Алгебра

все элементы, кроме a12 и a22 , обратить в ноль.

Окончательно после многократного применения указанной процедуры и отбрасывания нулевых строк преобразованная матрица будет иметь вид:

	a11
		0
		...
A
		0
		0

Тогда ранг матрицы A равен

a12 ...	a1,r 1
a22 ...	a2,r 1
... ...	...
0 ...	ar 1,r 1
0 ...	0

rang A rang A .

a1r	...	a1n
a2r	...	a2n
...	...	...
ar 1,r	...
		ar 1,n
arr	...	arn

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Системы m линейных уравнений с n неизвестными. Определения

Рассмотрим систему линейных уравнений вида

a11x1 a12 x2 . . . a1n xn b1,

		a22 x2 . . . a2n xn b2 ,
a21x1
			. . .	(1)
a x		a x	. . . a x	b .
	m1 1	m2 2	mn n	m

Решением системы линейных уравнений (1) называется такое множество чисел x1 , x2 ,..., xn , при подстановке которых в каждое из уравнений системы по-

лучается верное равенство.								записана в матричном виде A X B , где
Система		(1)	может		быть
a11		a12 ...			a1n
a		a		...	a			- основная матрица системы,
A 21			22			2n
...		... ...			...
		am2 ...
am1					amn
x1									b1
x		- столбец неизвестных,							b		- столбец свободных членов.
X 2									B 2
...									...
xn									bm

Система линейных уравнений (1) называется неоднородной, если матрица B не является нуль матрицей O , и называется однородной, если B O . Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет решения, и называется несовместной - в противном случае. Система называется определенной, если она имеет единственное решение, и называется неопределенной, если она имеет бесконечное множество решений.

Системы n линейных уравнений с n неизвестными

В этом случае матрица A – квадратная. Определитель матрицы A называется главным определителем системы линейных уравнений и обозначается сим-

101

(n r)

волом .

Метод Крамера решения систем n линейных уравнений с n неизвестными

Правило Крамера. Если главный определитель системы линейных уравнений не равен нулю, то система совместна и определена, причем единственное решение вычисляется по формулам Крамера:

x1		1	, x2		2	,… xn		n	.

Здесь i - определители, получаемые из главного определителя системы заменой i -го столбца на столбец свободных членов.

Системы m линейных уравнений с n неизвестными

			a11	a12		...	a1n		b1
Матрица A		B	a	a		...	a		b
			21		22		2n		2		называется расширенной матрицей
			...	...		... ...			...
				a		...	a		b
			a
			m1	m2			mn		m

системы.

Теорема Кронекера Капелли. Для того чтобы система линейных уравнений (1) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы системы, rang( ) rang .

Если rang( ) rang то система заведомо не имеет решений. Eсли rang( ) rang , то возможны два случая:

1) rang A n (числу неизвестных) решение единственно и может быть по-

лучено по формулам Крамера;

2) rang A n решений бесконечно много.

Схема отыскания решения системы m линейных уравнений с n неизвестными

Пусть rang( ) rang r и rang A n . Тогда любой отличный от

нуля минор, составленный из коэффициентов матрицы порядка r , можно выбрать в качестве базисного, при этом неизвестные xi , имеющие своими коэффициентами элементы базисного минора, называются базисными неизвестными, а остальные неизвестных свободными. Свободные неизвестные могут принимать произвольные значения. Пусть, для определенности, базисный минор располагается в первых r строках и r столбцах матрицы A системы:

102

a11

a12

...

a1r

a21

a22

...

a2r

0

.

... ... ... ...

ar1

ar 2

...

arr

Тогда

x ,

x , ...,

x

– базисные неизвестные, а

x

, ...,

x

– свободные

1

2

r

r

1

n

неизвестные.

Перенесем свободные неизвестные в правую часть уравнений системы:

a11x1		a12 x2		... a1r xr	b1 a1,r 1xr 1				... a1n xn ,
		a22 x2		... a2r xr	b2	a2,r 1 xr 1 ... a2n xn ,
a21x1
...........................................................................											(2)
a	x	a	x	... a x	b	a	r,r 1	x	... a		x .
	r1 1		r 2 2	rr r	r			r 1		rn n

Система (2) равносильна исходной системе (1); ее решение может быть найдено или по формулам Крамера, или матричным способом. При этом базисные

неизвестные x1,

x2 , ...,

xr

выражаются определенным образом через свобод-

ные. Если свободные неизвестные принимают значения xr 1

c1 ,

xr 2

c2 , …,

xn

cn r , то базисные неизвестные выражаются через свободные

xi

xi (c1, c2 , ...,

cn r ) , i 1, 2,..., r .

Общее решение неоднородной системы A X B можно записать в виде мат-

рицы–столбца:

c ,

x

c ,

...,

c

n r

1

1

2

x2 c1 ,

c2 ,

...,

cn r

X c ,

....................................

c

,

..., c

x

c ,

c ,

...,

c

1

2

n r

r

1

2

n r

.

c1

...

cn r

Поскольку свободные неизвестные могут принимать произвольные числовые значения, то исходная система имеет бесконечно много решений.

