Лекции Стечкина по матану

2 семестр Лекция 5 (28.02.68)

Теорема Кантора (обобщенный вариант). Пусть функция f (x) определена и ограничена на отрезке [a, b] и пусть существует число ω ≥ 0 такое, что ωf (x) ≤ ω для всех x [a, b] . Тогда для любого ε > 0 существует такое разбиение T на частичные

отрезки σk = [xk−1, xk] ( k = 1, 2, ...n ), что ω [σk] < ω + ε для любого k.

Замечание. Для непрерывной функции ωf (x) = 0 для всех x [a, b] , и из этой теоремы следует теорема Кантора о равно-

мерной непрерывности непрерывной на отрезке функции.

Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы. Обозначим ωk = ω [xk−1, xk] . Пусть заключение теоремы не выполняется, т. е. пусть ε0 > 0 T

k0 ωk0 ≥ ω + ε0 . Зафиксируем это ε0 .

Зададим стремящуюся к нулю произвольную последовательность положительных чисел {δm} . Тогда для Tm , d(Tm) < δm ,km ωkm ≥ ω + ε0 , т. е. колебание функции f (x) на отрезке [xkm −1, xkm ] не меньше ω+ε0 . Значит, существуют две такие точки am и bm из этого отрезка, что |f (am) − f (bm)| ≥ ω + ε20 . Расстояние между точками am и bm

|am − bm| ≤ |xkm − xkm −1| ≤ d(Tm) < δm .

Выберем из {am} и {bm} подпоследовательности {a′m} и {b′m} ,

сходящиеся к числу c [a, b] : am′	→ c , bm′ → c при m → ∞ .
Если c внутренняя точка отрезка	[a, b] , то для любого отрезка

[α, β] , содержащего точку c строго внутри себя, мы получим, что a′m, b′m [α, β] для всех достаточно больших m. Значит,

ω [α, β] ≥ |f (a′m) − f (b′m)| ≥ ω + ε20 .

Отсюда следует, что ω(c) ≥ ω + ε20 , т. е. мы нашли такую точку c, что ω(c) > ω , что противоречит условию теоремы. Аналогично

рассматривается случай концевых точек отрезка [a, b] .

Определение. Говорят, что точечное множество E [a, b] имеет длину 0 ( l(E) = 0 ), если для любого ε > 0 существует такое

конечное покрытие множества E отрезками {σk} ( k = 1, 2, ...n ),

n

что сумма длин всех этих отрезков P l(σk) < ε .

k=1

171

Заметим, что конечное множество имеет длину 0, счетное множество может иметь длину l 6= 0 и множество мощности континуум может иметь длину l = 0 .

Пример. Канторово множество. Возьмем отрезок [0, 1] , разде-

лим его на три равные части и выбросим среднюю треть – интервал ¡ 13 , 23 ¢ длины 13 . Останется множество A1 длины 23 , состоящее из

двух отрезков. На следующем шаге каждый из этих двух отрезков разделим на три равные части и выбросим центральные интервалы

длины	1 каждый. В результате мы выбросим множество суммар-
	9				4
ной длины 2 и получим множество A2 длины						, состоящее из
	9				9
четырех отрезков длины		1 , и так далее. На n-ом шаге получим
		9	n		1		n
множество An , состоящее из 2				отрезков длины				. Множество
					3
∞				нуль, так как для
K =	An имеет мощность континуума и длину ¡					¢
n=1
всякогоT n содержится во множестве An длины					32 n .
Пусть функция f (x)				a, b] . Для любого
		определена на отрезке [¡				¢
ε > 0	обозначим через	E(ε)	множество тех точек x из отрезка
[a, b] , для которых ω (x) ≥ ε .

Теорема (критерий Дюбуа – Реймона) 1) . Для того, чтобы функция f (x) была интегрируема на отрезке [a, b] , необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие два условия:

1) функция f (x) ограничена на отрезке [a, b] ;

2)для любого ε > 0 длина l(E(ε)) = 0 .

