Алгебра

такое множество чисел

a11x1 a12 x2 a1n xn b1,

a21x1 a22 x2 a2n xn b2 ,

(1)

am1x1 am2 x2 amn xn bm .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Решением системы линейных уравнений (1) называетсяx1 , x2 ,..., xn , при подстановке которых в каждое из урав-

нений системы получается верное равенство.

Система (1) может быть записана в матричном виде A X B , где

a11		a12		...	a1n
a		a		...	a		- основная матрица системы,
A	21		22	...	2n
...		...			...
		am2		...
am1					amn

	x1
	x
X		2
	...		- матрица-столбец неизвестных,
	xn
b1
b
B	2	- матрица-столбец свободных членов.

...

bm

Матрицы A и B объединяют в расширенную матрицу системы:

			a11		a12	...	a1n			b1
A		B	a		a	...	a			b
				21	22			2n		2
			... ...			... ...				...
					a	...	a			b
			a
			m1		m2		mn			m

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет решения, и называется несовместной - в противном случае. Система называется определенной, если она имеет единственное решение, и называется неопределенной, если она имеет бесконечное множество решений.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Система линейных уравнений (1) называется неоднородной, если матрица B не является нуль матрицей, B O , и называется одно-

родной, если B O .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две системы называются эквивалентными, если их множества решений совпадают.

21

2.2.Решение систем n линейных уравнений

сn неизвестными методом Крамера

Рассмотрим систему вида

a11x1 a12 x2 a1n xn b1 ,
a21 x1	a22 x2	a2n xn b2 ,		(2)
.
a x a x a x b .
n1 1	n2 2	nn	n n
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Определитель матрицы			A называется главным опреде-

лителем системы линейных уравнений и обозначается символом .

Теорема. Если главный определитель системы (2) не равен нулю, то система совместна и определена, причем единственное решение вычисляется по формулам Крамера:

	x	1	, x	2		2	, ... , x	n		n	,
	1
Здесь i
	- определители, получаемые из главного определителя системы за-

меной i -го столбца на столбец свободных членов.

ПРИМЕР: Решите систему:

2x1 3x2 2x3 9,

x1 2x2 3x3 14,

3x1 4x2 x3 16.

По формулам Крамера:

	2	3			2								9	3	2
	1	2			3	6 0,				1			14	2	3	12,
	3	4			1								16	4	1
				2	9		2					2	3	9
	2			1	14		3		18,	3		1	2	14	12.
				3	16		1					3	4	16

Посчитаем значения неизвестных:

x	1	2	, x	2	3	, x	3	2 .
1			2			3

З а м е ч а н и е. Формулы Крамера могут быть получены при решении системы

(2) матричным способом. Если 0, существует обратная матрица A 1 , и ре-

22

шение системы (1) можно записать в виде X A 1 B ; i -я строка этого матричного равенства выглядит как

n

A 1

1

n

1

i

xi

bj

Ajibj

A1ib1 A2ib2 Anibn

,

j 1

ij

j 1

так как выражение в скобках – разложение определителя i по i -му столбцу.

2.3.Схема отыскания решения системы m линейных уравнений

сn неизвестными

Отыскание решения системы линейных уравнений вида (1):

a11x1 a12 x2 a1n xn b1,

a21x1 a22 x2 a2n xn b2 ,

am1x1 am2 x2 amn xn bm .

начинается с исследования совместности этой системы. Необходимые и достаточные условия совместности определяются теоремой:

Теорема. (Кронекера Капелли). Для того чтобы система линейных уравнений

(1) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы системы:

Если

Eсли

rang(A) rang A B .

rang(A) rang A B то система заведомо не имеет решений.

rang(A) rang A B , то возможны два случая:

1)rang A n (числу неизвестных) решение единственное

иможет быть получено по формулам Крамера;

2)rang A n решений бесконечно много.

