Алгебра

	7) если каждый элемент некоторой строки (столбца) оп-
	ределителя представляет собой сумму двух слагаемых,
	то такой определитель можно представить в виде суммы
	двух определителей,
	8 )							если к элементам какой-нибудь строки (столбца) оп-
	ределителя прибавить соответствующие элементы дру-
	гой строки (столбца), умноженные на произвольный
	множитель k, то величина определителя не изменится,
	9) определитель численно равен сумме произведений
	элементов любой его строки на соответствующие им ал-
	гебраические дополнения.
																																	1			4					2
	Вычислите определитель																																0			3						1
	РЕШЕНИЕ:																																2			1					5					.
	Сделаем все элементы первого столбца определителя,
	кроме одного, равными нулю. К элементам третьей
	строки прибавим элементы первой (назовем ее рабочей)
	строки, умноженной на два ( 3 2 1 ):
4					1			4	2												1	4				2							1 3 9 7 20 по правилу																			20
					0			3		1							=				0	3				1
					2			1	5												0	7				9
	треугольников, или разложим определитель по элемен-
	там первого столбца:
				1				4	2											3		1
					0 3 1																				27 7 20.
																				7		9
				0				7	9
																														1			2			3
	Вычислите определитель																													4			5			6		.
																														7			8			9
	РЕШЕНИЕ:
5					1 2 3											1 0						2 0 3													1 2 3									1 0 3								0
					4 5 6											2 2						4 1				6									2	4 6								2			1 6
					7 8 9											3 4						6 2 9													3 6 9									3 2 9
							0	2	3										0		0	3																		0	0						3
							2	4 6											2 1			6		0 0 0 2																1		1 6							0.
							4	6	9										4		2	9																		2	2						9

31

6

7

8

Вычислите определитель																	13547			13647			.
																	28423			28523
РЕШЕНИЕ:
		13547			13647						13547			13547 100										-1487600
		28423			28523						28423			28423 100
				13547	13547								13547	100		0 100						13547		1
				28423	28423								28423	100								28423		1
	100 13547 28423 1487600.

1 0 0

Вычислите определитель 1 2 1 двумя способами.

0 3 1

РЕШЕНИЕ:

1). Разложим определитель по первой строке:

									1 1		2 1										1 2			1 1						1 3		1 2
		1 ( 1)									3	1				0 ( 1)								0		1		0 ( 1)				0	3
																																		-1
		2 3 1;
2). Приведем определитель к треугольному виду:
		1			0	0		(				)		1			0		0		(				3			) =
		1 2 1												0 2					1
																						3					2
		0			3	1			2		1			0			3		1				2
				1	0	0											1		1.
				0 2				1		1 2
				0	0			0,5									2
																					x							y		x y
Вычислите определитель																					y					x y				x	.
																					x y							x		y
РЕШЕНИЕ:
				x				y			x y								по правилу															2 x3 y3
				y				x y				x
		x y						x				y							треугольников

3xy x y x3 y3 x y 3

x3 3x2 y 3xy2 y3

x3 y3 3x2 y 3xy2 2 x3 y3

32

				x								y			x y											преобразования
				y							x	y						x																																													2
																																								строк																			1							3
		x y										x						y
				x y x y														y x y x																							x y x y
											y															x y																			x
								x y																								x													y
											y					x								0																												y						x	0
		2									y			x y													x																							0								y x
																																						2			1		2
								x y								x											y								3 1																	x 0 y
								по правилу																					2 x3 y3
						треугольников
																																1 cos									sin							1
	Решите уравнение																															1 sin									cos							1					0 .
																																			1									1				1
	РЕШЕНИЕ:
		1 cos										sin							1																				3				cos									sin 1										1
		1 sin										cos							1																							sin										cos 1										1
																																1																																				1 2 n,
						1						1							1														2		3									0														0				1
9				cos								sin 1												cos														cos 1							sin													sin 1										2				2 k ,
				sin								cos 1																																																									2
																																																																				n,k Z
		cos2 sin2 cos sin 1 cos sin 0 .
	cos sin 1,
				2		cos sin																																																						2
																								cos												sin sin											cos															,
	2																																		4											4													2
		sin									sin																								1 2 n, 2																							2 k , n,k Z .
							4
																			4																													2
																													1						2					3
	Для определителя																												4						5					6	найдите миноры и алгеб-
																													7						8					9
	раические дополнения элементов a13 и a32 .
10	РЕШЕНИЕ:																																																																				-3,-3,-6,6
	M13									4		5		,	M			32													1				3			;
										7		8																			4				6
		A ( 1)1 3 M														13			( 1)4 M																			13		M				13	3,
	13
		A ( 1)3 2 M															32			( 1)5 M																			32		M				32		6 .
			32

