Алгебра

	1			2	3	4				4
		0 1 0				1				3			2											2
																	1												1
		0		0	1	2				6
			1		0	3	6						10
				0 1		0 1								3									3			3
																		1											1
				0	0	1	2							6
			1		0	0	0						8
				0	1	0	1							3
															.
				0	0	1	2							6
			Восстановим по матрице решение системы
	уравнений при x4									c :
	x1 8,																		0						8
				3 c,
	x2																1								3
				6 2c,										X c					2								6
	x3																												.
				c,															1								0
	x4
	Решите систему линейных уравнений
						2x1 x2 x3 x4 1,
						3x1 2x2 2x3 3x4 2,
						5x1 x2 x3 2x4 1,
						2x x								2	x	3	3x					4		4.
							1
32	РЕШЕНИЕ:																														несовместна
			Запишем расширенную матрицу системы урав-
	нений
			2		1	1	1							1
				3 2		2 3								2																,
						1 2												3						1				2	3
			5 1										1					4											4
																								1
				2	1	1	3							4

51

	2		1	1	1		1
		3	2	2	3		2
										4		3		4
	0		2	2	4		4
		0	2	2	4		3
	2		1	3	1		1
		3	2	2	3		2
								.
	0		2	2	4		4
		0	0	0	0		1

Система несовместна, так как ранг основной матрицы системы не равен рангу расширенной матрицы. Убедимся, что ранг основной матрицы меньше ранга расширенной матрицы. Чтобы не работать с дробями, проделаем вспомогательное

преобразование 2 1						2 ,						3 : 2 3 :
2			1	1	1		1
	1		3	3	4		1
														1		2
0			1	1	2		2
	0		0	0	0		1
		1		3	3	4				1
			2	1	1	1				1
													.
		0		1	1	2				2
			0	0	0	0				1

		Таким образом, элемент a11 = 1, что удобно для
вычислений.
		С		помощью									преобразования													2 2 1 2
получим
1			3	3	4			1
	0 7			7 9				1													,
				1	2			2								2				3
0 1																4	( 1)							4
	0		0	0	0			1
		1		3	3	4							1
			0	1	1	2							2
																		3	7			2				3
		0		7	7	9							1
			0	0	0	0							1
		1		3	3	4							1
			0	1	1	2							2
		0		0	0	5							13
			0	0	0	0							1

52

Ранг основной матрицы равен 3, так как она содержит минор третьего порядка

1 3 4

0 1 2 5 0

0 0 5

и не содержит отличных от нуля определителей большего порядка.

Ранг расширенной матрицы равен 4, так как она содержит минор

1 3 4 1

0 1 2 2

5 0

0 0 5 13

0 0 0 1

четвертого порядка. Следовательно, по теореме Кронекера–Капелли система несовместна.

Решите систему уравнений

3x 2y 5z 0,

x 2y 3z 0

и ответьте на вопросы об этой системе.

РЕШЕНИЕ:

	Ранг основной матрицы системы равен двум и
	совпадает с рангом расширенной матрицы систе-
	мы, следовательно, по теореме Кронекера–																																								1
	Капелли система линейных уравнений совместна.
	В			качестве базисных																			неизвестных											выберем
																																									2
	x, ó,				а z					считаем свободным.																					Система, равно-
33	сильная исходной, имеет вид:																																						X c			7
																																										4
										3x 2y 5z,																															1
																						.
										x 2y 3z
																				5с					2								5	1
																																2с
															x					3с		2											3	1			с
	При			z c ,						x																												,
																					3	2									8
																																		2
																					1	2
								3		5с						с		3			5
								1		3с								1		3							7с
	y			y
									3	2										8
																						4 .
									1	2

53

								c						1
	x							2				2
							7
X		y						c		c			7
						4						4
	z						c					1

Данная система линейных уравнений:

1)однородна - да;

2)неоднородна - нет;

3)основная матрица системы имеет ранг, равный единице, - нет;

4)основная матрица системы имеет ранг, равный двум, - да;

5)основная матрица системы имеет ранг, равный трем, - нет;

6)основная матрица системы имеет ранг больше трех - нет;

7)ранг основной матрицы системы не равен рангу ее расширенной матрицы - нет;

