в о :

С в о й с т в о 10. Сумма произведений элементов любой строки (столбца) определителя на алгебраическое дополнение соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю.

1.2.3 Методы вычисления определителей произвольного порядка

Методы вычисления определителей n-го порядка основаны на рассмотренных выше свойствах определителей, справедливых для определителей любого порядка: определитель n-го порядка равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на соответствующие им алгебраические дополнения.

Тем самым определитель n-го порядка мы выражаем через определители (n-1)- го порядка, те – через определители (n-2)-го порядка, и т.д., пока не дойдем до определителей 3-го или 2-го порядка, правила вычисления для которых заданы.

1. Метод разложения по строке или столбцу (метод понижения порядка):

n

det A A aik Aik ai1 Ai1 ai2 Ai2 ...ain Ain .

k 1

ПРИМЕР. Вычислим определитель 4-го порядка

2 1 0 1

0 1 1 2

A

3 1 3 2

3 1 1 6

методом понижения порядка.

12

Решение:
						2	1			0						1												1								1							2
						0	1 1									2					2 1 1 1
		A																										1						3 2
						3	1			3						2												1						1									6
						3	1			1						6
1 1 1 2														0 1 2												0 1 1 3														0 1					2		1 1 1 4												0 1 1
													3						3 2																					3			1		2														3			1	3
													3			1								6																3			1		6														3			1	1
							1 1								3	2												1 2								1							2					1 3						1 3
2 1							1								1	6								1 1												1							6	2 1										1			1
									3						2																	3				2													3			3
0 1 1 1																	1 1 1 2																									2 1 1 3
									1		6																					3		6															3			1
							1 1			1						3										1 2				3				3									1				1 3				3					1
0 1											1					1							1 1							3				1											1						3	1

2 16 8 8 12 12 6 6 0.

Вычисления можно упростить, преобразовав определитель так, чтобы в строке или столбце было как можно больше нулевых элементов. Приведем определитель к виду, в котором a11 1 , а остальные элементы первого столбца равны нулю. Для этого переставим первый и четвертый столбцы, при этом определитель изменит знак. Обозначим строки определителя через 1, 2 , 3 , 4 и обратим в нули элементы первого столбца во второй, третьей и четвертой строках

с помощью							следующих				преобразований					строк: 2 2 1,					3 2 1 ,
4 6 1.
						2	1	0	1				1	1	0	2			3	1	4
						0	1	1	2				0	3	1	4
		A																	1 3		1	.
						3	1	3	2				0	1	3	1
																			7	1	9
						3	1	1	6				0	7	1	9

В полученном определителе третьего порядка переставим первую и вторую строки (определитель сменит знак) и вычтем из новых второй и третьей строки

первую, умноженную, соответственно, на 3 и 7:

13

			3	1	4							1	3	1		2 3 1 =
A			1	3	1			2				3	1	4
										1
			7	1	9							7	1	9			3	7 1
					1		3			1	10		1
					= 0		10			1				0.
													2
											20

020 2

2.Метод приведения к треугольному виду.

Используя свойства определителей, добьемся такой структуры определителя, при которой все его элементы, стоящие ниже главной диагонали, равны нулю. Тогда определитель будет численно равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

			a11	a12	...	a1n
			0	a22	...	a2n					n
A							,		A		aii	a11 a22	... ann
			... ... ... ...								i 1			.
			0	0	...	ann

ПРИМЕР. Вычислим определитель 5-го порядка

1 0 2 1 3

4			1	3	2	5
		3	2	4	5	7
2			3	19	5	8
5			3	5	1	4

методом приведения к треугольному виду.

Решение:

			1	0	2	1	3	1			2		4 1
			4	1 3		2	5	2
											3		3 1
			3	2	4 5		7	3
													2
			2	3	19 5
							8	4				4	1
			5	3	5	1	4	5			5		5 1

14

	1	0	2	1	3	1	1	0	2	1	3	1
	0	1	5	2	7	2	0	1 5		2	7	2
	0 2		2	8	2	3 5 4 2	0 1		1	4	1	3
	0	3	15	3	2	4	0	3	15	3	2	4
	0	3	15	6	11	5	0	0	0	3	9	5

									1	0		2		1	3			1
									0	1		5		2	7			2
		3		2		2			0 0			4 2			6			3 5 4
	4		3 2						0	0 0 3					19			4
									0	0 0 3					9			5
								1		0		2		1	3
								0	1		5		2		7
				2				0		0	4			2	6		240.
								0		0		0	3		19
								0		0		0		0	10

1.3 Обратная матрица

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Квадратная матрица A n–го порядка называется вырожденной, если определитель этой матрицы равен нулю, |A| = 0, и невырожден-

ной, если |A| 0.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрица A–1 называется обратной к квадратной матрице A, если

A A 1 A 1 A E .