33

3.2. Определители n–го порядка

																																																						3		1			1	1
	Вычислите определитель 4-го порядка																																															A						1		3			1	1		.
																																																						1		1			3	1
																																																						1		1			1	3
РЕШЕНИЕ:
									3		1					1			1						1 2							1			1		1
	A								1		3					1			1						1 0							3			1		1
									1		1					3			1						1 0							1			3		1
									1		1					1			3						1 0							1			1		3
			1			1	1			1							2		1			1					1
			1			3	1			1							0		3			1					1					1 2
			1			1	3			1							0		1			3					1
			1			1	1			3							0		1			1					3																																	48
11						1	1				1					1			2								1								1		0					0		0
						1	3				1					1																			1		2					0		0
1																																															1 2 2 2 8 ,
						1	1				3					1							3 1												1		0					2		0
																							4
						1	1				1					3											1								1		0					0		2
											2					1			1			1																			3			1			1								1 2				1	1
											0 3								1 1										2 1 1 1
							2																																		1			3 1					2						1 0				3 1
											0					1			3			1																			1			1			3								1 0				1	3
											0					1			1			3
													1 1						1								2 1 1																1 0 0											3		1
							2						1 3						1								0 3 1										2						1	2 0							2
																																																						1		3
													1 1						3								0 1 3																1 0 2

2 4 2 9 1 40 ,

1 2 48 .

	a1	0	b1		0
12 Вычислите определитель	0	c1	0		d1	.	a1a2 b1b2
	b	0	a	2	0		c1c2 d1d2
	2	d2			c2
	0		0
РЕШЕНИЕ:

34

a1	0	b1	0
0	c	0	d	разложим определитель
b2	1	a2	1		по первой строке
	0		0
0	d2	0	c2

		a 1 1 1							c1			0								d1													1 3 1								0										c1	d1
									0 a								0							b																	b										0		0
			1									2															1														2
								d2				0							c2																						0										d2	c2
			разложим определители
				по второй строке
		a a b b									c1						d1				a a											2	b b					c c d d														2
			1	2	1	2					d2						c2										1						1				2	1								2					1
																												a							b		0	0
Вычислите определитель																												c							a		b	0							.
																												0							c		a			b
																												0					0				c			a
РЕШЕНИЕ:
			Разложим определитель по элементам первой строки:
13		a b 0 0										a b 0																							c b 0																						a2 bc 2
		c	a	b	0		a						c				a b									b									0 a					b															2
		0	c	a	b							0					c a																		0		c			a																	a bc
		0	0	c	a
									a					b									c				b													a						b
																b																		b c
				a a					c					a													a													c						a
																							0
				a2 bc										a			b				ab									c					b			a2 bc 2 a2bc .
														c			a													0					a
																																																1			1		1		1
Вычислите определитель 4-го порядка																																																1			2		3		4		мето-
																																																1			3		6		10
																																																1			4		10		20
14 дом приведения к треугольному виду.																																																							1