До к а з а т е л ь с т в о. Н е о б х о д и м о с т ь. Воспользуемся критерием интегрируемости Римана. Если функция интегрируема

на [a, b] , то она ограничена на [a, b] и	ε > 0 η > 0 T –
разбиение отрезка [a, b] такое, что	xk < η . Заметим, что
k, ωk ≥ε
если отрезок [xk−1, xk] = σk из разбиенияP	T содержит внутри себя

точку x , для которой ω(x) ≥ ε , то и ωk ≥ ω(x) ≥ ε .

Зададим произвольное ε > 0 . Тогда, согласно критерию Рима-

P

на выполняется условие xk < η . Все точки x, в которых

k, ωk ≥ε

колебание не меньше ε , за исключением, быть может конечного

числа точек, принадлежат тем отрезкам, на которых колебание не

1) Известен критерий Лебега (см. [9]) интегрируемости по Риману: для того,

чтобы функция была интегрируема по Риману необходимо и достаточно,

чтобы функция была ограничена и множество ее точек разрыва имело меру Лебега нуль. (Ред.)

172

меньше ε . Значит E(ε)	[xk−1, xk] . Отрезки [xk−1, xk] = σk
k,ωk ≥ε		P≥
l(E(ε)) < η для любого η и l(E(ε)) = 0 .
мы можем принять за отрезкиS покрытия, а			xk < η . Значит
	k,ωk ε
Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть функция		f (x) ограничена на
отрезке [a, b] и l(E( ε )) = 0	для любого ε > 0 . Это означает, что
2

для любого η > 0 существует покрытие множества E интервалами

		n		n
{σm} такое, что E( 2ε ) k=1 σk			и	k=1 l(σk) < η .
Рассмотрим	оставшиеся непокрытыми отрезки. Во всех точках
		S		P
этих отрезков колебание		ω(x)	<	ε	и значит, к каждому из них
				2

применима теорема Кантора. Применим ее и получим, что каждый из этих отрезков можно разделить на такие отрезки, что колебание

в каждом из них меньше	ε	+ ε	= ε . Все отрезки дают некоторое
	2	2
разбиение T, для которого отрезки, на которых ω				k ≥	ε , принадле-
жат покрытию {σm} . Но		n
		l(σk) < η . Значит и			xk < η .
	k=1			k, ωk ≥ε

P P

Таким образом, выполняется критерий интегрируемости Римана, и

значит, функция интегрируема.

Замечание о вычислении определенного интеграла. Если из-

			b
вестно, что f (x) R [a, b] , то для вычисления интеграла			a f (x)dx
можно искать	lim S(T, ξ) по какой-нибудь	подпоследователь-
			R

d(T )→0

ности разбиений отрезка. Например, можно взять равномерное

разбиение отрезка на отрезки длины

h =

b−a

и в качестве ξk

xk−1+xk

n

взять середины этих отрезков

ξk

=

, где xk = a + kh

( k = 0, 1, 2, ..., n ). Тогда

2

b

n

µ

¶

Z

2

·

n

n→∞ k=1

I = f (x)dx =

lim

f

xk−1 + xk

b − a

.

a

X

§ 39. Классы интегрируемых функций

Следствие из критерия Дюбуа – Реймона. Всякая ограниченная на отрезке функция, имеющая конечное число точек разрыва, интегрируема на этом отрезке.

В самом деле, для такой функции E(ε) конечно и, значит

173

l(E(ε)) = 0 . Тогда по критерию Дюбуа – Реймона функция ин-

тегрируема.

2 семестр Лекция 6 (01.03.68)

В частности, мы получаем из этого следствия, что непрерывные на отрезке функции интегрируемы на нем. Таким образом, если B [a, b] – множество функций, ограниченных на отрезке [a, b] , то

имеют место включения

C [a, b] R [a, b] B [a, b] .