8)ранг основной матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы - да;

9)система несовместна - нет;

10)система совместна - да;

11)может быть решена методом Крамера - нет;

12)может быть решена методом Гаусса - да;

13)имеет базисный минор первого порядка - нет;

14)имеет базисный минор второго порядка - да;

15)имеет базисный минор третьего порядка - нет;

16)имеет базисный минор более третьего порядка - нет;

17)имеет одно базисное неизвестное - нет;

18)имеет два базисных неизвестных - да;

19)имеет более двух базисных неизвестных - нет;

20)не имеет свободных неизвестных - нет;

21)имеет одно свободное неизвестное - да;

22)имеет более двух свободных неизвестных -

нет;

23)решений не имеет - нет;

24)имеет единственное решение - нет;

25)имеет бесконечно много решений - да.

54

							x 4x 2x 0,
	Решите систему						1			2			3						0,
							2x1 3x2					x3 5x4
							3x 7x x 5x 0.
	РЕШЕНИЕ:							1		2			3					4
	Рассмотрим матрицу системы:
	1			4		2 0										1			4 2		0
		2		3		1	5		~		2 2 1						0		5 5		5
																						~
		3		7		1 5					3 3 1						0		5 5		5
				1		4 2				0								1		0 2	4
					0 1 1							1 4 2							0	1 1				2					4
	~ 3 2								1 ~												1 .
					0 0 0														0 0 0
										0											0
34	Следовательно,						r A 2 . Выберем x1													и x2	в каче-		X c1	1	c2					1
	стве базисных неизвестных и запишем преобразо-																							1					0
																														1
	ванную систему:																							0
							x		2x			4x					,
							1			3					4
							x2		x3 x4 .
	Полагая			x3 c1 ,			x4 c2 ,				где c1			и c2 произвольные
	числа, получаем общее решение однородной сис-
	темы в виде:
	2				4
	X c 1			c		1 .
	1 1			2	0
	0					1
	Найти фундаментальную систему решений и об-
	щее решение однородной системы уравнений:
				3x1 x2 8x3 2x4 x5 0,																			X c X			1
																								1
																							c2 X2 c3 X3 ,
				2x1 2x2 3x3 7x4 2x5 0,
				x 11x 12x 34x											4	5x 0,								19/8
				1			2			3									5
					x 5x				2x 16x								3x 0.								7 /8
					1		2			3			4					5											,
	Матрица коэффициентов																						X1			1
																										0
35						3 1					8				2				1
																										0
							2 2				3			7					2
				A																					3 / 8
						1 11					12 34								5
																								25 / 8
							1 5				2 16								3				X 2			0 ,
	имеет ранг r 2 (проверьте!). Выберем в качестве																									1
	базисного минор																									0
							M2				3	1		0 .
											2	2

55

Тогда укороченная система имеет вид

3x1 x2 8x3 2x4 x5 ,

2x1 2x2 3x3 7x4 2x5 ,

откуда, полагая x3 c1 , x4 c2 , x5 c3 , находим

	x			19			c					3		c							1				c ,
	1		8				1	8								2		2									3
	x				7	c				25					c							1				c .
		2	8				1	8								2		2										3
Общее решение системы
									19				c							3				c					1		c
								8
															1			8								2		2				3
								7											25											1
X c ,c											c													c								c
		2	,c					8 1										8									2	2					3
1			3																	c1
																				c2
																				c3

Из общего решения находим фундаментальную систему решений

	19 /8					3/8
		7 /8				25/8
X1	X 1,0,0	1	,	X 2	X 0,1,0	0	,
		0				1
		0				0

	1/ 2
		1/ 2
X3	X 0,0,1	0	.
		0
		1

С использованием фундаментальной системы общее решение может быть записано в виде:

X c1 ,c2 ,c3 c1 X1 c2 X2 c3 X3 .

1/ 2

1/ 2 .

X3 0

0

1

56

4. ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ

Сборник задач по математике для втузов: В 4 ч. Ч. 1: Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Определители и матрицы системы линейных уравнений. Линейная алгебра. Основы общей алгебры / А. В. Ефимов, А. Ф. Каракулин, И. Б. Кожухов и др. / Под ред. А. В. Ефимова, А. С. Поспелова. - 4-е изд., пере-

раб. и доп. - М.: Физматлит, 2003. - 288 с.: ил.; 21 см. - ISBN 5-940520-34-0.

