Алгебра

														tg2		1			1							0				1				1
																		cos2															cos2
														tg2		1			1							0				1				1			.
																		cos2															cos2
															1	1			1							1				0				1
																																0			0			0		2
																																0			0			8		0
4.	Найдите матрицу, обратную для матрицы
																																0		8				0		0
																																			0			0		0
																															8
	а) методом Гаусса, б) методом присоединенной матрицы.
5.	Решите матричное уравнение ACX B , где
	1 0									0 0							1 0											0				0
																																						3
			3								1									3 1
		0										0							0													0
																																							0
			2								2									2								2
																																			B					.
	A														,	C																	,
		0		1							3		0						0		1							3				0						0
																																							0
			2
										2										2 2
		0 0								0 1									0 0									0				1
																2			3				1							0			2
6.	Вычислите ранг матрицы 1																		4				2							1			3	.
																1			6				8							3		13
																			10				0						1				1
																5
									7. Решите системы линейных уравнений
		3x1 x2 2x3 1,																							x1 x2 4x3 2x4 3x5 1,
								3x2 5x3 16,																										4x3 2x4							2x5		0,
	а) 2x1																					б) x1 x2
		5x 2x								2	8.																			2x		x			x			x x				0.
			1																											1				2	3					4	5

71

Вариант 8

										3
		0					0
	1												8		1 T 2
																				5
		3
								1
1. Вычислите: а)	0										;	б)		4	2			1	3		4		.
		2					2
		1												0	3			3
								3
	0
		2					2
													1	0		0			0	0
													0	2		1			0	0
2. Вычислите определитель													0	1		2			0	0
													0	0		0		2		1
													0	0		0			1	2

а) методом понижения порядка, б) методом приведения к треугольному виду.

3. Используя свойства определителя, докажите тождество:
	sin 2	sin	0				cos	1	0
	sin 2	sin	0		2sin sin		cos	1	0		.
	1	1	1				0	0	1

																						0	0	0			9
																						0	0	9
4.	Найдите матрицу, обратную для матрицы																										0
																						0	9	0			0
																					9		0	0
																											0
	а) методом Гаусса, б) методом присоединенной матрицы.
5.	Решите матричное уравнение ACX B , где
			1																					1
							0	0				3															0	0			3
																0 0 0			2
			2																					2
							1 0		2																			2
	0								0								0 0 2		0				0				1 0 0
	A		0				0 1		0					,	B					,		C		0			0 1 0							.
																0 2 0			0
																	2 0 0		0
			3						1															3				1
							0	0																			0	0
			2						2															2
															2		3	5		1										2
6.	Вычислите ранг матрицы															4	7	2		2
																						.
																8	1	12		4

72

7. Решите системы:

x 2x				x 7	x 3x x 3x 4x 0,
	1		2	3		1	2		3	4	5
а) x1	x2 7x3 2				б)	x1 x2 x3 x4 2x5 0,
5x		4x		11		2x	2x	2	x	x	x 1.
	2	3				1			3	4	5

Вариант 9

	1												3
						0				3
	2
					1		2
1. Вычислите: а) 0							0							;
	3						1
						0
	2						2
																				1		0	2
0					4 3			T					1 2 0
																			3		0 1		0
б)	2				1 7						3				5 7									.
																					2	0	1
							1				2			0	0
2. Вычислите определитель							3				4			0	0		.
							5				6			5	4
							7				8			4	5

а) методом понижения порядка, б) методом приведения к треугольному виду. 3. Используя свойства определителя, докажите тождество:

a1 b1x	a1 x b1	c1	1 x2	a1	b1	c1
a2 b2 x	a2 x b2	c2		a2	b2	c2	.
a3 b3 x	a3 x b3	c3		a3	b3	c3

												0		1	0	0
4.	Найдите матрицу, обратную для матрицы											2		0	0	0
												0		0	0	2
														0	2	0
												0
	а) методом Гаусса, б) методом присоединенной матрицы.
5.	Решите матричное уравнение (AB C)XD 8E , где
	2		4	0		1 1		1		0		0	0			1		0	0
		3	1	0			0 0	2			0	0	2		D		0 1		0
	A				,	B			,	C				,						.
		0	0	0			0 0	1			0	0	3				0 0		2