Замечание. Существуют ограниченные функции, не интегрируемые по Риману.

Пример. На отрезке [0, 1]	функция Дирихле
1,	если x рационально,
D(x) = (0,	если x иррационально,

разрывна в каждой точке отрезка, l(E(ε)) = 1 > 0 для всех 0 < ε ≤ 1 . Следовательно, функция Дирихле не интегрируема по

Риману.

Дадим другое доказательство того, что всякая непрерывная функция интегрируема, не опираясь на критерий Дюбуа – Реймона.

Теорема об интегрируемости непрерывной функции. Всякая непрерывная на отрезке функция интегрируема на нем.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] . Тогда по теореме Кантора она равномерно непрерывна на этом отрезке и для любого ε > 0 существует такое разбиение T отрезка [a, b] , что ωk < ε для всех k = 1, 2, ...n . Для этого

разбиения

	n		n
	X	ωk xk ≤ ε	X
			xk = ε(b − a) .
	k=1		k=1
	n
Значит, inf	ωk	xk = 0 и функция интегрируема в силу крите-
T	k=1
рия Дарбу.	P
174

T k=1

Теорема об интегрируемости монотонной функции. Всякая ограниченная монотонная на отрезке [a, b] функция интегрируема на этом отрезке.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть для определенности функция f (x) монотонно возрастает на отрезке [a, b] . Так как функция ограничена, то существует M такое, что |f (x)| ≤ M для всех x [a, b] . Заметим, что в силу возрастания функции частичному отрезку [xk−1, xk] произвольного разбиения T соответствует колебание ωk , равное f (xk) − f (xk−1) .

Зададим ε > 0 . Построим произвольное разбиение T отрезка [a, b] диаметра d(T ) < ε , т. е. такое, что xk < ε ( k = 1, 2, ...n ).

Тогда

Pn

k=1 ωk

Отсюда inf

	xk < ε	P	n	ωk = ε	P	n	{= ε f (b) f (a)	2εM .
			k=1			k=1
							f (xk) − f (xk−1)} =
							{ −	} ≤
	n
	P ωk	xk = 0 и по критерию Дарбу функция интегри-

руема.

Теорема об интегрируемости характеристической функции. Для того, чтобы характеристическая функция χE (x) множества E была интегрируемой, необходимо и достаточно, чтобы граница ∂E множества E имела длину l(∂E) , равную нулю.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Все точки делятся на внутренние, граничные и внешние для множества E .

Если x0 Ei – внутренняя точка множества E , то существует окрестность O(x0) точки x0 , принадлежащая E , и тогда для всех точек этой окрестности χE (x) = 1 . Значит, χE (x) непрерывна в точке x0 , и колебание в этой точке равно нулю.

Если x0 – внешняя точка множества E и не является концом отрезка [a, b] , то существует окрестность O(x0) точки x0 , не принадлежащая E , и тогда χE (x) = 0 для всех точек x O(x0) . Значит, χE (x) непрерывна в точке x0 , и колебание в этой точке

равно нулю.

Если x0 – граничная точка, т. е. x0 ∂E , то в любой ее окрест-

ности существуют как точки, в которых функция принимает значение 0, так и точки, где функция принимает значение 1. Значит, множество всех таких точек x0 совпадает с границей множества E , причем ωχ(x0) = 1 . Тогда E(ε) отличается от ∂E не более,

175

чем двумя точками (концами отрезка [a, b] ) для любого ε такого, что 0 < ε ≤ 1 . Если же ε > 1 , то множество E(ε) пусто.

Согласно критерию Дюбуа – Реймона для интегрируемости функции χE (x) необходимо и достаточно, чтобы l(E(ε)) = 0 , а это будет тогда и только тогда, когда l(∂E) = 0 .

b

Замечание. R χE (x)dx = l(E) ≥ 0 – длина множества E . В слу-

a

чае l(E) = 0 это эквивалентно определению длины 0 .