35

	РЕШЕНИЕ:
			1	1			1		1									2		1
			1	2			3		4
																			3
			1	3			6	10												1
																			4
			1	4			10	20												1
				1			1	1	1										3 2 2
				0 1 2 3
				0 2 5 9
																			4		3 2
				0			3	9	19
												1							1	1	1
												0 1								2 3								4 3 3
												0							0	1	3
												0							0	3	10
												1							1	1	1																			.
												0							1	2	3					1
												0							0	1	3
												0							0	0	1
																														1			2			3	4
	Вычислите определитель																													2			2			3	4		.
																														3			3			3	4
																														4			4			4	4
	РЕШЕНИЕ:
			1	2			3	4										1	2	3		4										1 4										0			1	2	3
			2 2 3 4															2 2 3 4																								0 0 1 2
									4
			3 3 3 4															3 3 3 4															2 2 4 4									0 0 0 1
15			4 4 4 4															1 1 1 1															3 3 4									1 1 1 1							-4
																			0	1	2							3
	3 4 4																		0	0 1 2												2 3
																			1	1	1							1
																			0	0	0							1
						0	1	2	3																										1	1	1			1
	4					1	1 1 1															2			4										0 1		2 3							4
						0	0	1	2										1																0	0	1			2
						0	0	0	1																										0	0	0			1

36

3.3. Матрицы и действия с ними

№	Задание										Ответ
п/п
		1		3
	Найдите	2		2	.
		1	1								4
				2
		1
16											4
		1			3			4			0
	РЕШЕНИЕ:		2			2			4	.	1
			1		1			0
						2			1
			1

	1				2			1
Найдите 4		2			1 1						.
17																					4 8		4
					1 2 1										4 8		4					8 4	4
РЕШЕНИЕ: 4					2			1				1				4	4	.
															8
													2		1	1		3		1
Найдите C AB ,																	B		2	1
						если A									0	,					.
													3			1			1	0
РЕШЕНИЕ: Размерность матрицы А (2 3), раз-
мерность матрицы В (3 2), число столбцов матри-
цы А совпадает с числом строк матрицы В, в ре-																						9	3
18 зультате получится матрица С, размерность кото-
рой (2 2).																						10	3
c11 2 3 1 2 1 1 9 ,											c12 2 1 1 1 1 0 3 ,
c21 3 3 0 2 1 1 10 ,											c22 3 1 0 1 1 0 3.
2 1 1			3		1				9			3
				2 1
AB										10		3	.
	3 0 1
				1	0
Найдите C AB ,
если	1	3			B			1			9	10
	A		,						0		2	1		.
	2	4
РЕШЕНИЕ: c11 1 1 3 0 1,														c12 1 9 3 2 15 ,							1 15		13
19	c 1 10 3 1 13 ,													c 2 1 4 0 2 ,								2 26 24
	13													21
	c22 2 9 4 2 26 ,													c23 2 10 4 1 24 .
1	3 1 9 10								1 15 13
С					1					2 26 24
2	4 0 2

37

Найдите матрицу, обратную для матрицы

1		2
A	3	4	.

РЕШЕНИЕ:

1)det A 4 6 2 0 .

2)M11 4,M12 3, M21 2, M22 1.

3)A11 4, A12 3, A21 2, A22 1.

						4									3							T						4			2						2				1
20																																	.
	4) A															1	, (A					)									1							3/ 2		0,5
						2												2							3
	5) A 1						1				4												2								1
																																		.
																		1													0,5
						2					3												3 / 2
	Проверка:
	A A 1					1							2				2						1
											4
						3											1,5					0,5
		2 3							1 1									1					0					E.
								3 2											0				1
		6 6
	Методом							элементарных																			преобразований строк
	найдите								матрицу,														обратную											к	матрице
			1			1		1								1
	A 1 1							1								1 .
			1			1		1								1
						1		1
			1													1
	РЕШЕНИЕ: Составляем и преобразуем вспомога-
	тельную матрицу A																				E :														14			1	4	1	4	14
	1		1			1		1							1		0	0				0
																																			1								1
																													2									1			1
						1			1						0 1 0							0									1				4
21	1 1																																						4		4		4
	1		1 1						1						0 0 1							0					3 1								14			1 4		1 4		14
																													4						1	4			1		1	1
			1			1		1							0 0 0 1																1								4		4		4
	1
		1			1	1		1					1				0	0			0			2
			2 2 0					0					1 1 0 0															2
		2 0 2							0				1 0 1 0													3 2
																								4				2
			2		0	0		2					1				0	0	1
		1		1		1		1			1						0	0				0
		1 1 0						0			12						12	0				0						1 2 3 4
		1		0		1		0			12						0	12				0
											1											1
				0		0		1									0	0
		1									2												2

