Лекции Стечкина по матану

Часть IV

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

ИСЧИСЛЕНИЕ

ФУНКЦИЙ

МНОГИХ

ПЕРЕМЕННЫХ

211

Глава 11

Функции многих переменных

§ 47. Метрическое пространство

Основным понятием метрического пространства является понятие расстояния.

Определение. Метрическим пространством называется произ-

вольное множество, в котором определено расстояние.

Будем обозначать метрическое пространство R = {M, ρ} , где M – множество элементов, или точек, метрического пространства; ρ = ρ(x, y) – расстояние между точками x и y.

Пусть (x, y) – упорядоченные пары точек множества M . Поставим в соответствие парам (x, y) расстояние между точками x и y:

ρ

(x, y) −→ R+ .

Расстояние – функционал, или числовая функция, определенная для всевозможных пар точек из M , которая обладает следующими свойствами: для любых элементов x, y, z M

1)ρ(x, y) ≥ 0 ;

2)ρ(x, y) = 0 x = y ;

3)ρ(x, y) = ρ(y, x) (симметричность);

4)ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z) (неравенство треугольника).

212

Примеры. 1) Очевидно, числовая прямая E1 = R , на которой введено расстояние ρ(x, y) = |x − y| , является метрическим про-

странством.

2) Евклидово пространство E – линейное пространство, в котором задано скалярное произведение (x, y) , причем соответствующая квадратичная форма (x, x) положительна. В евклидовом пространстве есть нейтральный элемент θ . Это такой элемент, что x + θ = x для любого элемента x E .

p

Пусть kxk = (x, x) ≥ 0 – норма элемента в евклидовом про-

странстве. Введем

ρ(x, y) = kx − yk

– евклидово расстояние между точками x и y . Тогда евклидово

пространство превращается в метрическое. Аксиомы 1), 2), 3) очевидно, выполняются.

Неравенство Коши – Буняковского. Для любых элементов x и y евклидова пространства E имеет место неравенство Коши – Буняковского

|(x, y)| ≤ kxk · kyk ,

или

p

|(x, y)| ≤ (x, x) (y, y) ,

или

(x, y)2 ≤ (x, x) (y, y) .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для любого элемента z из евклидова пространства (z, z) ≥ 0 . Следовательно, для произвольных чисел

α, β

	(αx + βy, αx + βy) ≥ 0,
откуда
	α2 (x, x) + 2αβ (x, y) + β2 (y, y) ≥ 0 .
Последнее	неравенство выполняется для произвольных	чисел
α, β , 2 если	дискриминант (x, y)2 − (x, x) (y, y) ≤ 0 ,	откуда
(x, y) ≤ (x, x) (y, y) .
		213

2 семестр Лекция 12 (27.03.68)

3) Если x = (a1, ..., an) , y = (b1, ..., bn) – векторы из En , то

скалярное произведение определяется формулой

(x, y) = a1b1 + ... + anbn .

	n	1
Тогда	kxk = ©Pk=1 ak2 ª 2		и

v

¯¯

n

u n n

¯¯

XX X

¯	akbk	¯ ≤ u	ak2 · bk2
¯		¯ t

¯¯

k=1

k=1

k=1

–неравенство Коши.

4)В пространстве функций x = x(t) C [0, 1] скалярное про-

изведение зададим формулой

		1
		(x, y) = Z0		x(t)y(t)dt .
Тогда
¯	1	v
				1	1
		¯ u

¯¯

Z Z Z u

¯¯

¯	x(t)y(t)dt	¯	≤ u	x2(t)dt · y2(t)dt
			t

¯¯

¯¯

0

0

0

– неравенство Буняковского.

Возьмем n линейно независимых непрерывных на отрезке [0, 1] функций x1(t), x2(t), ...xn(t) . Натянутое на них линейное пространство будет n-мерным евклидовым пространством.

Замечание. Введение скалярного произведения в вещественном линейном (векторном) пространстве позволяет ввести много геометрических понятий. Например, если (x, y) = 0 , то элементы x и y

называются ортогональными: x y .

Из неравенства Коши – Буняковского

−1 ≤	(x, y)	≤ 1 .
	kxk · kyk

214

Определим

(x, y) cos ϕ = kxk · kyk .

Тогда угол ϕ ( 0 ≤ ϕ ≤ π ) между двумя векторами x и y опреде-

ляется однозначно.

Таким образом, евклидово пространство – это такое линейное пространство, в котором может быть введено понятие угла между век-

торами.

