Кислов. атомная физика

Кислов А.Н.

Атомная физика

ности H магнитного поля. Во-вторых, частица за счет взаимодействия магнитного момента µ с магнитным полем H приобретет дополнительную энергию U, равную

U = −µH = −		µ			H	cos α .	(6.8)

В этом случае энергия Е частицы будет вычисляться по формуле

Е = Ео + U .

Необходимо подчеркнуть, что энергия U зависит не только от величин µ и H векторов µ и H , но и от угла α между их направлениями. Причем энергия

U добавляется к энергии Ео, когда векторы µ и H ориентированы в разные стороны, и вычитается, когда они ориентированы в одном направлении.

Допустим, что ось z направлена так же, как вектор H , т.е. H = (0, 0, Н), тогда

U = −µ cos αH = −µz H .

Поскольку проекция µz магнитного момента µ на ось z квантуется (6.7), то

энергия Е частицы в магнитном поле может принимать только дискретные значения. Например, для электрона, обладающего магнитным орбитальным моментом µl , имеем

E = Eo −µlz H = Eo + gl µb ml H .

(6.9)

Энергетические уровни, которые до наложения магнитного поля были вырожденными по квантовому числу ml, при наличии поля расщепляются на (2l+1) подуровней в соответствии с числом возможных значений ml, т.е. снимается вырождение по этому квантовому числу.

На рис. 6.2 схематически показано расщепление энергетических уровней электрона в водородоподобном атоме. Расстояние между соседними энергетическими подуровнями, согласно (6.9), равно µb Н.

Рис. 6.2

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005

Стр. 101 из 142

Рис. 6.3

Кислов А.Н.

Атомная физика

Для проверки существования пространственного квантования в 1922 г. физиками Штерном и Герлахом был проведен опыт по изучению расщепления пучка нейтральных атомов серебра, проходящего через область с неоднородным магнитным полем. Отметим, что в неоднородном поле на атом с магнитным моментом µ (он не зависит от координат) действует сила

F = −gradU = −grad(−µH ) = µ H ,

которая приводит к изменению конфигурации пучка атомов, т.е. его расщеплению на отдельные компоненты. В однородном поле происходит только ориентировка магнитных моментовµ атомов и никакие силы, действующие на атом, не возникают, следовательно, пучок расщепляться не будет.

Установка, используемая в опытах Штерна и Герлаха, схематично изображена на рис. 6.3. Пучок атомов серебра, имеющих один валентный электрон, который находится в невозбужденном s-состоянии, т.е. обладает магнитным орбитальным моментом µl , равным нулю, направ-

ляется в область, где полюсами S и N магнита создается неоднородное поле в направлении, перпендикулярном движению пучка. Затем пучок попа-

дает на пластинку П. На этой пластинке можно обнаружить следы от осевших атомов. Полюс S имеет форму «ножа», благодаря чему под ним отлична от нуля только z-я составляющая магнитного поля: H = (0, 0, Н(z)). Поэтому на атомы, двигающиеся вблизи полюса S вдоль оси y, действует сила Fz, направленная по оси z и пропорциональная z-й составляющей µz магнитного

момента µ атомов и неоднородности магнитного поля ∂H (z)∂z :

= µ ∂H (z)

Fz z ∂z .

Эта сила вызывает расщепление пучка атомов вдоль оси z на столько компонент, сколько возможных проекций µz имеет магнитный момент µ.

В опытах Штерна и Герлаха на пластинке от осевших атомов серебра наблюдали две полоски, расположенные симметрично относительно начального направления движения пучка атомов. Это свидетельствовало о том, что в присутствии магнитного поля проекция µz может принимать два значения,

одинаковых по величине и противоположных по знаку. Таким образом, опыт подтвердил существование пространственного квантования. Кроме того, в

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005

Стр. 102 из 142

Кислов А.Н.

Атомная физика

опытах Штерна и Герлаха была вычислена величина проекции µz магнитного момента µ атома серебра, равная одному магнетону Бора µb .

Однако в то время возникли трудности при объяснении результатов опыта Штерна и Герлаха на основе квантовой теории. В опытах наблюдали расщепление пучка только на две компоненты. Из теории следовало, что если пучок состоит из атомов с валентным электроном, находящимся в невозбужденном s-состоянии (l = 0), т.е. атомов, обладающих магнитным орбитальным моментом µl , равным нулю, то пучок в магнитном поле не должен расщеп-

ляться, так как сила, действующая на атомы, равна нулю. Если валентный электрон атома находится в р-состоянии (l = 1), то пучок должен расщепиться на три компоненты в соответствии с квантовым числом ml, определяющим число возможных проекций µlz магнитного орбитального момента µl .