Теорема. Множество R [a, b] есть кольцо функций (с обычным сложением и умножением функций).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для доказательства мы должны лишь проверить, что сумма двух интегрируемых функций f и g и произ-

ведение их – снова интегрируемые функции, так как все аксиомы кольца для интегрируемых функций выполняются, потому что они выполняются для функций вообще.

1) Пусть h = f + g . Так как f

и g – интегрируемые функции, то

для любого

ε > 0

существует разбиение T1 , для которого имеет

n2

n1

P

место неравенство

ωk(f )Δ xk < ε и существует разбиение

T2 ,

k=1

для которого

ωk(g)Δ xk < ε . Рассмотрим разбиение T, состоя-

k=1

и T

. Тогда имеем T

T

, T

T

щее из всех

точек разбиений T

1

2

1

2

P

и

n

n1

X

X

ωk(f )Δ xk ≤ ωk(f )Δ xk < ε ,

k=1

k=1

n

n2

X

X

ωk(g)Δ xk ≤ ωk(g)Δ xk < ε .

k=1

k=1

ω

(g) . Сложив почленно написанные

Заметим, что ωk(h) ≤ ωk(f ) + nk

выше неравенства, получим P ωk(h)Δ xk ≤ 2ε , значит, функция

k=1

h интегрируема по критерию Дарбу.

Попутно, переходя к пределу в соответствующем равенстве для интегральных сумм, получаем равенство

b	b		b
Za	{f + g} dx = Za	f dx + Za	gdx .
176

2) Пусть h = f g . Так как f и g интегрируемы на отрезке [a, b] , то они ограничены на этом отрезке, т. е. существует M такое, что |f (x)| ≤ M и |g(x)| ≤ M для всех x [a, b] . Рассмотрим разность

h(x) − h(x′) = f (x)g(x) − f (x′)g(x′) − f (x)g(x′) + f (x)g′(x) = = f (x) {g(x) − g(x′)} + g(x′) {f (x) − f (x′)} .

Значит

|h(x) − h(x′)| ≤ M |g(x) − g(x′)| + M |f (x) − f (x′)| ,

откуда

ωk(h) ≤ M {ωk(f ) + ωk(g)} .

Далее, аналогично доказательству в пункте 1) получим, что функция h интегрируема.

Определение. Функция f (x) называется абсолютно интегрируемой, если |f (x)| интегрируема.

Теорема об абсолютной интегрируемости. Всякая интегрируемая функция абсолютно интегрируема.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Надо доказать, что если f R [a, b] , то |f | R [a, b] . Из очевидного неравенства

||f (x)| − |f (x′)|| ≤ |f (x) − f (x′)|

следует, что ωk (|f |) ≤ ωk (f ) . Рассуждая аналогично пункту 1) предыдущей теоремы, получим, что функция |f | интегрируема.

Отметим, что обратная теорема не верна. Пример. Рассмотрим функцию

(

1, если x рационально,

f (x) =

−1, если x иррационально,

Функция |f (x)| тождественно равна единице и, значит, интегрируема. Однако функция f (x) не интегрируема хотя бы в силу критерия Дюбуа – Реймона, так как для f (x) E(2) = [a, b] , а l ([a, b]) = b − a =6 0 .

177

§ 40. Свойства интеграла Римана

40.1.Интеграл как функция отрезка интегрирования

1). Если b < a , то определим

b

a

ZZ

f (x)dx = − f (x)dx .

	a		b
			a
2). Если a = b , то определим			f (x)dx = 0 .
			a
3). Если f интегрируема на			отрезках [a, c] и [c, b] , то она
			R
интегрируема на отрезке [a, b] ,			причем
b	c		b
Za	f (x)dx = Za	f (x)dx + Zc		f (x)dx .

Таким образом, интеграл есть аддитивная функция от отрезков, по

которым он берется.