73

												2				7	1					4
												5				3	2					6
6.	Вычислите ранг матрицы																						.
										11						18	1					18
												3				10	3					2
7.	Решите системы:
	x 2x x 3,															3x 3x 3x 3x 4x 1,
	1		2	3													1					2	3										4		5
а) 2x1 5x2 2x3 5,															б)		x1 x2 x3 x4 2x5 1,
	x	x	5x	12.													2x x						x						x				x		2.
	1	2	3														1					2	3					4						5
															Вариант 10
													1 2				1
							3			0												0				3
					2												2						2
									1			2										1
1. Вычислите: а)					0							0					0								0 ;
					1												3						1
									0				3									0
					2							2					2						2
				3						4		0 5 4							3 T						1							3
				б)	1 2																	2										2		.
												1 0 1							2						1
																	0					1	2					3
2.	Вычислите определитель																1					1	0					0
																	0					0	1					0
																	3					0	0					1

а) методом понижения порядка, б) методом приведения к треугольному виду. 3. Используя свойства определителя, докажите тождество:

2a	2b	2c	2 a b	1	b	c
a2	b2	1		0	b2 a2	2	.
b2	a2	1		a b	a2	1

		0		3	0	0
			3	0	0	0
	4. Найдите матрицу, обратную для матрицы
		0		0	0	3
			0	0	3	0

а) методом Гаусса, б) методом присоединенной матрицы. 5. Решите матричное уравнение AEA 1 X B , где

74

	1		2	3
A		4	5	6		,	B 3E .
		7	8	9

														7				16				5					2
6.	Вычислите ранг матрицы															1			2			3					8
																												.
																9		12				11					8
7.	Решите системы:
	5x x				x 8,															x 4x 2x 2x																								x 5,
		1		2	3														б)			1						2						3								4		5
а) 3x1 x2 2x3 5,																				2x1 2x2 4x3 2x4 x5 0,
	x		4x		x 13.																3x						6x			x 2x														x	1.
	1			2	3																	1						2						3								4		5
																			Вариант 11
																	1 1																														1
								3				0															0					3								3				0
						2											2				2									2								2
												1															1																	1	2
1. Вычислите: а)						0										0					0										0							0								0 ;
																	3					3								1															3
					1							0															0								1									0
						2										2						2								2								2							2
					2							1 T 1								1								1				1
						4						0					2 2
					б)																	3													.
						2						3					1			0								1				2
																								1			1	0						0
2.	Вычислите определитель																							1			1	1						0
																								0			1	1						1
																								0			0	1						1

а) методом понижения порядка, б) методом приведения к треугольному виду. 3. Используя свойства определителя, докажите тождество:

a b	b c	c a	a b c	a b	c a	c b
a	b	c		a	b a	c a	.
c	a	b		1	0	0

75

							0		0	1	0
								0	4	0	0
	4. Найдите матрицу, обратную для матрицы
							4		0	0	0
								0	0	0	4
	а) методом Гаусса, б) методом присоединенной матрицы.
	5. Решите матричное уравнение ABA 1 X BB 1 , где
	1		0	0
		0	2	3		B 4E .
	A				,
		4	5	6

													1						0		1
																3			2
																					1
6.	Вычислите ранг матрицы 4																		2		2 .
																1			2
																				1
																1			1
																					1
7.	Решите системы:
	2x 4x x 3,																		x 4x 2x 2x x 5,
		1	2	3																1							2					3		4		5
а) x1 x2			3x3 12,																б)	2x1 2x2 4x3 2x4 x5 2,
	x	4x	x	5.															x				2x											2x	4	x 3.
	1	2	3																	1							2									5
																			Вариант 12
					1																	1												2
														3																	3
																			0															0
					2						2											2							2
											1																1
								3															3
1.	Вычислите:			а)															0															0 ;
											2											2					2
					2
					0						0								1			0					0							1
				5					4 2										4	3						T	1						2
																													2			3
				б)	1				2										0 5															.
											1																		3			4

76

		1	1	1	0
	2. Вычислите определитель	1	1	0	1
		1	0	1	1
		0	1	1	1

а) методом понижения порядка, б) методом приведения к треугольному виду.
3. Используя свойства определителя, докажите тождество:
	a3	b3	ab a b			a b 3	1	a2 ab
	c3	b3	cb c b		b4	c b 3	1	c2 cb	.
	1	0	0			1	0	0

									5		0	0	0
										0	0	0	5
	4. Найдите матрицу, обратную для матрицы
									0		0	5	0
										0	5	0	0
	а) методом Гаусса, б) методом присоединенной матрицы.
	5. Решите матричное уравнение AX A 1 X C , где
				1		0	0
	A 3E	2	8E,		0	2	0
				C				.
					0	0	3

