Алгебра

5. Решите матричное уравнение ABXA 1 E , где

	2							2			0			2			2						0
	2							2						2
																	2
				2					2						2					2
A											0	,	B										0 .
								2						2			2
	2
	0							0			1			0			0						1

	4		2	0	6
6. Вычислите ранг матрицы		2	1	0	3
						.
		8	4	0	18

7. Решите системы:

	x 3x x 2,																	x x x 2x																						2x 2,
	1	2 3															б)				1					2						3					4						5
а) x1 3x2 4x3 5,																										x2 x3 x4 2x5 1,
	x	4x	7.															x 2x x 3x 3x 2.
	1	3																1								2							3				4						5
																	Вариант 16
								1																		1														1
							3													3																		3
																0																0													0
					2						2							2																		2							2
																										2
					1												1																				1
													3															3																3
1.	Вычислите:		а)													0																0															0	;
																		2								2
				2 2																																	2 2
			0								0					1 0										0 1 0																	0 1
			5								1					4	3		3 T							2 6										3
			б)		2													1															1			2			.
											0						2									0
																								1		1						1	1
2.	Вычислите определитель																							0		2						0	5
																								1		1						4	0
																								1		1						1	5

а) методом понижения порядка, б) методом приведения к треугольному виду. 3. Используя свойства определителя, докажите тождество:

81

						cos				sin								cos 2											cos sin 2																			1					sin			cos
						sin				cos								cos 2																														1					cos			sin		.
								1					1				0																															0					1			1
																																																0					0		0	9
																																																					9		0	0
4.	Найдите матрицу, обратную для матрицы																																															0
																																																0					0		9	0
																																																					0		0	0
																																																9
	а) методом Гаусса, б) методом присоединенной матрицы.
5.	Решите матричное уравнение (AB C)X E , где
											1																									1
						3		0																			3						0
				2					2															2
								1																									1		2										C 2E .
	A 0										0 ,						B 0																		0 ,
				1																				1
								0				3																					0			3
									2															2											2
				2
																						1							0					1
																								2					1					3
6.	Вычислите ранг матрицы																																		.
																						1							0					4
																								3					1					2
7.	Решите системы:
	2x1 3x2 x3 5,																																2x1 2x2 x3 x4 x5 0,
		x1		2x2 4x3 7,																											б)				x2 x3 x4 2x5 1,
а)																																	x1
		x							4x					5.																			x		x					2x							2x						x		2.
		1							3																									1	2										3							4	5
																																Вариант 17
																	0							0						2									0
													1																				1														0
																0	3							1										0					1									3
1.	Вычислите:								а)																																											;
																	2																						2								2
																								2
																0	1							3										0						3							1
																	2							2																2
																																															2
													2				4 1 0 1																			0 4 2 T																	5	0		1
									б)							1	2 3																	3	1 6																				2	.
																																5															0									0

82

		1	0	2	0
	2. Вычислите определитель	0	1	4	3
		2	2	1	6
		0	1	0	3

а) методом понижения порядка, б) методом приведения к треугольному виду. 3. Используя свойства определителя, докажите тождество:

ax	ay	az	az x y	1	y	1
x2	y2	0		x y y2		0	.
1	1	z		0	1	1

		0		0	2	0
			0	2	0	0
	4. Найдите матрицу, обратную для матрицы
		2		0	0	0
			0	0	0	2

а) методом Гаусса, б) методом присоединенной матрицы. 5. Решите матричное уравнение ABXA 1 A , где

	1		2	3				2		0	0
A		0	0	2		,	B		0 2		0
												.
		4	5	6					0	0	2

													1		2		2			0
6.	Вычислите ранг матрицы													2	1		4			1
																					.
														4	2		8			1
7.	Решите системы:
	x1 5x2 x3 6															2x1 x2 x3 x4 x5 10
			x2 4												б)
а) 2x1																x1 x2 x3 x4 2x5 1
	3x 5x x 0															x 2x							2			2x 2x 3x 1
		1	2 3														1									3	4	5
															Вариант 18
											1			2			1
							3																3
														0												0
					2						2						2				2
					1																1
												3							3
1. Вычислите: а)														0												0
					2				2								2				2
																										;
					0				0					1			0				0					1

83

5		3	1		3		0	4 T 1
б)	8	4	0		2	1	2	6			2	.