ПРИМЕР: Решите систему											2x 3y 5,
											2x 3y 2.
A		2	3		5	,		2	3		0, 1			5	3		0	rang A 1,
		B
		2	3		2			2	3					2	3

rang A B 2 ,

по теореме Кронекера – Капелли система несовместна.

23

(n r)

После установления совместности, схема отыскания решения выглядит следующим образом: пусть rang(A) rang A B r и r min m,n . Тогда лю-

бой отличный от нуля минор, составленный из элементов матрицы A порядка r , можно выбрать в качестве базисного, при этом неизвестные xi , имеющие своими коэффициентами элементы базисного минора, называются базисными неизвестными, а остальные неизвестных свободными. Свободные неизвестные могут принимать произвольные значения. Без ограничения общности

можно считать, что базисный минор располагается в первых						r строках и r
столбцах матрицы A системы:
	a11	a12	...	a1r
	a21	a22	...	a2r	0
	... ... ... ...				.
	ar1	ar 2	...	arr
Тогда x1, x2 , ..., xr – базисные неизвестные, а xr 1, ..., xn						– свободные не-
известные.

1)Выделяем базисные и свободные неизвестные.

2)Отбросив последние m r уравнений системы (1), записываем укороченную систему:

a11x1 ...		a1r xr a1,r 1xr 1 a1n xn b1,
		a2r xr a2,r 1xr 1 a2n xn b2 ,
a21x1
.....................
		arr xr ar,r 1xr 1 arn xn bn.
ar1x1

3) Перенесем свободные неизвестные в правую часть уравнений системы:

a11x1 a12 x2 ...						a1r xr b1 a1,r 1xr 1 ...				a1n xn ,
						a2r xr b2 a2,r 1xr 1				a2n xn ,
a21x1 a22 x2
...........................................................................
a	x a	r 2	x	2	...	a	x b a	x	...	a	x .
	r1 1						rr r n	r,r 1 r 1			rn n

(3)

(4)

4) Решаем систему (4).

З а м е ч а н и е. Система (4) является следствием исходной системы (1) и ее решение может быть найдено по формулам Крамера, матричным способом или методом Гаусса, который будет изложен ниже. При этом базисные неизвестные

x1, x2 , ..., xr выражаются через свободные неизвестные. Если свободные неизвестные принимают значения

24

xr 1 c1,

xr 2 c2 , ...,

xn cn r ,

то базисные неизвестные являются линейными функциями c1, c2 , ..., cn r

xi xi (c1, c2 , ...,

cn r ) , i 1, 2,..., r .

Общее решение неоднородной системы A X B можно записать в виде матрицы–столбца:

					x		c ,	c	,	...,	c	n r
					1		1	2
					x2		c1 ,	c2 ,		...,	cn r
X c ,					....................................
	c		, ...,	c	x		c ,	c	,	...,	c
1		2		n r		r	1	2	c1				n r		.
									...
								cn r

Поскольку свободные неизвестные могут принимать произвольные числовые значения, то исходная система имеет бесконечно много решений.

2.4. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений являются следующие:

1)перемена местами двух любых уравнений системы;

2)умножение любого уравнения системы на произвольное число k 0 ;

3)прибавление к одному уравнению системы другого уравнения, умноженного на произвольное число k 0 .

Элементарным преобразованиям уравнений соответствуют элементарные преобразования строк расширенной матрицы системы A B . Заметим, что эле-

ментарные преобразования матрицы не изменяют ее ранга.

Метод Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных, при этом матрица, соответствующая базисному минору (см. систему (4)), преобразуется к треугольному виду элементарными преобразованиями строк:

			...
a		a
	11	12
	0	a22 ...