В самом деле, из интегрируемости функции на отрезках [a, c] и [c, b] получим

			[X]		X[ ]
			ωk	xk < ε,	ωk	xk < ε .
		[P]	a,c		c,b
	Отсюда		xk < 2ε , где разбиение T[a,b] есть сумма разбиений
		ωk

a,b

T[a,] и T[,b] . Значит, по критерию Дарбу функция f интегрируема на отрезке [a, b] . Для интегральных сумм, соответствующих разбиениям T[a,b] , T[a,c] и T[c,b] получим равенство

	S(T[a,b]) = S(T[a,c]) + S(T[c,b]) .
Переходя к пределу при		d(T[a,b]) → 0		(при этом d(T[a,c]) → 0 и
d(T[c,b]) → 0 ), получим формулу
	b	c		b
Za	f (x)dx = Za		f (x)dx + Zc		f (x)dx .
178

40.2. Интеграл как функционал

Определение. Отображение, для которого область значений составляют числа, называется функционалом.

Зафиксируем отрезок [a, b] . Тогда I(f ) = Rab f (x)dx – функци-

онал, отображающий функции в числа.

1). Интеграл есть линейный функционал: для любых чисел α β

I(αf + βg) = αI(f ) + βI(g) .

Действительно, так как R [a, b] – кольцо, то I(f + g) = I(f ) + I(g) .

Остается доказать, что

b		b
Za	αf (x)dx = α Za	f (x)dx .

Это равенство вытекает из соответствующего равенства для интегральных сумм.

2). Функционал I(f ) ограничен: существует такое K, что для всех функций f имеет место неравенство

|I(f )| ≤ K · kf k ,	где	kf k = sup |f (x)| .
		x [a,b]
В самом деле,		n
	X
I(f ) =	lim	f (ξk)Δ xk .
d(T )→0 k=1
Но	¯
¯ n

¯¯

X

¯f (ξk)Δ xk¯ ≤ kf k · |b − a| ,

¯¯

¯¯

k=1

откуда |I(f )| ≤ kf k·|b − a| . Следовательно, функционал I(f ) ограничен с константой K = b−a . При f (x) ≡ 1 последнее неравенство

обращается в равенство.

Пример неограниченного функционала. f → f ′(x0) = F (f ) –

неограниченный функционал.

3). Интеграл – положительный функционал: если функция f интегрируема на отрезке [a, b] и f (x) ≥ 0 для всех x [a, b] , то

I(f ) ≥ 0 .

179

В самом деле, в этом случае все интегральные суммы неотрица-

тельны, следовательно I(f ) ≥ 0 .

Следствие (монотонность интеграла). Если функции f (x) и g(x) интегрируемы на отрезке [a, b] и f (x) ≤ g(x) для всех x [a, b] , то I(f ) ≤ I(g) .

В самом деле I(g) − I(f ) = I(g − f ) ≥ 0 , так как g(x) − f (x) ≥ 0x [a, b] и интеграл – положительный функционал. Отсюда по-

лучаем, что I(g) ≥ I(f ) .

Теорема о среднем. Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] ( b > a ). Тогда существует точка c [a, b] такая, что

Z b

f (x)dx = (b − a) · f (c) .

a

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] , то она принимает на нем минимальное значение m и максимальное значение M. Если через S обозначим интегральную сумму, то m(b − a) ≤ S ≤ M (b − a) , откуда

m(b − a) ≤ I(f ) ≤ M (b − a) .

Из этого неравенства получим

m ≤ bI−(f )a ≤ M .

По теореме о промежуточном значении непрерывной функции существует такое c [a, b] , что f (c) = Ib−(fa) , а это и значит, что

Z b

f (x)dx = (b − a) · f (c) .

a

2 семестр Лекция 7 (06.03.68)

Пример. Функция Римана (рис. 9.3)

1	,	если x рациональное число	m ,
n			n
R(x) = (0,		если x иррациональное число,

180