Один из методов вычисления обратной матрицы A–1 – метод присоеди-

ненной матрицы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрица AV , составленная из алгебраических дополнений

Aij соответствующих элементов aij		матрицы A, называется присоединенной к
матрице A:
11		12	1n
	21	22
V				2n
				.
	n1	n2
				nn

15

	Т е о р е м а . Если матрица A невырожденная,		то существует, и притом един-
	ственная, обратная матрица A–1 , равная 1	1	V T , где =|A|, (AV)T – транс-

понированная присоединенная матрица. Доказательство теоремы проводится непосредственной проверкой того факта, что A A 1 A 1 A E .

Второй метод – метод элементарных преобразований строк.

К элементарным преобразованиям матрицы относятся:

1)перестановка строк (столбцов);

2)умножение строки (столбца) на число 0;

3)прибавление к элементам строки (столбца) матрицы элементов другой

строки, умноженных на некоторое число; Для нахождения обратной матрицы посредством элементарных преобразо-

ваний строк применяется следующий алгоритм:

1)к квадратной матрице А приписываем справа единичную матрицу того же порядка, отделив от исходной матрицы чертой;

2)к полученной расширенной матрице применяем элементарные преобразования строк, добиваясь, чтобы матрица, стоящая слева от черты, стала единичной;

3)после таких преобразований справа от черты получим обратную матрицу.

																																																	2		1	0
																																																		1	2	1
ПРИМЕР: Найти матрицу, обратную к матрице A																																																					.
																																																		0	1	2
	Решение:
1) метод присоединенной матрицы:
	A				2	1							0																										A11 A33										2	1			A22		2	0
					1 2								1						8 0 0 0 2 2 4 ,																																3,						4,
																																																	1	2					0	2
					0	1							2
	A12									1			1				2,					A13								1		2				1,	A23						2	1			2 ,
										0			2																	0		1											0	1
	A21										1		0				2, A31											1				0				1,	A32				2			0			2.
											1		2															2				1									1			1
					3								2								1										T
	V					2							4								2					V												V	– симметрическая матрица.
	A																								A							, так как A
						1							2								3
																																								3
																									3							2					1											1		2	1
						1														T			1																	4												4
		1															V
																										2						4 2								1				2				1			1 .
											A												4
																										1						2					3															2
																																							1									1		2	3
																																								4												4

16

2) метод элементарных преобразований строк:
					2 1 0												1		0 0														1		1	2		0		1				0 0
																												1													2
A		E					1 2 1										0 1 0															1			2 1				0 1 0 2 1
																							1
																												2
							0 1 2										0		0 1													0			1 2				0 0 1
					1
			1						0			1							0 0														1		1	2		0					1				0 0
					2								2															2																2
			0		3				1				1						1 0																1			2						1			2			0		3 2
																							2										0																3
																												3
					2								2																									3						3
			0 1 2									0							0 1														0		1			2					0				0 1
			1		1		2		0						1					0				0													1	1			2			0				1					0	0
																		2														3																	2
			0		1				2						1				2		3			0		3											0			1				2					1			2		0
									3									3														4												3					3				3
									4						1					2																	0			0				1				1					1	3
			0 0																					1
									3						3							3																											4				2	4
																									1
																		1	1				0							0					0
						2													2						2																				1
				2						0									1 0						1					1					1
					3				3																	2									2						1			2			2
																			0			1			1			1
																0																	3
																									4					2					4
										3									1			1								3							1				1
		1 0 0								4									2					4				1					4				2						4
			0 1					0		1								1			1					,					12					1
													2																										12 .
																									2							1					1				3
		0			0 1					1									1			3
																														4							2						4
									4										2					4

Для обратной матрицы выполняются следующие равенства:

A 1 1 A 1 ,

AB 1 B 1 A 1,

A 1 T AT 1 .

1.4.Матричные уравнения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Равенство, содержащее неизвестную матрицу X и известные матрицы A, B, C,… называется матричным уравнением относительно матрицы X.

Рассмотрим пример, линейного относительно Х уравнения вида AXB C . Если матрицы A, B, C являются квадратными матрицами одинакового порядка и A 0, B 0, то умножая обе части уравнения, слева на A–1 и справа на B–1

17

A 1 A X B B 1 A 1 C B 1 ,

и учитывая, что A 1 A E и B B 1 E ,				получаем решение: X A 1 C B 1 .
ПРИМЕР: Решите матричное уравнение A·X = B, где
1	2	3	5
		;	.
3	4	5	9

Решение:

1 2

Вычислим 2 0 , значит матрица A – невырожденная.

