Кислов. атомная физика

Кислов А.Н.

Атомная физика

Таким образом, кинетическая энергия Tкин равна разности между полной энергией Е и энергией покоя Ео.

Используя выражение для релятивистского импульса

p =

mo v

(1.20)

1 − v2

c2

и релятивистской полной энергии (1.18), легко установить связь между полной энергией и импульсом.

Поскольку

p

2

mo2v2

и

E

2

mo2c2

,

=

=

v2

v2

1 −

c

1 −

c2

c2

то, вычитая первое равенство из второго, получим

E 2

2

mo2c2 − mo2v2

2

2

− p

=

= mo c

.

2

c

1 −

v

c2

Окончательно

E = c

p2 + mo2c2 .

(1.21)

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005

Стр. 21 из 142

Кислов А.Н.

Атомная физика

Глава 2. Развитие атомистических представлений об излучении

2.1. Виды излучения. Энергетические величины излучения. Интегральные и спектральные характеристики излучения

Колебание заряженных частиц, входящих в состав вещества, вызывает излучение электромагнитных волн. Электромагнитное излучение сопровождается потерей энергии, поэтому для обеспечения дальнейшего излучения необходимо восполнять убывающую энергию. Это восполнение можно осуществлять различными путями.

Наиболее распространенным способом компенсации убывающей энергии является нагревание тела. Вид излучения, связанный с таким способом восстановления энергии, называется тепловым или температурным излучением. Тепловое излучение имеет место при любых температурах отличных от 0 К. Причем испускание электромагнитных волн происходит за счет тепловой энергии тела. Если излучение поддерживается благодаря энергии выделяемой при химической реакции, то говорят о хемилюминесценции. Если излучение вызывается за счет поглощения электромагнитной энергии, то такое излучение называется фотолюминесценцией. Излучение, которое возбуждается в газах или твердых телах под действием электрического поля (разряда), называется электролюминесценцией.

Опыт показывает, что единственным видом излучения, которое находится в равновесии с испускающим его телом, является тепловое излучение. Равновесное тепловое излучение устойчиво, так как при любом его нарушении оно вновь будет восстановлено.

Отметим, что существуют и другие способы классификации излучения по видам, например по длине волны или частоте.

Для характеристики любого вида излучения используется ряд энергетических величин. Важной величиной является поток энергии излучения (мощность излучения) Ф, под которым понимают количество энергии W, испускаемой телом по всем направлениям (в пределах телесного угла 2π) за единицу времени t:

Ф = dWdt .

Поток энергии имеет размерность мощности. Единицей его измерения в системе СИ является ватт, равный джоуль на секунду (сокращенно Вт = Дж/c).

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005

Стр. 22 из 142

Кислов А.Н.

Атомная физика

Величина, называемая силой излучения Iс, характеризует мощность Ф источника излучения, приходящуюся на единицу телесного угла Ω:

Ic = ddФΩ .

Единицы измерения силы излучения – ватт на стерадиан (Вт/cтр). Энергетической светимостью Eс называют величину, равную потоку

энергии излучения Ф, испускаемому единицей поверхности тела S:

Ec = ddSФ .

За единицу измерения этой величины в системе СИ принимают ватт на метр в квадрате (Вт/м2). Поток энергии Ф, поглощенный единицей поверхности тела S, называется освещенностью Eосв.

Интенсивность излучения (поверхностная яркость) J – это поток энергии излучения Ф, испускаемый единицей поверхности тела S и распространяющийся внутри единичного телесного угла Ω, ось которого составляет с нормалью к излучающей площадке dS угол θ:

	J =	d 2Ф	.
		dΩdS cos θ

Эту величину в системе СИ измеряют в ваттах на стерадиан и на метр в квадрате (Вт/(стр·м2)).

Найдем выражение связывающее поток энергии излучения Ф, проходящий через площадку dS в одну сторону, с интенсивностью J изотропного излучения, т.е. J не зависит от угла. Для этого, учитывая, что элемент телесного угла равен dΩ = sin θdθdϕ, проинтегрируем записанное выше равенство по азимутальному углу φ от 0 до 2π и по полярному углу θ от 0 до π/2. В результате имеем:

2π π/ 2

dФ = JdS ∫dϕ ∫sin θcos θdθ =πJdS ,

0 0

так как

π/ 2

∫sin θcos θdθ =1/ 2 .

0

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005

Стр. 23 из 142

Кислов А.Н.

Атомная физика

Разделив dФ на dS, получим соотношение между энергетической светимостью Eс и интенсивностью излучения J:

Ес = πJ .

Наконец, вводится понятие объемной плотности излучения, которая равна количеству энергии излучения W в единице объема V:

u = dWdV .