	1		0	5	4
6. Вычислите ранг матрицы		3	2	0
					1 .
		3	2	5	3

7. Решите системы линейных уравнений

2x x x 1,												3x x 2x 2x								x 2,
	1 2		3											1		2	3		4	5
а) x1	2x2	3x3 11,									б) 2x1					2x2	2x3	2x4 x5 1,
3x 4x		2	x 7.												x	x	x 2x			x 1.
	1			3										1		2	3	4		5
															Вариант 13
											1				3
							3			0
						2
1. Вычислите:									1		2					;
				а) 0							0
						1					3
									0
						2					2

77

							2				3 T
б)		5	8	4 1				4			1					1		2
				3	0									2			2	0	.
		0 2					0				5
								2
											1
										1	1	1		1
2. Вычислите определитель										1	2	1		1
										1	1	3		1
										1	1	1		4

а) методом понижения порядка, б) методом приведения к треугольному виду. 3. Используя свойства определителя, докажите тождество:

		a	b	c	a b c	1	b	c
		c a b				0	a b	b c	.
		b	c	a		0	c b	a c
								0	6	0	0
									0	0	0
	4. Найдите матрицу, обратную для матрицы							6
								0	0	6	0
									0	0	6
								0

а) методом Гаусса, б) методом присоединенной матрицы.

5. Решите матричное уравнение AXA 1 C , где
	1		2	3				2			0	0
A		0	4	5		,	C		0	2		0
													.
		0	7	8					0		0	2

			1		0	4
				1	2	3
6. Вычислите ранг матрицы 3					2	10	.
				3	4	10
				0	2
						1
7. Решите системы:
x 5x x 6,						x 4x 2x 2x x 5,
	1	2	3			1		2	3	4	5
а) 2x1 3x2 x3 1,					б) x1 2x2 2x3 2x4 x5 7,
2x x 4x 8.						x 2x				2x x 3.
	1	2	3				1	2		4	5

78

Вариант 14

			3			0	1						3				0		1				2
		2									2								2
					1		2										1							;
1. Вычислите: а) 0							0				0								0
		1					3				1								3
					0												0
		2					2												2
											2
2						1 3					6						2		1 T
б)		4								3									5			.
						0 2					0 1

1 2 0 0

3 4 0 0

2. Вычислите определитель

1 0 1 0

2 1 0 2

а) методом понижения порядка, б) методом приведения к треугольному виду. 3. Используя свойства определителя, докажите тождество:

														0	b	c	b c										0			b c		c
														b c 0												b				c		0	.
														c	0	b											1			1		1
																															8			0		0	0
																																0		0		8	0
4. Найдите матрицу, обратную для матрицы
																																0		8		0	0
																																0		0		0	8
а) методом Гаусса, б) методом присоединенной матрицы.
5. Решите матричное уравнение ABX C , где
			0			0											0					0
	1														1																2			0	4
			3			1											3					1
A		0											,	B		0													,	C		0		2 2		.
			2			2											2
																						2										0		0	4
			1			3											1					3
		0														0
						2											2					2
			2

	2		3	5	1
6. Вычислите ранг матрицы		4	7	2	2
						.
		8	1	12	4

79

7. Решите системы:

5x x x 2,				x x			2 x			2 x			x			5,
	1 2	3			1	2			3		4			5
а) x1	4x3 9,			б) x1 2 x2 2 x3 2 x4 x5 7,
x	3x	4x	0.		x 2 x			2		2 x		4	x		5	1.
1	2	3			1

Вариант 15

		3	1					3	1			2
				0						0
	2						2
			2						2

1. Вычислите: а)	z	0		1	0				0	1	0				;
		1							1
						3						3
				0						0
					2				2		2
		2

			1	2	4	T		0			1
													1 1				0
б)	z		3	1	5		3			1	2
													2	1			1	.
			1	4	2					2	3
										0	1	2		3
2. Вычислите определитель										1	1	0		0
										2	0	1		0
										3	0	0		1

а) методом понижения порядка, б) методом приведения к треугольному виду.

3. Используя свойства определителя, докажите тождество:
	sin2	cos2	1				0	cos2	1
	cos2	sin2	1		2		0	1	2		.
	1	1	0				1	0	1

		7		0	0	0
			0	7	0	0
	4. Найдите матрицу, обратную для матрицы
		0		0	0	7
			0	0	7	0

а) методом Гаусса, б) методом присоединенной матрицы.

80