Эта проблема была преодолена после того, как в 1925 г. Гаудсмит и Уленбек для объяснения структуры спектров сложных атомов (атомов, имеющих более одного электрона) выдвинули гипотезу о том, что электрон обладает собственным моментом количества движения s , который назвали спином. Спин не связан с движением электрона в пространстве, упрощенно, его можно связать с вращением электрона вокруг своей оси. Спин электрона s квантуется по обычным правилам. Для величины s спина справедливо

следующее равенство:

s = s(s +1) ,

(6.10)

где s – это спиновое квантовое число. Для проекции sz спина s на ось z выполняется такое равенство:

sz = ms ,

(6.11)

где ms – это магнитное спиновое квантовое число. Оно принимает (2s + 1) значения от –s до s через 1 и характеризует ориентацию спина s и возможные значения его проекции sz относительно оси z.

Кроме этого, электрон обладает еще и магнитным спиновым моментом

µs :

		µs = −γs s = −gs	e	s ,	(6.12)
			2mc
где γs = g s	e	– спиновое гиромагнитное отношение.
	2mc

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005

Стр. 103 из 142

	Кислов А.Н.								Атомная физика
	Правила квантования для магнитного спинового момента µs имеют вид
	µs = γs s	= γs	s(s +1) = g s	e		s(s +1) = g s µb s(s +1) ,				(6.13)
				2mc
	µsz	= −γs sz = −γs ms = −g s			e		ms = −gsµb ms .			(6.14)
					2mc
	Отметим, что с учетом спина s состояния электрона описываются вол-
	новой Ψ-функцией вида
			Ψ(r, s) = Ψn,l,m			(r, θ, ϕ)ηm		s	.
					l

Таким образом, различные стационарные состояния электрона в атоме характеризуются четырьмя квантовыми числами: n, l, ml и ms, причем, кратность вырождения n-го уровня электрона, находящегося в кулоновском поле ядра водородоподобного атома, равна уже 2n2.

Вернемся к рассмотрению опыта Штерна и Герлаха. В этом опыте атомы пучка имели валентный электрон, обладающий только магнитным спиновым моментом µs . Из того факта, что пучок в магнитном поле распадался на две

компоненты, следовало, что проекция µSz магнитного спинового момента µs

могла принимать только два значения, поэтому число возможных значений для ms равно двум: (2s + 1) = 2. Следовательно, спиновое квантовое число s для электрона равно 1/2: s = 1/2, а магнитное спиновое квантовое число ms принимает следующие два значения: ms = ± 1/2.

Кроме того, в опытах Штерна и Герлаха была вычислена величина проекции µSz магнитного спинового момента µs , равная одному магнетону Бо-

ра µb . Отсюда следует, что фактор gs = 2 и спиновое гиромагнитное отношение γs в два раза больше орбитального гиромагнитного отношения γl :

γs = 2 .

γl

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005

Стр. 104 из 142

Кислов А.Н.

Атомная физика

6.3. Полный механический момент электрона, полный и эффективный магнитные моменты.

Внутреннее и магнитное внутреннее квантовые числа. Фактор Ланде

При учете спина s электрона необходимо рассматривать уже его полный момент количества движения j , равный векторной сумме орбитального

l и собственного s момента электрона:
		j = l + s .			(6.15)
Причем векторы	l и s	прецессируют		вокруг направления вектора j
(рис.6.4).
Полный момент количества движения				j		является квантованной величи-
ной, а правила квантования для его длины				j		и проекции jz на ось z имеют
соответственно вид
j =	j( j +1) ,	(6.16)

где j – это внутреннее квантовое число, которое может принимать значения j = l − s ,..., l + s ;

	jz	= m j ,	(6.17)
				Рис. 6.4
	где mj – это	магнитное	внутреннее

квантовое число. Оно принимает (2j + 1) значения mj = –j,…,j через 1, характеризуя ориентацию вектора j и возможные значения проекции jZ относи-

тельно оси z.

Правила отбора для внутреннего j и магнитного внутреннего mj квантовых чисел следующие:

∆j = 0, ± 1 , ∆mj = 0, ± 1 .