0 0 1 0

0 2 0 0

2. Вычислите определитель

3 0 0 0

1 2 3 4

а) методом понижения порядка, б) методом приведения к треугольному виду. 3. Используя свойства определителя, докажите тождество:

			sin2	sin2			cos2			sin2		sin2 1
			cos2	cos2			sin2				0		1	2	.
			0		1		1				1		0	0
									3 0			0	0
										0	0	0	3
4.	Найдите матрицу, обратную для матрицы
									0		0	3	0
										0	1	0	0
	а) методом Гаусса, б) методом присоединенной матрицы.
5.	Решите матричное уравнение AXB E , где
	1 0			0	2		0 0
		0	1			0	2 0
A				0 ,	B			.
		0				0	0 2
			0 1

	2		7	1	4
6. Вычислите ранг матрицы		5	3	2	6
						.
		3	10	3	2

7. Решите системы:

2x1 x2 3x3 5,				2x1 x2 3x3 2x4 4x5 1,
	4x2		x3 6,				5x3 x4		7x5 5,
а) x1				б) z 4x1 2x2
x 3x		2	5.		2x	x	x	8x	2x 0.
1					1	2	3	4	5

Вариант 19

84

3				1				0		1							3			0	3				1					0
	2										2						2					2
				2																					2
1																	1				1
							3		0					3						0								3			0
1. Вычислите: а)																																;
	2			2													2					2			2
											2
0					0 1 0												0			1 0						0 1

	1	3 T	1	1			2		3	5
б)			4								.
	5	4	1	1			1		4	1
							0	1	1		1
2. Вычислите определитель							1	1		0	0
						1		0		1	0
							1	0		0	1

а) методом понижения порядка, б) методом приведения к треугольному виду. 3. Используя свойства определителя, докажите тождество:

		sin2	sin2		sin2					sin2 sin2				sin2
		cos2	cos2		cos2					1		1		0	.
		1	1			2				0		0		1
											0		0	0	4
												0	0	4	0
	4. Найдите матрицу, обратную для матрицы
											0		4	0	0
												2	0	0	0
	а) методом Гаусса, б) методом присоединенной матрицы.
	5. Решите матричное уравнение (A 2X )A E , где
			2		0	2
				0	2	3
			A				.
				2	2	4
				6	3		4		6
	6. Вычислите ранг матрицы 5				4		0		1	.
				5	3		5		1
					3		4		7
				5

85

7. Решите системы:

x x 5x 6,				3x x x				x 2x 1,
1	2	3	12,		1	2	3	4	5	4,
а) 2x1 4x2 x3				б) 3x1 x2			x3	2x4	x5
x	3x	4x	2.	x	x	3x		6x	7x		0.
1	2	3		1	2		3	4	5
				Вариант 20

		1					0						3 1									0							3		1								0			3
				2																											2
													2 2														2															2
1. Вычислите: а)				0			1						0 0									1				0					0								1			0 ;
				3																						1					3
								0					1 3									0																	0			1
																										2
			2										2 2																		2											2
				3				2									T							1						1 1
													2 0
		б)		1			0															2								1						.
							5						1 1											1								1
			4
																								4		2			0		0
2. Вычислите определитель																								3		4			0		0
																								0		0			1		0
																								0		0			0		2
а) методом понижения порядка, б) методом приведения к треугольному виду.
3. Используя свойства определителя, докажите тождество:
	sin	cos		sin2						sin cos																1				cos										sin2
	cos	sin		cos2																						0			sin cos											1						.
	1	1					1																			0					1									1

		0		0	0	5
			0	0	5	0
	4. Найдите матрицу, обратную для матрицы
		0		5	0	0
			1	0	0	0

а) методом Гаусса, б) методом присоединенной матрицы. 5. Решите матричное уравнение ABCX A , где

1		0		,	0		2		,	0		4
A	0	2			B	2	0			C	4	0	.

86

														1						3	1
6.	Вычислите ранг матрицы															4				2		0 .
														1						3		1
																5				2
																						0
7. Решите системы:
	3x 2x				5x 1,																3x x									x x									2x 2,
		1		2	3														б)			1							2			3						4		5
а)		x1 4x2			x3 3,																3x1													x3 2x4 2x5 4,
		x			x 5.																6x					x					3x						6x			7x						11.
		1			3																	1							2			3						4		5
																			Вариант 21
					1															1																				1
															3																			3															3
																			0																		0															0
						2							2									2										2								2						2
										1																				1														1
									3															3																			3
1.	Вычислите: а)																		0																		0													0			;
						2							2									2								2																2
																																								2
					0								0						1 0											0							1			0								0 1
					5						1								1			0 T 4
						3				0			2							0										1
					б)																1											.
						4				2										1		2								2
																				1	1						1					1