Единицы измерения объемной плотности излучения в СИ – джоуль на метр в кубе (Дж/м3). Объемная плотность излучения u может выражаться через интенсивность излучения J и энергетическую светимость Eс следующим образом:

u = 4cπ J ,

u = 4c Ec (для изотропного излучения).

Опытные данные говорят о том, что интенсивность J, энергетическая светимость Eс и объемная плотность u излучения зависят от частоты ν излучения. Ввиду этого наряду с интегральными величинами J, Eс и u, которые характеризуют излучение во всем частотном диапазоне, рассматривают спектральные величины J(ν), Eс(ν) и u(ν), характеризующие только долю излучения с частотой ν в общем потоке излучения. Спектральные и интегральные величины связаны соотношениями

∞	∞	∞
J = ∫ J (ν)dν,	Ec = ∫Ec (ν)dν,	u = ∫u(ν)dν .
0	0	0

2.2.Тепловое равновесное излучение. Испускательная

ипоглощательная способности тела. Абсолютно черное тело

Вдальнейшем будем рассматривать только равновесное тепловое излучение. Основной величиной, характеризующей тепловое состояние излу-

чающего тела, является его температура Т. Возьмем полость с теплонепроницаемыми стенками, нагретыми до некоторой постоянной температуры Т. Стенки полости будут как излучать, так и поглощать электромагнитные волны. При равновесии излучается столько энергии, сколько и поглощается. В равновесном состоянии энергия излучения будет распределена внутри полос-

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005

Стр. 24 из 142

Кислов А.Н.

Атомная физика

ти с постоянной объемной плотностью u, зависящей от температуры Т. Спектральная объемная плотность излучения будет характеризоваться функцией u(ν,Т).

При теоретическом исследовании теплового равновесного излучения на основе термодинамических законов Кирхгоф установил ряд свойств этого излучения:

1)объемная плотность излучения u зависит только от температуры Т и не зависит от природы и свойств излучающих тел;

2)объемная плотность излучения u не зависит от координат, так как излучение однородно;

3)интенсивность излучения J не зависит от углов, так как излучение изотропно;

4)излучение является неполяризованным.

Для изучения законов теплового излучения и установления его количественных закономерностей необходимо ввести такие важные понятия, как

испускательная и поглощательная способность тела. Испускательная способность тела е (аналог энергетической светимости Ес) равна потоку энергии излучения Ф, испускаемому единицей поверхности тела S:

e = ddSФ .

Опыт показывает, что испускательная способность е зависит от темпера-

туры Т излучающего тела. Кроме того, она является функцией частоты излучения ν. Таким образом, отдельный спектральный участок излучения характеризуется величиной е(ν,Т), называемой спектральной испускательной способностью тела, а весь спектр излучения характеризуется функцией е(Т), на-

зываемой интегральной испускательной способностью. Для них справедлива следующая связь:

∞

e(T ) = ∫e(ν,T )dν .

0

Отметим, что единицы измерения интегральной испускательной способности в системе СИ – ватт на метр в квадрате (Вт/м2), а спектральной испускательной способности – джоуль на метр в квадрате (Дж/м2).

Поглощательная способность тела (обозначим ее через а) – это доля па-

дающей энергии излучения, которая остается внутри тела и превращается в тепло. Она определяется как отношение потока энергии, поглощенного телом Ф/ , к потоку энергии, падающего на тело Ф:

	a =	Ф/	.
		Ф
	ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005		Стр. 25 из 142

Кислов А.Н.

Атомная физика

По определению поглощательная способность является безразмерной величиной и, кроме того, не может быть больше единицы.

Согласно опытным данным, поглощательная способность тела зависит и от его температуры Т и частоты ν, на которой происходит поглощение излучения, поэтому вводят величины а(ν,Т) и а(Т), называемые спектральной поглощательной способностью тела и интегральной поглощательной способностью соответственно.

Между испускательной и поглощательной способностями тела существует определенная связь, а именно, чем больше испускательная способность тела, тем больше его поглощательная способность.

Среди большого многообразия тел можно представить такое тело, поглощательная способность которого равна единице для всех значений частот и температур. Такое тело поглощает все падающее на него излучение и называется абсолютно черным телом. Если поглощательная способность тела меньше единицы, то тело называется серым.

В действительности же в природе ни одно тело нельзя считать абсолют-

но черным. Излучение, по своим свойствам схожее с излучением абсолютно черного тела, можно создать следующим образом. Возьмем замкнутый сосуд с равномерно нагретыми теплонепроницаемыми стенками. Тепловое равновесное излучение, установившееся внутри сосуда, будет тождественно излучению абсолютно черного тела. Это происходит потому, что излучение в сосуде претерпевает многократные отражения от стенок, а при каждом отражении часть энергии поглощается, в результате чего практически все излучение на любой частоте стенками сосуда поглотится. Если в стенке сделать маленькое отверстие, то излучение, выходящее из сосуда, будет весьма похоже на излучение абсолютно черного тела.