Отметим, что когда учитывается взаимодействие орбитального l и собственного s моментов электрона, то различные стационарные состояния электрона в атоме характеризуются такими четырьмя квантовыми числами: n,

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005

Стр. 105 из 142

Кислов А.Н.	Атомная физика
l, j и mj. Это связано с тем, что из-за прецессии векторов l	и s относительно

направления вектора j их проекции lz и sz на ось z не сохраняются постоянными, в то время как j и jz являются постоянными величинами. Если взаи-

модействие орбитального l и собственного s моментов электрона не учитывается, как, например, в случае наличия сильного внешнего магнитного поля, тогда проекции lz и sz сохраняются постоянными и стационарные состояния электрона в атоме характеризуются уже другими квантовыми числами: n, l, ml и mS.

Аналогично сложению орбитального l и собственного s моментов электрона происходит сложение и соответствующих магнитных моментов µl

и µs , в результате которого получается полный магнитный момент µпj электрона:

µпj = µl + µs .

(6.18)

Векторная диаграмма всех моментов, связанных с электроном в атоме, представлена на рис. 6.5. Вектор µпj непараллелен вектору j . Это обусловлено тем, что

γs

=

µs

/

s

= 2 .

γl

µl

/

l

вектора µпj на

Величина проекции

µ j

прямую, на которой лежит вектор j , вы-

числяется по формуле

Рис. 6.5

п

j

µ j

= −

µ j

.

j

Соответствующий этой проекции вектор µ j называется эффективным маг-

нитным моментом электрона и характеризует его поведение в магнитных полях. Эффективный магнитный момент µ j связан с полным моментом коли-

чества движения j :

	µ j = −g j	e	j ,	(6.19)
		2mc

где g j – это фактор (множитель) Ланде.

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005

Стр. 106 из 142

	Кислов А.Н.					Атомная физика
	Причем выполняются следующие равенства:
	µ j	= g j	e	j( j +1) = g j µb j( j +1) ,		(6.20)
			2mc
		µ jz = −g j		e	m j = −g j µb m j .	(6.21)
				2mc

Найдем фактор Ланде g j . Исходим из того, что для эффективного магнитного момента µ j справедливо выражение

µj

=−µj

j

=

µпj j

j

.

j

j

j

Учитывая (6.18), (6.12) и (6.5), запишем

e

µп

= −

g

l

+ g

s

,

2mc

j

l

s

=1

=2

поэтому

µ j

= −

e

(l + 2s) j

j .

2mc

j 2

=g j

Сравнивая это выражение с (6.19), видим, что

g j

=

l j + 2sj

.

j 2

Учитывая (6.15), приведем g j

к виду

g j =

l (l + s) + 2s(l + s)

=

l 2

+ 2s 2 + 3l s

.

j 2

j 2

Поскольку из (6.15) следует, что

2l s = j 2 − l 2 − s 2 ,

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005

Стр. 107 из 142

Кислов А.Н.						Атомная физика
то для g j получим
g j =	3 j 2	+ s 2 −l 2	=1 +	j 2	+ s 2 −l 2	.
		2 j 2			2 j 2

Заменяя квадраты векторов их значениями (6.3), (6.10), (6.16), придем к окончательному результату:

	g j =1 +	j( j +1) + s(s +1) − l(l +1)
		2 j( j +1)

Из полученного выражения видно, что фактор Ланде вых чисел j, l и s.

. (6.22)

g j зависит от кванто-

6.4. Спин-орбитальное взаимодействие. Тонкая структура спектра

Ранее было показано, что собственными значениями уравнения Шредингера (5.4) для водородоподобного атома являются значения Еn, зависящие только от главного квантового числа n. При этом необходимо отметить, что уравнение Шредингера, во-первых, является нерелятивистским, во-вторых, не учитывает наличие спина s у электрона.

Уравнение, учитывающее релятивистскую зависимость массы электрона от скорости и наличие у него спина s , было предложено в 1928 г. Дираком. Уравнение Дирака дает более сложную формулу для энергии Еnj электрона водородоподобного атома, которая зависит как от главного квантового числа n, так и от внутреннего квантового числа j. Это происходит за счет того, что к энергии Еn прибавляются дополнительные слагаемые ∆Еnl и ∆Еnjls. Вклад ∆Еnl учитывает изменение массы электрона в зависимости от его скорости, а вклад ∆Еnjls – наличие у электрона спина s :

Enj = En + ∆Enl + ∆Enjls .