38

		2 0							0 0				1 2						1 2				12					1 2
				1			1		0		0			12							1 2				0				0
		1					0		1		0			12							0				12				0
														1															1
				1			0		0		1										0				0
														2															2
									1		0			0				0		1 4			1 4		14					14				2			1
				1														0		1 2			1 2		0 0
									1 1 0
									1 0 1									0					0						0						3		1
						2															1				1
																					2				2
																					1								1							4		1	.
											0			0				1					0		0						2
									1												2
		1				0		0		0		14				14					14				14
			0 1 0 0																		1 4
												14				14										1 4			.
		0 0						1 0				14			1						14					1 4
																		4
												1					1					1			1
			0 0					0 1										4
												4										4			4
						14			14					14					14							1 1							1 1
		1				14			14				14								14			1 1 1									1 1						1
	A								14					14																												A.
						14													14					4 1 1									1 1 4
							14		14				14																				1
																			1		4					1 1											1
	Решите матричное уравнение ABXC E , где
				1				0						0								1					0							0
	A															,			B																		,
					0			3 2 1 2															0		1 2
																																		3 2
					0 1 2																		0 3 2										1 2
													3 2
				1 2					0 0													1				0 0
	C					0									,				E				0		1 0						.
									1 2 0
						0																	0		0 1																	2		0		0
									0 1 2
22	РЕШЕНИЕ:
																																												3
	Запишем уравнение в виде DXC E																																				, где					0				1
	D AB .																																										0	1			3
	Умножим уравнение DXC E слева на D 1 и
	справа на C 1 :
	D 1 AB X C C 1 D 1 E C 1 ,

D 1D X CC 1 D 1 E C 1 D 1C 1 , тогда

X D 1C 1 .

Найдем

39

													1											0													0													1					0								0
																																																						1 2
	D AB 0																								3 2 1 2 0																																							3 2
																																																																					;
																1 2																					3 2														0			3 2									1 2
													0
		1							0															0
									3 2
	0																				1 2
			0					1 2
																							3 2
	Вычислим D 1																															и C 1 .
	1					0										0																				0								0
																															1
																																																							3 2
						3 2																							1 2
	0																														0 1 0																					2
					1 2																																														3 1 2
	0																	3 2													0 0 1
		1							0							0																		1									0								0
																																																							2 3
		0 3 4														3 4																		0									3 2								0
																																		0									0
			0				1 4 3 4
																																																		1 2
		1							0							0																	1										0								0
																																																															1
		0 1																											0				0									3 2 1 2													3											2
																																																															4
																																	0										0
			0 1 4												3 4
																																																		1 2
		1				0										0													1								0														0
																										0			0
		0 1																																					3 2 1 2
			0				0 3 4																						0							3 8														3 8
																				1												0					0					1								0					0
						4																																																								,
																								0 1 0																		0								3 2 1 2
											3
						3
																								0								0					1
																																										0							1 2						3 2
							1									0																				0
	D 1
									0								3 2 1 2
																																											.
									0				1 2																			3 2
	1 2 0																	0									1 0 0																						2 1
			0 1 2													0											0 1 0																							2 2
			0						0							1 2											0 0 1																							2 3					,
		1				0							0		2									0										0
			0			1							0			0								2								0
			0			0							1			0								0								2
						2										0									0
	C	1							0							2								0							.
									0							0								2

40