Неравенство Минковского. Для любых векторов x и y евклидова пространства E верно неравенство Минковского

kx + yk ≤ kxk + kyk .

Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу билинейности скалярного произведения и неравенства Коши – Буняковского

kx + yk2 = (x + y, x + y) = (x, x) + 2 (x, y) + (y, y) =

= kxk2 + 2 (x, y) + kyk2 ≤ kxk + 2 kxk · kyk + kyk2 = (kxk + kyk)2 .

Отсюда получаем kx + yk ≤ kxk + kyk .

E

n

Примеры. Для векторов x = (a1, ..., an) , y = (b1, ..., bn) из

неравенство Минковского имеет вид

v

v

+ v

n

(ak + bk)2

n

ak2

n

bk2 .

uk=1

≤ uk=1

uk=1

uX

uX

uX

t

t

t

Для интегралов

v

v

+ v

1

x(t) + y(t) 2 dt

1 x2(t)dt

1 y2

(t)dt .

uZ

{

}

≤ uZ

uZ

u0

u0

u0

u

u

u

t

t

t

Докажем, что расстояние в евклидовом пространстве удовлетворяет неравенству треугольника (4-ое свойство). x, y, z E положим x − y = a , y − z = b . Тогда x − z = a + b и по неравенству Мин-

ковского

ka + bk ≤ kak + kbk

и свойство 4) метрических пространств доказано.

215

Таким образом, мы доказали следующую теорему.

Теорема. Евклидово пространство, в котором введено расстояние

ρ(x, y) = kx − yk , является метрическим пространством.

Замечание. В одном и том же векторном пространстве можно ввести разные расстояния. Так, для элементов x = (a1, ..., an) , y = (b1, ..., bn) из множества

X = {x : (a1, a2, ..., an)}

расстояние

ρ (x, y) = v	n	(ak	−	bk)2	,
u
uX
t
k=1

удовлетворяет всем аксиомам расстояния в метрическом пространстве. Так мы получим метрическое пространство R = {X, ρ} . Но

если введем расстояние по формуле

n

X

ρ1(x, y) = |ak − bk| ,

k=1

то это расстояние тоже удовлетворяет всем аксиомам, и мы полу-

чим другое метрическое пространство R1 = {X, ρ1} . Замечание. Если {X, ρ} – метрическое пространство и Y X , то

{Y, ρ} автоматически является метрическим пространством. Например, если положим для элементов из X = {x : (a1, a2, ..., an)} an = 0 , то получим подпространство Y пространства X . При этом расстояние между элементами из подпространства Y индуцируется расстоянием в пространстве {X, ρ} . Получим сужение метрического пространства {X, ρ} на подпространство {Y, ρ} .

§48. Множества в метрических пространствах

Рекомендованная литература [9].

48.1.Окрестность точки в метрическом пространстве

Пусть R = {X, ρ} – метрическое пространство с определенным на множестве X расстоянием ρ . Пусть a X . Зададим ε > 0 .

216

Определение. ε -окрестностью		Oε(a) точки a называется мно-
жество всех точек x таких, что ρ (x, a) < ε .
Таким образом,	Oε(a) = {x X : ρ(x, a) < ε} . Если O(a) –
окрестность точки	a , то ε > 0	O(a) = Oε(a) .

Множество точек, составляющих ε -окрестность точки a называет-

ся шаром радиуса ε с центром в точке a .

Пример. В пространстве E2 рассмотрим расстояние (рис. 11.1)

q

ρ (a, b) = (a1 − b1)2 + (a2 − b2)2 .

Если введем расстояние ρ1 (a, b) = |a1 − b1| + |a2 − b2| , то окрест-

ность изменится (рис. 11.2). Таким образом, если меняется пространство, то меняется и окрестность.

ε

a

Рис. 11.1. Окрестность в пространстве E2 с расстоянием

q

ρ (a, b) = (a1 − b1)2 + (a2 − b2)2 .

a

Рис. 11.2. Окрестность в пространстве E2 с расстоянием

ρ (a, b) = |a1 − b1| + |a2 − b2| .

217

Пример. На множестве X = N рассмотрим метрическое пространство с обычным расстоянием ρ(x, y) = |x − y| . Здесь множество {2, 3} не будет окрестностью, так как нет точки из X, явля-

ющейся центром окрестности. Всегда центр окрестности должен принадлежать множеству X элементов пространства. В этом метрическом пространстве при ε ≤ 1 окрестностью точки является сама точка; если 1 < ε ≤ 2 , то окрестность точки состоит из самой

точки и двух соседних точек.