Энергетические уровни Еnj называются уровнями тонкой структуры. Квантовые переходы между такими уровнями определяют в спектрах излучения или поглощения структуру, называемую тонкой структурой спектра.

Рассмотрим, как изменится энергия электрона водородоподобного атома

только за счет учета у него спина s , т.е. найдем значение ∆Еnjls. Это значение найдем из следующих полуклассических соображений. В системе отсчета,

связанной с электроном, ядро, вращаясь вокруг электрона, создает магнитное поле с напряженностью H l. С этим магнитным полем, обусловленным орби-

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005

Стр. 108 из 142

	Кислов А.Н.				Атомная физика
	тальным движением ядра вокруг электрона, взаимодействует				магнитный
	спиновый момент	µs = −	e	s электрона. Это взаимодействие	называется
			mc

спин-орбитальным взаимодействием. Энергия U sl , которую электрон приобретает за счет спин-орбитального взаимодействия, вычисляется по формуле

U sl = −µs Hl .

Напряженность H l магнитного поля в месте нахождения электрона равна

H l = 1c [E × v]= cm1 [E × p],

где v и p – это скорость и импульс электрона соответственно. Напряженность электрического поля E , создаваемого ядром на электроне, выражается через силу F, действующую на электрон со стороны ядра или потенциальную энергию U электрона:

E = − Fe = 1e gradU (r) = 1e dUdr rr .

Следовательно,

U sl =

e/

s

1

1

dU

[r × p]=

1

1

dU

(sl ).

(6.23)

mc

cme/

m2c2

r dr

r dr

Из этой формулы видно, что спин-орбитальное взаимодействие можно

трактовать как взаимодействие спинового s и орбитального l моментов. Энергия U sl спин-орбитального взаимодействия зависит от ориентации маг-

нитного спинового момента µs электрона относительно напряженности магнитного поля H l или ориентации спина s электрона относительно его орби-

тального момента количества движения l , которую характеризует магнитное спиновое квантовое число ms. У энергетических уровней (En + ∆Enl ) , выро-

жденных по квантовому числу ms, спин-орбитальное взаимодействие снимает это вырождение. Оно изменяет энергию (En + ∆Enl ) электрона и является

причиной расщепления этих энергетических уровней.

Формула (6.23) получена для неинерциальной системы, связанной с ускоренно двигающимся электроном. В 1926 г. Томас и Френкель показали, что при переходе к системе отсчета, связанной с ядром, в выражении для Usl появляется множитель 1/2. Кроме того, если считать, что движение электрона

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005

Стр. 109 из 142

Кислов А.Н.

Атомная физика

осуществляется в кулоновском поле ядра с зарядом +ze водородоподобного атома и его потенциальная энергия равна

U =		−		ze	2		,
				r
следовательно,
	dU	=	ze2
						,
	dr			r 2

а также учесть, что

s l = 12 (j2 − l 2 − s 2 ),

то выражение для энергии U sl спин-орбитального взаимодействия можно преобразовать к виду

	U sl =	1 ze2			(j 2 − l 2 − s 2 ).	(6.24)
		4 m2c2 r 3

Наблюдаемая в эксперименте величина ∆Еnjls, на которую изменяется энергия (En + ∆Enl ) электрона за счет спин-орбитального взаимодействия,

равна среднему значению <Usl> энергии спин-орбитального взаимодействия U sl в состоянии, описываемом волновой функцией Ψnlm:

∆Еnjls = <Usl> = ∫ Ψ*nlm Ûsl Ψnlm dτ ,

где интегрирование производится по координатному пространству; Ψnlm – это функция, описывающая состояния электрона с энергией (En + ∆Enl ) и не учи-

тывающая наличие спина s у электрона.

Из формулы (6.24) для U sl видно, что при вычислении ∆Еnjls необходимо

найти среднее значение <1/r3 >, а также средние значения	< j2 >, < l 2 > и
< s 2 > квадратов операторов полного j 2 , орбитального l 2	и спинового s 2
моментов. Cреднее значение <1/r3 > равно
m3 e6 z3
<1/r3 > = —————————— .
ħ6 n3 l ( l + 1/2 ) ( l + 1 )

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005

Стр. 110 из 142