1 1 0 0

2. Вычислите определитель

1 0 1 0

1 0 0 1

а) методом понижения порядка, б) методом приведения к треугольному виду. 3. Используя свойства определителя, докажите тождество:

a3	1	a2 a 1	a2 a 1 b2 b 1		a 1	0	1
b3	1	b2 b 1			b 1	0	1		.
1	1	0			0	1	0

87

										0		3	0	0
											3	0	0	0
	4. Найдите матрицу, обратную для матрицы
										0		0	0	6
											0	0	6	0
	а) методом Гаусса, б) методом присоединенной матрицы.
	5. Решите матричное уравнение A3BX E , где
	0	2	1	1
	z A	,	B	.
	2	0	1	1
				5		3	4	6
					4	0	1	2
	6. Вычислите ранг матрицы z								.
					3	5	1	2

7. Решите системы:

5x 2x				x 5,														3x x x 3x 2x 2,
	1	2			3												б)		1						2		3				4	5
а)	x1 4x2 x3 7,																	6x1 x2 2x3 3x4 4x5 3,
	x x		2		1.													9x 2x 3x 6x x 1.
	1																		1						2				3			4 5
																	Вариант 22
											1						2										1
								3													3
											0														0
						2													2
1. Вычислите:											2														1		2
					а) 0						1 0								0								0			;
						1					3								1								3
											0														0
																			2								2
						2					2
																			1						2 T
					б) 1 2
											1 3 T								2 2								1 .
																	1								2
																			1								1
																									1		3				2	0
																									0		1				0	0

2. Вычислите определитель

1 2 3 0

1 1 1 1

а) методом понижения порядка, б) методом приведения к треугольному виду. 3. Используя свойства определителя, докажите тождество:

88

a4	b4	1	a2 b2 b2	a2 b2	b2	0
a2	b2	1		1	1	0	.
0	0	1		0	0	1

0		7	0	0
	1	0	0	0
4. Найдите матрицу, обратную для матрицы
0		0	0	7
	0	0	1	0

	а) методом Гаусса, б) методом присоединенной матрицы.
5.	Решите матричное уравнение AX B 2C , где
		1		1 1				1							1					2								2 3						0
	A		0			B			0						3					4			,		C				4 3					5
				1 1 ,																															.
			0						2 0																				1 1					0
				0 1																1
													7							6		4			3
6.	Вычислите ранг матрицы														2					1		5			3
																											.
															0					7		4		3
7.	Решите системы:
	x 2x x 3,																				3x x x x												2x 2,
		1		2	3															б)			1				2			3		4			5
а) 2x1 5x2 x3 3,																					6x1 x2 2x3 3x4 4x5 6,
	x	2x		x	7.																9x x							3x			6x				7x				11.
	1		2	3																			1				2			3				4				5
																				Вариант 23
									0						0					3
						1																			5			2 T 0								1
									3						1
1.	Вычислите:				а)		0														;		б)			1			0			1			2			2E .
									2						2
																										4			1			1			3
									1						3
							0
															2
									2															3			2			5				1
2.	Вычислите определитель																							1			7			2				0
																								5			1			10				2
																								13			6			15				3

а) методом понижения порядка, б) методом приведения к треугольному виду.

89

3. Используя свойства определителя, докажите тождество:

							2ab a2 b2 b																a b												1 b a b
							2ab a2 b2 c																b c					2ab							1	c b c			.
							2ab a2 b2 d																c d												1 d c d
																																			8			0	0	0
																																				0		0	0	8
4.	Найдите матрицу, обратную для матрицы
																																				0		0	8	0
																																				0		8	0	0
	а) методом Гаусса, б) методом присоединенной матрицы.
5.	Решите матричное уравнение AXB C , где
		2		1			B		3						2										2							4
	A				,														,		C												.
		3 2							5						3										3						1
																		2			7				1				4
																				0	3		2						0
6.	Вычислите ранг матрицы																															.
																		1			3				1				0
																				3	0		3						2
7.	Решите системы:
	5x x				x		14,													x 2x 3x												2x				4x		1,
			1	2	3										б)						1		2						3					4			5
а) 2x1			x2 x3 5,																		4x1 4x2 x3 x4 6x5 2,
	3x		5x		1.																2x 2x x 6x 2x 0.
		1		2																			2						3					4			5
																					Вариант 24
															1														1						2
											3														3
																				0													0
									2														2						2
															2
									1														1
																	3													3
1. Вычислите: а)																				0													0			;
									2						2														2
																							2
									0						0					1			0						0				1
										5					4				T		2 0								3				1			0
						б) 3									1										1				2					2		1	.
										2											4													1		3

90