Лекции Стечкина по матану

Глава 10

Приложения

интегрального

исчисления

§ 42. Вычисление площади

Пусть f (x) – непрерывная неотрицательная функция на отрезке [a, b] . Тогда площадь S(x) криволинейной трапеции на отрезке [a, x] , x [a, b] , будет первообразная для f (x) (см. п. 35.1, с. 152): S′(x) = f (x) . Значит, в качестве определения площади криволи-

							b
нейной трапеции можно взять интеграл Римана							f (x)dx со знаком
" + "для f (x)		0	и со знаком "		"для f (x)		a
	≥			−		≤	R0 . Тогда площадь
фигуры
D = {(x, y) : f2(x) ≤ y ≤ f1(x), a ≤ x ≤ b} ,
где f1(x) и f2(x)			– непрерывные на отрезке функции, можно опре-
			b

R

делить по формуле S(D) = (f1(x) − f2(x)) dx . Таким образом, с

a

помощью определенного интеграла можно вычислять площади таких фигур, которые разбиваются на конечное число криволинейных трапеций.

191

f1(x)

D

f2(x)

a	b

Рис. 10.1. Площадь фигуры.

§43. Формула Тейлора

состаточным членом в интегральной форме

Теорема (формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме). Пусть функция f (x) определена на (a, b) , n N , f (n)(x) C(a, b) и x0 (a, b) . Тогда для x (a, b) справедлива формула

f (x) = f (x0) +	f ′(x0)		(x − x0) + ... +	f (n−1)(x0)			(x − x0)n−1	+ rn(x),
	1!			(n	−	1)!

где

		1	x−x0
	rn(x) =		Z0	(x − x0 − t)n−1f (n)(x0 + t)dt .
		(n − 1)!

192

2 семестр Лекция 9 (08.09.67)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Ограничимся случаем x0 = 0 . Тогда

формула выглядит так:

f (x) = f (0) + f ′(0) x + ...+ 1!

+	f (n−1)(0)	xn−1	+		1
				(n − 1)!
	(n − 1)!

x

Z

(x − t)n−1f (n)(t)dt .

0

Остаточный член этой формулы можно переписать в виде

	1		x		1	x
rn(x) =			Z0	(x − t)n−1f (n)(t)dt =		Z0	tn−1f (n)(x − t)dt .
	(n − 1)!				(n − 1)!

Докажем эту формулу индукцией по n . Интегрируя по частям (положим u = f ′(x − t) , dv = dt и т.д.), получим

x

x

f (x) − f (0) = Z0

f ′(x − t)dt = x f ′(0) + Z0

t f ′′(x − t)dt =

x2

1

x

= x f ′(0) + f ′′(0)

Z0 t2f

′′′(x − t)dt = ... =

+

2!

2!

= x f ′(0) + f ′′(0)

x2

+ ...+

2!

xn

1

1

x

+

−

f (n−1)(0) +

Z0

tn−1f (n)(x − t)dt .

(n − 1)!

(n − 1)!

Применив обобщенную теорему о среднем, получим остаточный член в форме Лагранжа:

		1	x		f (n)(ξ)
	rn(x) =		f (n)(ξ) Z0	(x − t)n−1dt =		xn .
		(n − 1)!			n!

193

§44. Квадратурные формулы (формулы для вычисления определенных интегралов)

Пусть f (x) C [a, b] . Тогда квадратурная формула имеет вид

n		b
		Z
X	k	k	f (x)dx .
		a
A f (x ) =
k=0
Числа xk называются узлами, а Ak			– коэффициентами квадра-

турной формулы. Квадратурная формула – не обязательно интегральная сумма.

Квадратурные формулы с равными коэффициентами Ak = A называются формулами Чебыш¨ева.

Будем требовать, чтобы квадратурная формула была точна для некоторых простых функций, например, на многочленах степени не выше 2n+1 , т. е. deg P ≤ 2n+1 (так как в квадратурной формуле 2n + 2 параметра).