4.1. ДЗ № 1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

	№	№ по	Задание	Ответ
	п/п	Еф.

Вычислить определитель

a b

a b

.

1

2.2

a b

a b

4ab

Вычислить определитель

2sin cos

2sin

2 1

.

2

2.6

1

2sin cos

1

2cos2

Вычислить определитель

2 1

3

2.15

2 1

.

a2 2

2 1

2 1

Вычислить определи-

sin

cos

1

4

2.16

тель

sin

cos

1

sin sin sin

sin

cos

1

.

Используя свойства определителей 3-го порядка, дока-

зать тождество:

5

2.25

a1 b1x

a1x b1

c1

1 x2

a1

b1

c1

a2 b2 x

a2 x b2

c2

a2

b2

c2

.

a3 b3x

a3x b3

c3

a3

b3

c3

57

		Используя свойства определителей 3-го порядка,
			x y					z	1
6	2.27	вычислить определитель	y z					x	1				.										0
			z x					y	1
		Используя свойства определителей 3-го порядка,
						a 1 2								a2 1 a
7	2.28	вычислить определитель				b 1 2								b2 1 b					.				0
						c 1 2
														c2 1 c
								1	1					1
		Проверить, что определитель						x			y			z	делится на
8	2.31							x2			y2			z2
		x y , y z и x z .
											2			1	1			0
		Вычислить определитель									0			1	2			1
9	2.55										3			1	2			3			.			0
											3			1	6			1
								0	a					b	d
10	2.59	Вычислить определитель						a 0 c							e			.					be cd 2
								b	c					0	0
								d	e					0	0
					1			2	3					...	n
					1			0	3					...	n
11	2.67	Вычислить определитель			1			2	0					...	n			при-					n!
					.			.	. . .
					1			2			3			...	0
		ведением к треугольному виду.

58

										3		2	2		...		2
										2 3 2 ... 2
		Вычислить определитель								2		2	3		...		2	приведе-
12	2.68									.		. . . .														2n 1
										2 2 2 ... 3
		нием к треугольному виду.
										0		0	1		1			1								5
											1	1 2
																2	2		4
13	2.85	Вычислить произведение										2									.						15
										2			3			1	1			1
											3	3	4													25
																											35
		Вычислить			1	a n	, если a R.																		1		na
14	2.87
					0	1																					1
																									0
		Найти значение многочлена										f A
		от матрицы А, если f x 3x2 4 ,																			8		15
15	2.90	2		1
		A		.																	0		23
		0		3
		Вычислить AB BA, если
		1		1	1		7		5		3									0			0		0
16	2.95		0	1		B		0	7		5										0		0		0
		A			1 ,							.
			0	0 1				0 0 7
																					0		0		0
		Найти все матрицы 2-го порядка,
		квадраты которых равны нулевой															a			b
17	2.99	матрице O			0	0																, a		2	bc 0
						0	.
					0												c			a

59

					Найти матрицу, обратную к матрице
					cos			sin								cos					sin
	18		2.108							.
								cos									sin				cos
					sin
					Найти матрицу, обратную к матрице
					3		4		5							8			29			11
	19		2.110			2	3										5		18			7
									1 .
						3	5		1
																	1		3			1
					Найти матрицу, обратную к матрице
					2		7	3							7 /3				2			1/3
	20		2.114			3	9	4								5/3			1			1/3
									.
						1	5	3
																2			1				1
					Решить матричное уравнение
					3		1		5		6	14 16							1		2
	21		2.123					X						.
						5	2			7			10						3		4
											8	9
					Решить матричное уравнение
							5		3 1			8	3 0				1		2			3
					X				3	2			9					4	5			6
	22		2.125				1					5		0
							5		2 1			2	15 0					7 8				9
					4.2. ДЗ № 2. Системы линейных уравнений
	№	№ по									Задание											Ответ
	п/п	Еф.
	1	2.187							3x 5y 13,				по правилу Крамера.								x 16 ,				y 7
				Решить систему
									2x 7y 81

60