... ... ...
	0	0 ...

a1r
	b1	a1,r 1c1			a1,r 2c2				... a1,ncn r
a2r
	b2	a2,r 1c1			a2,r 2c2				... a2,ncn r .
...	....................................................
a		a		c	a		c
	b		r			r ,r 2		2	... a c
rr	r			,r 1 1					r,n n r

Наиболее удобен метод Гаусса – Ньютона, в котором матрицу, соответствующую базисному минору, приводят не к треугольному, а к единичному виду. При этом сразу получается решение системы уравнений:

25

	1		0 ...	0
					b1	a1,r 1c1		a1,r 2c2		... a1,ncn r
		0	1 ...	0	b a		c	a	c	... a	c
			... ...	...	2	2,r 1 1		2,r 2 2		2,n		n r .
	...				....................................................
		0	0 ...	1
					br ar,r 1c1			ar,r 2c2		... ar,ncn r

Заметим, что в полученной слева матрице некоторые диагональные элементы могут быть не единицами, а нулями. В этом случае, если справа выражение не равно нулю, то система несовместна.

x1 x2 x3 6

ПРИМЕР: Решите систему 2x1 x2 x3 3 .

x1 x2 x3 0

Запишем и преобразуем расширенную матрицу системы:

					1 1 1						6			2 2 1						1					1 1		6						1					1 1 1					6
A			B			2			1 1		3											0		3		1	9				3								0 3 1			9
																																	2
						1			1 1		0				3 1							0			0 2		6												0 0 1				3
	1 3								1 1		0			3					1					1 1 0				3										1 0 0		1
										0 3	0			6											0 1 0			2											0 1 0	2			,
																	2																	2
																			3												1
	2			3						0 0	1			3											0 0 1			3											0 0 1	3
					x
									1
							1		2 .
откуда x2
					x				3
							3

2.5. Однородные системы

Однородная система имеет вид:

a11x1 a12 x2 ...			a1n xn 0,
	a22 x2		a2n xn 0,
a21x1
............................................					(5)
a x	a	x ...	a	x 0,
m1 1	m2	2	mn	n

что в матричном виде записывается как O .

Однородная система всегда совместна, так как r(A) r A B , поскольку

нулевой столбец не меняет ранг матрицы; всегда существует нулевое решение

(0, 0, ..., 0) .

Теорема. Для того чтобы однородная система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы А был меньше числа столбцов r(A) n .

26

Следствие. Для того чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы 0 .

Если r n , то заведомо 0 и тогда возникают свободные неизвестные c1, c2 , ..., cn r , система имеет нетривиальные решения, причем их бесконечно много.

Теорема. Если X1 и X2 нетривиальные решения системы (5), то их линейная комбинация X c1 X1 c2 X2 также является решением системы (5).

Доказательство. A c1 X1 c2 X2 c1 AX1 c2 AX2 O O O .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Решения однородной системы линейных уравнений, которые получаются из её общего решения

c1 ,

c2 ,

...,

cn r

x1

x2

c1 ,

c2 ,

...,

cn r

X c ,

....................................

c

, ...,

c

x

c ,

c ,

...,

c

1

2

n r

r

1

2

n r

c1

...

c

n r

если последовательно полагать значения параметров равными 1, 0, ,0 ,

0,1, ,0 ,…, 0, 0, ,1 образуют фундаментальную систему решений од-

нородной системы.

Теорема. Общее решение X при r n может быть записано в матричном виде следующим образом:

X c1 X1 c2 X2 ... cn r Xn r , где решения

X1, X2 , ...Xn r принадлежат фундаментальной системе решений.

Запись общего решения в виде линейной комбинации решений, принадлежащих к фундаментальной системе, называется разложением общего решения по фундаментальной системе решений.

x1 4x2 2x3 0,

ПРИМЕР: Решите систему 2x1 3x2 x3 5x4 0,

3x1 7x2 x3 5x4 0.