Если имеется равномерное распределение узлов, т. е. все соседние узлы квадратурной формулы находятся на равном расстоянии друг от друга, то xk = x0 + b−na k . В этом случае будем требовать,

чтобы квадратурная формула была точна на многочленах степени deg P ≤ n .

Рассмотрим остаток квадратурной формулы

b	n	Akf (xk) .
Rn(f ) = Z f (x)dx −
	X
a	k=0

Задача состоит в том, что для тех функций, для которых мы будем применять квадратурную формулу, мы хотим сделать остаток достаточно малым. Например, мы можем рассмотреть квадратурные

° °

формулы на классе функций, для которых °f (k)° ≤ M .

194

44.1. Формула прямоугольников

Обозначим h = b − a , a = x0 , b = x1 . Формула

b

Z

f (x)dx hf (a)

=

a

будет точна теграл для сотой f (a) ,

ков.

на многочленах нулевой степени. По этой формуле ин- f (x) ≥ 0 заменяется площадью прямоугольника с выпоэтому формула называется формулой прямоугольни-

44.2. Формула трапеций

Квадратурная формула (рис. 10.2)

b

Zf (x)dx h (f (a) + f (b))

=2

a

называется формулой трапеций. Она будет точна для многочленов

первой степени. Остаток формулы трапеций

b

R(f ) = Z f (x)dx − h2 (f (a) + f (b))

a

равен нулю, если f (x) = P1(x) , deg P1 ≤ 1 .

Предположим, что f ′′(x) C [a, b] . Можем положить a = 0 .

Тогда

b

R (f ) = Z f (x)dx − 2b (f (b) + f (0)) .

0

Докажем, что

b

R (f ) = −12 Z x(b − x)f ′′(x)dx .

0

195

y

0

a = x0

b = x1 x

Рис. 10.2. Квадратурная формула трапеций.

b

x

R

Введем в рассмотрении интеграл

f (u)du = F (x) . Тогда имеют

R

0

f (x)dx = F (b) − F (0)

место соотношения

и

0

b2

1

Z0

b

F (b) = F (0) + bF ′(0) +

F ′′(0) +

(b − x)2F ′′′(x)dx ,

2

2

откуда

b

b2

1

Z0

b

Z0

f (x)dx = bF ′(0) +

F ′′(0) +

(b − x)2F ′′′(x)dx .

2

2

По формуле Тейлора

b

F ′(b) = F ′(0) + bF ′′(0) + Z0

(b − x)F ′′′(x)dx .

Умножим последнее равенство на

b

и вычтем из предыдущего.

2

196

Получим

b

Z0

f (x)dx =

b

1

b

b

b

=

{F ′(0) + F ′(b)} +

Z0

(b − x)2F

′′′(x)dx −

Z0

(b − x)F ′′′(x)dx =

2

2

2

b

1

b

=

{f (b) + f (0)} −

Z0

x(b − x)F ′′′(x)dx .

2

2

Так как b − bx − b2 + 2bx − x2 = bx − x2 , то

1

b

b

b

R(f ) =

Z0 (b − x)2F ′′′(x)dx −

Z0

(b − x)F ′′′(x)dx =

2

2

1

b

1

b

Z0

Z0

= −

x(b − x)F ′′′(x)dx = −

x(b − x)f ′′(x)dx .

2

2

Это и есть остаточный член формулы трапеций.

По теореме о среднем получим

b

h3

Za

h

f (x)dx =

{f (a) + f (b)} −

f ′′(ξ) .

2

12

Теперь,

если

узлы распределены равномерно на отрезке, т. е.

xk = x0

+ hk

при k = 0, 1, ..., n и h =

(b−a)

, то

n

xk

h

h3

f (x)dx =

{f (xk) + f (xk+1)} −

f ′′(ξk) ,

2

12n3

−

xkZ

1

197

b

h

Za

f (x)dx =

{f (x0) + 2 (f (x1) + ... + f (xn−1)) + f (xn)} −

2

h3

1

n

−

f ′′(ξk) ,

·

12n2

n

k=1

X

или

b

f (x0)

+ f (x

)

n−1

h3

f (x)dx = h (

n

+

f (xk)) −

f ′′(ξ) ,

2

12n2

Z

k=1

a

X

где f ′′(ξ) – среднее значение второй производной.