2.3. Законы теплового излучения: законы Кирхгофа, Стефана – Больцмана и Вина

Первый фундаментальный закон теплового излучения был получен в 1859 г. Кирхгофом. Он устанавливает связь между испускательной и поглощательной способностями тела и утверждает, что отношение спектральной испускательной способности е(ν,Т) тела к его спектральной поглощательной способности а(ν,Т) не зависит от природы тела и является для всех тел одной и той же универсальной функцией f(ν,Т) частоты ν и температуры Т:

	e(ν,T )	= f (ν,T ) .	(2.1)
	a(ν,T )

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005

Стр. 26 из 142

Рис. 2.1

Кислов А.Н. Атомная физика

Поскольку при определенных частоте и температуре данное отношение одинаково для любых тел, то это означает, что тело, сильнее поглощающее излучение, будет сильнее его излучать.

Для абсолютно черного тела спектральная поглощательная способность а(ν,Т), по определению, равна единице а(ν,Т) = 1, поэтому универсальная функция f(ν,Т) есть не что иное, как спектральная испускательная способ-

ность ε(ν,Т) абсолютно черного тела: f(ν,Т) = ε(ν,Т).

Из закона Кирхгофа (2.1) следует,

что е(ν,Т) = ε(ν,Т)·а(ν,Т). Поскольку для серых тел а(ν,Т) < 1, то всегда выполняется неравенство е(ν,Т) < ε(ν,Т). Это означает, что при одинаковой температуре кривая спектральной испускательной способности е(ν,Т) серого тела всегда лежит ниже кривой спектральной испускательной способ-

ности ε(ν,Т) абсолютно черного тела для любой частоты ν (рис. 2.1).

Долгое время многочисленные попытки получить общий вид функции

ε(ν,Т) заканчивались неудачей. Отметим, что общий вид ε(ν,Т) был получен в 1900 г. Планком (см. п.2.5). До того как была найдена функция ε(ν,Т), в тео-

рии теплового излучения были установлены важные закономерности.

В1878 г. Стефан, анализируя экспериментальные данные для серых тел, пришел к заключению, что интегральная испускательная способность е(Т)

пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры Т, излучаю-

щего тела: е(Т) ~ Т4. Однако последующие более точные измерения показали ошибочность его выводов.

В1884 г. Больцман теоретически на основе термодинамических рассуж-

дений получил такую же зависимость, но только для интегральной испускательной способности ε(Т) абсолютно черного тела: ε(Т) ~ Т4. Впоследствии соотношение между интегральной испускательной способностью ε(Т) абсолютно черного тела и четвертой степенью его абсолютной температуры Т по-

лучило название закона Стефана – Больцмана:

ε(Т) = σТ4 ,

(2.2)

где σ – константа пропорциональности, называемая постоянной Стефана – Больцмана. Ее значение равно σ = 5,67·10-8 Вт/(м2· К4) – в СИ.

В 1893 г. Вин, воспользовавшись кроме термодинамики еще и электро-

магнитной теорией света, получил следующую формулу для спектральной испускательной способности ε(ν,Т) абсолютно черного тела:

ε(ν,T ) = ν3 F(	ν	) ,	(2.3)
	T
ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005			Стр. 27 из 142

Кислов А.Н.

Атомная физика

где F – некоторая функция отношения частоты ν к температуре Т, раскрыть явный вид которой при помощи классического подхода к излучению, т.е. без всяких гипотез о квантовом механизме излучения, оказалось невозможным. Несмотря на этот недостаток, формула (2.3), получившая название термодинамического закона Вина, сыграла важную роль при изучении теплового излучения. Отметим следующие следствия, вытекающие из нее.

1. Формула Вина позволяет вычислять частотную зависимость ε(ν,Т) для любой температуры Т, зная частотную зависимость ε(ν,Т1) для температуры Т1. Допустим, дана кривая ε(ν,Т1) для температуры Т1, и необходимо найти кривую ε(ν,Т2) для температуры Т2. Для частоты ν2, удовлетворяющей усло-

вию

ν1

=

ν2

или

ν2

= ν1

T2

, формула Вина имеет вид

T

T

T

1

2

1

ε(ν

,T

) = ν3 F(

ν2

) = ν3

(

T2

)3 F(

ν1

) = (

T2

)3

ε(ν

,T ) .