Рассмотрим матрицу системы:

27

A X B

		1			4		2 0		2					1					4		2 0
			2		3		1 5					2 1			0 5						5	5
									~	3													~
			3		7		1 5					3 1			0 5						5	5
					1		4 2		0										1		0 2		4
~	3			2		0	1 1		1		~ 4						2			0	1 1		1	.
													1
						0 0 0			0											0	0 0 0
Следовательно, r A 2 . Выберем x1										и x2 в качестве базисных неизвестных и
запишем преобразованную систему:
							x		2x				4x			,
							1				3			4
							x2		x3			x4 .
Полагая x3 c1 ,			x4	c2 , где c1				и	c2		произвольные числа,												получаем общее
решение однородной системы в виде:
									2				4
							X c			1	c 1
									1 1				2 0 .
										0
													1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Однородная система O ,																			которая получается из дан-
ной неоднородной системы A X B ,											называется приведенной системой, со-
ответствующей данной неоднородной системе.

Следующая теорема устанавливает связь между общими решениями произвольной неоднородной системы и ее приведенной системы.

Теорема. Общее решение неоднородной системы ставлено в виде суммы общего решения приведенной частного решения неоднородной системы.

Общее решение X в матричном виде:

X X0 c1 X1 c2 X2 ... cn r Xn r

может быть предсистемы и произвольного

,

(6)

Здесь матрица–столбец X0 есть частное решение неоднородной системы, а

X1, X2 , ...X n r составляют фундаментальную систему решений приведенной системы.

x1 4x2 2x3 1,

ПРИМЕР: Решите систему 2x1 3x2 x3 5x4 7,

3x1 7x2 x3 5x4 8.

Рассмотрим расширенную матрицу системы:

28

			1		4	2	0	1				1		4	2 0		1
(A		B)		2	3	1	5	7		2 2 1			0 5		5	5	5		~
										~	3
				3	7	1	5	8				3 1	0	5	5	5	5

					1		4	2	0	1					1 0			2	4	5
~	3		2			0 1		1	1	1		~ 4	2			0	1	1	1	1
												1									.
						0	0	0	0	0						0	0 0		0	0

Следовательно, r(A) r(A B) 2 , поэтому система совместна и не определена.

Выберем x1 и x2 в качестве базисных неизвестных и запишем преобразованную систему:

x1 5 2x3 4x4 ,x2 1 x3 x4 .

Полагая x3 c1 , x4 c2 , где c1 и c2 произвольные числа, получаем общее решение системы

x1			5 2c1
x				1 c
X	2			1
x				c
	3			1
x4				c2

4c2		5			2				4
c			1			1				1
2				c			c
		0			1 1			2 0 .
			0			0				1

Частное решение получено при условии c1 c2 0

29

3. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ

3.1. Определители второго и третьего порядка и их свойства

№						Задание						Ответ
п/п
	Вычислите определитель							2	7		.
								1	3
1	РЕШЕНИЕ:											-1
			2	7		2 3 7 1 6 7 1.
			1	3

																	2	1	1
		Вычислите определитель															1	3	1			.
																	1	1	2
	2	РЕШЕНИЕ:																					7
				2	1	1
				1	3 1			2 3 2 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 2 2 1 1
				1	1	2
		12 1 1 3 2 2 7.
		Докажите следующие свойства определителей на при-
		мере определителя 2-го порядка |A|=																			1		2		:
																					3		4
		1 ) определитель матрицы А не меняется при транспо-
		нировании матрицы:								AT				A		,
		2) при перестановке местами двух строк (столбцов) оп-
		ределитель меняет знак,
		3 ) определитель, содержащий две																	одинаковые строки
	3	(столбца), равен нулю,
		4) умножение всех элементов некоторой строки (столб-
		ца) определителя на число k равносильно умножению
		определителя на это число,
		общий множитель элементов строки (столбца) можно
		вынести за знак определителя,
		5) если все элементы некоторой строки (столбца) опре-
		делителя равны нулю, то и сам определитель равен ну-
		лю,
		6) если элементы двух строк (столбцов) определителя
		пропорциональны, то определитель равен нулю,

30