44.3. Формула парабол (формула Симпсона)

Введем обозначение x 1 = x0 + h			– середина отрезка [x0, x1] . Тогда
	2	2
x1 = x 1	+ h . На отрезке [x0, x1] заменим функцию интерполяци-
2	2					, x 1 , x1 :
онным многочленом Лагранжа с узлами в точках x0
						2
	P (x) = y0l0 + y 1 l 1 + y1l1 ,
			2	2
где
		(x − x	1
	l0 =		2 )(x − x1)		,
		(x0 − x
			1
			2 )(x0 − x1)

l 1	=	(x − x0)(x − x1)			,
2		1	1
		(x 2	− x0)(x 2 − x1)
			1
l1 =		(x − x0)(x − x 2 )		.
			1
		(x1 − x0)(x1 − x 2 )

Проинтегрировав интерполяционный многочлен Лагранжа, получим формулу

x1	h
Z P (x)dx =			y0 + 4y		+ y1 .
	6			2
x0			n	1	o

198

Теперь, применив эту формулу для равномерного разбиения отрезка, получим

xn

Zf (x)dx h ny

=6 0

x0

+ yn + 4	³y 2	+ ... + yn−2 ´	+ 2 (y1 + ... + yn−1)o .
	1	1

Это квадратурная формула парабол (формула Симпсона).

§ 45. Длина кривой

45.1.Функции ограниченной вариации (функции с ограниченным изменением)

Пусть	x)		C [a, b]	и T	– какое-нибудь разбиение отрезка. Ве-
	f ( n
личина	P |f (xk) − f (xk−1)| характеризует величину колебания

k=1

функции по данному разбиению.

Определение. Если величина

b

V f = sup

a T

то говорят, что функция

вариацию.

Пример. Функция x sin

граниченную вариацию.

n

X

|f (xk) − f (xk−1)| ≤ M,

k=1

f (x) имеет на отрезке [a, b] ограниченную x1 (рис. 10.3) на отрезке [0, 1] имеет нео-

Рис. 10.3. Функция x sin x1

вариацию.

на отрезке [0, 1] имеет неограниченную

199

Замечание. Функция f (x) , имеющая ограниченную производную или удовлетворяющая на отрезке [a, b] условию Липшица с константой K , имеет ограниченную вариацию.

Действительно, по условию Липшица

|f (xk) − f (xk−1)| ≤ K |xk − xk−1| ,

следовательно

b

V f ≤ K |b − a| .

a

Будем обозначать V [a, b] класс функций с ограниченной ва-

риацией. Таким образом, функции ограниченной вариации – класс функций между непрерывными функциями и функциями, удовлетворяющими условию Липшица: Lip1 [a, b] V [a, b] C [a, b] .

2 семестр Лекция 10 (20.03.68)

Пример. Пусть функция f (x) возрастает на отрезке [a, b] . Тогда f (x) V [a, b] . Действительно, для любого разбиения T

n

n

b

X

X

|

f (xk)

−

f (xk

−

1) =

{

f (xk)

−

f (xk

−

1)

}

= f (b)

−

f (a) =

V f .

|

a

k=1

k=1

Замечание. Всякая функция с ограниченной вариацией f

V

представима в виде разности двух возрастающих функций

f1 и

f2 : f V

f

= f1 − f2 . Функции с ограниченной вариацией

образуют линейное пространство.

Замечание. Пусть функция имеет непрерывную производную f ′(x) на отрезке [a, b] . Тогда по теореме Лагранжа

n	n	¯	xk	− xk−1−1	)	¯	xk =
k=1	|f (xk) − f (xk−1)| = k=1
X	X ¯		f (xk) f (xk			¯
				−
		¯				¯	n
		¯				¯	X
						=	|f ′(ξk)| xk .

k=1

Мы видим, что вариационная сумма стала интегральной суммой

b		n
R		P
для интеграла |f ′(x)| dx и очевидно, что	sup	|f (xk) − f (xk−1)|
a	T	k=1
200