3 4

Построим матрицу A–1 , обратную матрице A:

			1			T		1	4		3 T			1	4		2
1						V												.
										2	1					3	1
							2						2

Записываем решение матричного уравнения:
1					1 4			2 3	5		1 4 3 ( 2 ) 5			4 5 ( 2 ) 9
							3						( 3 ) 3 1 5	( 3 ) 5 1 9
					2			1 5	9		2
	1 2		2				1	1
			6					.
	2
		4					2	3

З а м е ч а н и е. Решение нелинейных матричных уравнений в общем случае сопряжено со значительными трудностями. Например, решение простейшего

квадратного уравнения X	2	AX O,	1		2		,	x11		x12		сводится к
			A	0	1			X x	21	x
										22

решению системы

x2 x x				x			2x			0
	11	12 21			11				21		0
x11x12 x12x22 x12 2x22
x x		x	22	x	x			21	0		.
	21 11			21
x x		x2		x		22	0
	21 12		22

0		0		и
Решая эту систему, наряду с очевидными корнями X O	0	0

	1			2	, получаем ещё бесконечно много решений вида
X A		0
				1
1	a		,	a R .
X	0
0

18

1.5.Ранг матрицы

Пусть в матрице A размерности (m n) выбраны k строк и k столбцов, причем k min (m,n). Тогда элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k-го порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Определитель Mk этой матрицы называется минором k-го порядка матрицы A.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы A называется число, равное максимальному порядку r отличных от нуля миноров Mk этой матрицы: r = rang A=r(A).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Базисным минором матрицы A называется любой минор порядка r, отличный от нуля.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрицы одинаковой размерности называются эквивалентными и обозначаются A B, если r(A) = r(B).

Ранг матрицы A можно вычислить двумя способами.

1 . М е то д о к а й м л я ющ и х м и н о р о в .

Пусть в матрице A элемент aij 0, тогда M1 0 и r A 1. Окаймляем этот элемент элементами соседнего столбца и соседней строки, получаем ми-

нор 2-го порядка, например, M2	ai, j	ai, j 1	.
	ai 1, j	ai 1, j 1

Если M2 0 , то присоединяем другие строки и столбцы, перебирая все возможные миноры 2-го порядка. Если все миноры второго порядка равны нулю, то r A 1 ; если же существует хотя бы один минор 2-го порядка, от-

личный от нуля, то r A 2 .

Выбираем отличный от нуля минор 2-го порядка M2 и окаймляем его элементами соседних строк и столбцов до минора 3-го порядка и так до тех пор, пока не будет выполнено условие: Mr 0 , а все Mr 1 0 . Тогда ранг матрицы будет равен r.

2 . М е то д э л е м е н та р н ы х п р е о б р а з о ва н и й .

Напомним, что элементарные преобразования матрицы – это:

1)перестановка строк (столбцов);

2)умножение строки (столбца) на число 0;

3)прибавление к элементам строки (столбца) матрицы соответствую щих элементов другой строки (столбца), умноженных на некоторое число.

Те орема . Элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга.

За м е ч а н и е : ранг матрицы также не изменится при:

1)транспонировании матрицы;

19

2) отбрасывании нулевой строки или нулевого столбца.

Вычисление ранга матрицы A с помощью элементарных преобразований (и отбрасывания нулевых строк(столбцов)) сводится к приведению матрицы к

форме, когда все элементы матрицы кроме a11 , a22 ,…, arr , r min n,m равны нулю. Тогда ранг матрицы A равен числу отличных от нуля диагональных элементов.

	2		3	5	3
ПРИМЕР: Вычислите ранг матрицы		3	4	3			методом элементар-
					1
		5	6	1	3

ных преобразований.
Решение:	2		3	5	3					2 1 5				3
		3	4	3	1	~	2				3	1	3	1	~
								1
		5	6	1							5	1	1
					3									3

							1				2		3		4
											1 2					5 3						1			2 5 3
			~					2			1 3					3 1	1			~	2 1		0		1 2 2				~
					1													2
															1 3						3	1	0		3 6 6
											1 5						3
	1 2 5								3 1									1			2 5 3				1 2 5				3
~		0			1 2					2			2	~ 3 2					0		1 2 2			~							~
																										0 1	2		2
		0			1 2					2			3						0		0 0 0
																						1 2		3		4
					2				1 0						0 0		3			2 2 1 0					0 0		1		0
~				2	1
			3 5 1						0 1					2		~		4									~		1	,
				4	3											2				2 2 0 1					0 0		0
					1

rang (A) = 2.

2.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2.1.Системы m линейных уравнений с n неизвестными

Рассмотрим систему линейных уравнений вида

20