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Элементарными преобразованиями системы являются следующие:

1)перемена местами двух любых уравнений системы;

2)умножение любого уравнения системы на произвольное число k 0;

3)прибавление к одному уравнению системы другого уравнения, умноженного на произвольное число k 0.

Элементарным преобразованиям уравнений соответствуют элементарные

103

преобразования строк расширенной матрицы системы . Заметим, что эле-

ментарные преобразования матрицы не изменяют ее ранга.

Метод Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных, при этом матрица, соответствующая базисному минору (см. систему (4)), преобразуется к треугольному виду элементарными преобразованиями строк:

a		a ...
	11	12
	0
		a22 ...

... ... ...
	0	0 ...

a1r a2r

...

arr

b1	a1,r 1c1	a1,r 2 c2		a1,n cn r
b2	a2,r 1c1	a2,r 2 c2		a2,n cn r .
....................................................
br ar,r 1c1		ar,r 2c2
				ar,n cn r

Наиболее удобен метод Гаусса – Ньютона, в котором матрицу, соответствующую базисному минору, приводят не к треугольному, а к единичному виду. При этом сразу получается решение системы уравнений:

1		0	...	0
					b1	a1,r 1c1		a1,r 2 c2		... a1,n cn r
	0	1	...	0	b a		c	a	c	... a c
		... ... ...			2	2,r 1 1		2,r 2 2		2,n n r .
...					....................................................
	0	0	...	1	b	a	c	a	c	... a c
					r	r,r 1 1		r,r 2 2		r,n n r

Заметим, что в полученной слева матрице некоторые диагональные элементы могут быть не единицами, а нулями. В этом случае, если справа выражение не равно нулю, то система несовместна.

Однородные системы

Однородная система имеет вид:

a11x1 a12 x2 ...			a1n xn 0,
	a22 x2		a2n xn 0,
a21x1
............................................
a x	a	x ...	a	x	n	0,
m1 1	m2	2	mn

ей соответствует матричное уравнение O .

Однородная система всегда совместна, так как r(A) r A B , посколь-

ку нулевой столбец не меняет ранг матрицы, всегда существует нулевое решение (0, 0, ..., 0) .

Для того чтобы однородная система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы r = r(A) n .

Для того чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы

0 .

104

Если r n , то заведомо 0 , тогда возникают свободные неизвестные c1, c2 , ..., cn r , система имеет нетривиальные решения, причем их бесконечно много.

Общее решение X при r n может быть записано в матричном виде следующим образом:

X c1 X1 c2 X2 ... cn r X n r ,

где решения X1, X2 , ...Xn r образуют фундаментальную систему решений.

Фундаментальная система решений может быть получена из общего решения однородной системы

						x			c ,	c			,	...,	c	n r
							1		1		2
						x2			c1 ,	c2 ,				...,	cn r
X c ,							....................................
	c		,	..., c	n r	x		r	c ,	c			,	...,	c		n r
1		2							1			2	c1						,
													...
												cn r

если последовательно полагать значения параметров равными 1, 0, , 0 ,

0, 1, , 0 ,…, 0, 0, ,1 .

Запись общего решения в виде линейной комбинации решений, принадлежащих к фундаментальной системе, именуется разложением общего решения по фундаментальной системе решений.

105

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Бугров Е.С. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии /

Е.С. Бугров, С.М. Никольский. М.: Наука, 1984.

2.Бугров Е.С. Высшая математика: Задачник / Е.С. Бугров, С.М. Никольский.

М.: Наука, 1982.

3.Сборник задач по математике для втузов / под редакцией А.В. Ефимова. М.:

Наука, 1993. Т.1; 1994. Т.2.

4.Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры /

Д.В. Беклемишев. М.: Наука, 1984.

5.Наумов В.А. Руководство к решению задач по линейной алгебре и аналитической геометрии / В.А. Наумов. М.: Наука, 1993.

6.Фадеев Д.К. Сборник задач по высшей алгебре / Д.К. Фадеев, Н.С. Соминский. М.: Наука, 1997.

7.Беклемишева Л.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре / Л.А. Беклемишева, А.Ю. Петрович, И.А. Чубаров. М.: Наука, 1987.

8.Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике / Л.А. Кузнецов М.: Высшая школа, 1994.

106

Учебное издание

Соболев Александр Борисович Вигура Марина Александровна Рыбалко Александр Федорович Рыбалко Наталья Михайловна Батекина Ирина Адольфовна, Мохрачева Людмила Павловна

МАТЕМАТИКА

Часть 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Редактор Н.П. Кубыщенко

Компьютерная верстка А.Ф. Рыбалко

____________________________________________________________________

Подписано в печать		Формат 60х84 1/16
Бумага типографская	Плоская печать	Усл.печ.л. 6,16
Уч.-изд.л. 5,8	Тираж	Заказ

____________________________________________________________________

Редакционно-издательский отдел УрФУ 620002, Екатеринбург, ул. Мира, 19

ООО «Издательство УМЦ УПИ» 620002, Екатеринбург, ул. Мира, 17