T

2

2

2

T

1

T

T

1

1

2

1

1

1

Таким образом, чтобы получить кривую ε(ν,Т2), нужно изменить масштаб по

оси абсцисс в	T2	раз, а по оси ординат в (	T2	)3	раз.
	T
			T
	1	1

2. Несмотря на присутствие неявной функции F(Tν) , формула Вина при-

водит к некоторым совершенно определенным количественным закономерностям. В этом можно убедиться, вычислив интегральную испускательную способность ε(Т) абсолютно черного тела:

∞	∞	3		ν		введем переменную x =	ν
ε(T) = ∫ε(ν,T)dν =∫ν			F(		)dν =		T
				T
0	0					тогда ν3 =T 3 x3 , dν =Tdx

∞

=T 4 ∫x3F(x)dx .

0

=σ

Если обозначить величину, полученную при вычислении интеграла, через σ, то получим закон Стефана – Больцмана (2.2).

3. Воспользуемся условием, из которого находят частоту, отвечающую максимуму спектральной испускательной способности ε(ν,Т):

dε(ν,T )		= 0 ,
dν
		ν=ν
		m

где νm – частота, соответствующая максимальному значению функции ε(ν,Т) при температуре Т.

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005

Стр. 28 из 142

Рис. 2.2

Кислов А.Н.

Атомная физика

Подставив в него формулу Вина (2.3), получим

3 ∂F(

ν

ν

) 1

2

ν

ν

ν

2

T

/

3ν

F(

) + ν

= ν

3F(

) +

F

(

)

=

T

ν

T

T

T

T

∂(

)

T

= x2T 2 [3F(x) + xF / (x)]= 0 .

=

введем переменную x =

ν

T

Решив это уравнение, найдем определенное значение x = xm – const. Следовательно,

	xm =	νm	= b ,	(2.4а)
		T

где b = 0,588·1011 Гц/К (в СИ).

Соотношение (2.4а) называется закон смещения Вина. Согласно ему, отношение частоты νm, отвечающей максимальному значению спектральной испускательной способности ε(ν,Т) абсолютно черного тела, к абсолютной температуре Т, при которой это тело находится, является постоянной величиной. Из закона сме-

щения Вина (2.4а) следует, что при повышении температуры Т абсолютно черного тела максимум его спектральной испускательной способности ε(ν,Т) смещается в сторону больших частот (рис. 2.2).

Отметим, что в практической спектроскопии часто в качестве одного из аргументов функции ε используют не частоту ν излучения, а его длину волны λ: νλ = c. В этом случае закон смещения Вина записывается в виде:

λmT = b/ ,

(2.4б)

где b/=2,9·10-3 м·К (в СИ).

В 1896 г. Вин написал следующую эмпирическую формулу для своего термодинамического закона (2.3):

ν
ε(ν,T ) = Aν3e−BT ,	(2.5)

где А и В – постоянные величины. Отметим, что при получении данной формулы Вин предположил, что распределение энергии излучения в спектре абсолютно черного тела по частотам аналогично Максвеловскому распределе-

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005

Стр. 29 из 142

Кислов А.Н.

Атомная физика

нию молекул газа по скоростям. В 1897 г. Люммер и Прингсгейм экспериментально проверили ее и установили, что формула хорошо описывает распределение энергии теплового излучения только в области высоких частот.

2.4. Формула Рэлея – Джинса. «Ультрафиолетовая катастрофа»

Более строгая попытка теоретического вывода формулы для спектральной испускательной способности ε(ν,Т) абсолютно черного тела была сделана Рэлеем. Он впервые воспользовался теоремой классической статистики о равномерном распределении энергии по степеням свободы в замкнутой полости при вычислении спектральной объемной плотности u(ν,Т), которая связана со спектральной испускательной способностью ε(ν,Т) абсолютно черного тела равенством:

u(ν,T ) = 4c ε(ν,T ) .

Рассмотрим его подход более подробно. Рэлей представлял тепловое равновесное излучение в замкнутой полости как электромагнитное поле, которое можно разложить на систему стоячих волн различной частоты и направления. Затем определялось число независимых стоячих волн dn(ν) в данном интервале частот dν в единице объема. К этим волнам применялась теорема о равномерном распределении энергии, согласно которой на каждую стоячую волну приходится средняя энергия ‹Е›, равная kbТ, где kb – постоянная Больцмана. Эта энергия складывается из средних энергий электрического и магнитного полей, по отдельности равных 0,5kbТ. Для спектральной объемной плотности энергии электромагнитного поля в интервале частот dν справедливо соотношение

u(ν,T )dν = dn(ν) E .

Вычисление спектральной объемной плотности энергии поля было сделано Джинсом по методу, указанному Рэлеем. При этом было получено выражение для dn(ν) с учетом обоих направлений поляризации стоячей волны:

dn(ν) = 8πν2 dν . c3

Рассмотрим, как можно вычислить среднюю энергию стоячей волны при классическом предположении, что излучение испускается непрерывно (подход электромагнитной теории света), т.е. энергия стоячей волны может при-

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005

Стр. 30 из 142