Замечание. Метрическое пространство не обязательно линейное. Это множество элементов с введенным на нем расстоянием. В метрическом пространстве складывать элементы и умножать на числа, вообще говоря, нельзя.

В любом непустом множестве можно так ввести расстояние, что множество будет метрическим пространством.

Пример. Пусть X 6= . Для любых элементов x, y X опреде-

½	0 ,	x = y
лим расстояние ρ0(x, y) =	1 ,	x 6= y .

Пусть R = {X, ρ} – метрическое пространство и M X . Сле-

дующие понятия, которые ранее определялись посредством окрестностей, переносятся на метрические пространства автоматически.

1. Точка a – внутренняя точка множества M , если O(a)

O(a) M ;

Пример. Пусть M = X = N и ρ(x, y) = |x − y| . Всякая точка множества M является его внутренней точкой. Действительно,

O 1 (a) = a N .

2

2.Точка a , a X , – внешняя точка множества M , если O(a)

O(a) T M = ;

3.Точка a , a X , – граничная точка множества M , если

T T

O(a) x M O(a) x¯ (CM ) O(a) ;

4. Точка a , a X , – предельная точка множества M , еслиO(a) b M , b 6= a , b O(a) ; т. е. a – предельная точка множества M , если O(a) O(a) T (M \a) 6= .

5. Точка a , a M , – изолированная точка множества M , если

T

O(a) O(a) M = {a} .

Соответственно определяются

o

M – внутренность множества M – множество внутренних точек множества M ;

218

Me – внешность множества M – множество внешних точек множества M ;

∂M – граница множества M – множество граничных точек

множества M ; ∂M = ∂ (CM ) .

Определение. Множество называется открытым, если всякая его

точка является внутренней точкой множества. Множество M от-

o

крыто, если M = M .

Определение. Множество называется замкнутым, если оно со-

держит все свои предельные точки.

2 семестр Лекция 13 (29.03.68)

Пусть дано метрическое пространство R = {X, ρ} и множество

M X .

Определение. Производное множество M ′ – множество всех

предельных точек множества M .

Определение. Множество M , M X , называется всюду плотным в X , если всякая точка x X или принадлежит M или является для M предельной, т. е. X = M S M ′ .

Мощность всюду плотных множеств является характеристикой

массивности метрического пространства.

Определение. Если для X существует всюду плотное в X счетное множество M , то метрическое пространство R называется сепарабельным.

Пример. Числовая прямая – сепарабельное пространство. Множество рациональных точек есть всюду плотное счетное множество на числовой прямой.

48.2.Открытые и замкнутые множества в метрическом пространстве

Теорема. Всякая окрестность есть открытое множество.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть R = {X, ρ} – метрическое пространство, a X и M = O(a) – некоторая окрестность точки a . Тогда существует ε > 0 такое, что M состоит из тех и только тех точек x, для которых ρ (x, a) < ε . Пусть b M (рис. 11.3),

219

b

a

Рис. 11.3. Окрестность – открытое множество.

тогда ρ (a, b) = ε1 < ε . Зададим η > 0 такое, что 0 < η < ε − ε1 , и рассмотрим окрестность Oη (b) . Этой окрестности принадлежат

все точки y такие, что ρ (y, b) < η . Покажем, что Oη (b) O(a) . Зафиксируем точку y Oη (b) . Тогда по неравенству треугольника

ρ (a, y) ≤ ρ(a, b) + ρ(b, y) < ε1 + η < ε .

Значит y O(a) для	любой точки y Oη (b) и, следовательно,
Oη (b) O(a) .	R = {X, ρ} – метрическое пространство и
Упражнение. Пусть

множество M X . Доказать, что граница ∂M – замкнутое мно-

жество.

Теорема (о дополнении к замкнутому множеству). Для того, чтобы множество M было замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы его дополнение CM = X\M было открытым.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть M замкнуто. Докажем, что CM открыто. Пусть y CM . Надо показать, что существует окрестность O(y) такая, что O(y) CM . Допустим

противное. Тогда O(y) x O(y)			x M ,				x 6= y . Значит y
– предельная точка множества	M , она принадлежит M в силу
замкнутости. Противоречие.
Д о с т а т о ч н о с т ь. Докажем, что если							CM открыто, то
M замкнуто. Надо показать, что если			y			M ′	(т. е. если		O(y)
T
x M O(y) , x 6= y ), то y M .
Допустим, что это неверно, т. е.		O(y)		CM . Но тогда y не явля-
ется предельной точкой для M . Противоречие.
220