Кислов. атомная физика

Рис. 2.9

Кислов А.Н.

Атомная физика

2.8. Внутренний фотоэффект

Кроме рассмотренного в п.2.6 внешнего фотоэффекта существует внутренний фотоэффект. Он заключается в перераспределении электронов на энергетических уровнях диэлектриков и полупроводников под действием света.

Диэлектрики и полупроводники имеют аналогичную электронную структуру (рис. 2.9). Характерной особенностью для данных типов веществ является наличие трех энергетических зон: заполненной электронами валентной зоны, отделенной запрещенной зоной от не заполненной электронами зоны проводимости. Если в веществе присутствуют примеси, то вблизи зоны проводимости или валентной зоны могут появиться дополнительные примесные энергетические уровни.

При освещении вещества светом, у которого величина энергии фотонов превышает ширину запрещенной зоны, происходит поглощение электронами фотонов. При этом электроны будут переходить из валентной зоны в зону проводимости. В результате возникают дополнительные пары носителей тока – электрон и дырка, что приводит к появлению электропроводимости.

Если энергии фотона хватает, чтобы перевести электрон из валентной зоны на примесной уровень, то возникает дырочная проводимость, а если электрон перейдет с примесного уровня в зону проводимости, то это приведет к электронной проводимости. Все перечисленные явления называются фотопроводимостью и обусловлены внутренним фотоэффектом.

2.9. Фотоны, их энергия, масса и импульс

Гипотеза Эйнштейна о существовании особых световых частиц (фотонов) была подтверждена рядом экспериментальных опытов, в частности опытом Лебедева по измерению светового давления и опытом Иоффе по наблюдению фотоэффекта с пылинок. Из них следовало, что свет представляет собой поток распространяющихся в пространстве фотонов. Рассмотрим некоторые характеристики фотонов.

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005

Стр. 41 из 142

Кислов А.Н.

Атомная физика

1.Фотон обладает энергией Еф = hν , которая связана с частотой ν.

2.Согласно теории относительности Эйнштейна существует взаимосвязь между энергией и массой E = mc2. Учитывая это, для массы фотона получаем выражение mф = hν/c2.

Отметим, что фотоны движутся в вакууме со скоростью с. Согласно релятивистской динамике, импульс р и энергия Е частицы, движущейся со скоростью v, находятся по формулам (1.20) и (1.18) соответственно. Когда скорость v = c , а масса покоя mo ≠ 0, получаем неопределенности типа р = ∞ и

Е= ∞. Это означает, что никакое тело с mo ≠ 0 нельзя разогнать до скорости с. Но так как для фотона v = c, то следует считать массу покоя фотона равной

нулю moф = 0, т.е. фотон не имеет массы покоя и может существовать только двигаясь.

3.Для фотона с moф = 0 и v = c формулы для релятивистского импульса и энергии, записанные выше, оказываются непригодными, так как приводят к

неопределенности 0/0. Энергия фотона определяется по формуле Еф = hν. Выражение для величины импульса фотона рф получают из формулы, связывающей энергию и импульс частицы (1.21), полагая mo = 0:

	pф =	Eф	=	hν	=	h	=	h	k = k	,	(2.9)
		c		c		λ		2π

=

где k = 2π/λ – волновое число, равное числу длин волн λ, укладывающихся на длине 2π.

Важно подчеркнуть, что все три корпускулярные характеристики фотона: энергия, масса и импульс – связаны с волновой характеристикой излучения – его частотой ν. Эта связь не случайна. Она имеет глубокую причину, которую выясним позднее.

2.10.Эффект Комптона

В1923 г. Комптон, исследуя рассеяние рентгеновских лучей (см. гл. 9) различными веществами, обнаружил, что в рассеянных лучах содержится на-

ряду с излучением с первоначальной длиной волны λ излучение с большей длиной волны λ/. Это явление получило название эффекта Комптона. Отметим, что в этом эффекте особенно отчетливо проявляются корпускулярные свойства излучения.

Схема установки для изучения эффекта Комптона приведена на рис. 2.10. Излучение рентгеновской трубки РТ, образующееся при торможении электронов на антикатоде А, проходит через диафрагму Д. Выделяемый ей узкий пучок рентгеновского излучения направляется на рассеивающее ве-

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005

Стр. 42 из 142

Кислов А.Н.

Атомная физика

щество РВ. Рассеянные под углом Θ рентгеновские лучи, пройдя через щель Щ, попадают на рентгеновский спектрограф РС.

Рассмотрим результаты исследований, а именно зависимость изменения длины волны рассеянного рентгеновского излучения от

Рис. 2.10 угла рассеяния Θ и типа рассеивающего вещества.

На рис. 2.11,а представлено первичное рентгеновское излучение с длиной волны λ как спектральное распределение его интенсивности J. На рис. 2.11,б и рис. 2.11,c показан спектральный состав рассеянного на графите излучения при углах рассеяния Θ, равных 900 и 1300 соответственно. Наблюдаются следующие особенности эффекта.

Рис. 2.11

Рис. 2.12

1.В рассеянном излучении присутствует как первоначальная

линия с длиной волны λ, так и линия с длиной волны λ/(λ//), смещенной в сторону длинных волн.

2.Величина смещения ∆λ = (λ/-λ) зависит от угла рассеяния Θ, а именно она возрастает при увеличении этого угла.

3.При увеличении угла рассеяния

Θинтенсивность несмещенной линии падает, а интенсивность смещенной линии возрастает.

На рис. 2.12,а показано спектральное распределение интенсивности первичного рентгеновского излучения с длиной волны λ. На рис. 2.12,б и рис. 2.12,c дан спектральный состав рассеянного под одним и тем же углом

Θизлучения, но различными веществами: литием Li и медью Cu соответственно. Можно наблюдать следующие особенности эффекта.

1.Величина смещения ∆λ = (λ/-λ) не зависит от природы рассеивающего вещества.

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005

Стр. 43 из 142

Кислов А.Н.

Атомная физика

2. При возрастании атомного номера рассеивающего вещества интенсивность несмещенной линии возрастает, а интенсивность смещенной линии падает.

Особенности эффекта Комптона не объясняются с волновой точки зрения. Согласно этому подходу, механизм рассеяния состоит в том, что раскачивающиеся электромагнитным полем падающей волны электроны испускают во все стороны вторичное излучение с частотой падающей волны. Следовательно, частоты рассеянного и падающего излучения должны совпадать. Это в опытах не наблюдается.

Особенности эффекта Комптона можно без труда объяснить, если считать, что излучение имеет чисто корпускулярную природу, т.е. представляет собой поток фотонов. При этом рассеяние рентгеновского излучения рассматривать, как процесс упругого столкновения фотонов с практически свободными электронами. В этом случае энергия связи электрона с атомом значительно меньше энергии, которую фотон может передать электрону при соударении с ним. Это условие хорошо выполняется для рентгеновского излучения и легких атомов, поскольку энергия рентгеновского фотона ≈ 10 кэВ, а энергия связи электронов в атоме ≈ 10 эВ.

Рассмотрим процесс упругого соударения фотона со свободным электроном. Пусть на покоящийся свободный электрон с энергией Ео = moc2 и импульсом p0 = 0 падает фотон с энергией Еф = hc/λ и импульсом pф, значение

которого равно рф = h/λ. После столкновения электрон будет обладать энергией Е = mc2 и импульсом p = mv , а фотон – энергией Еф/ = hc/λ/ и импульсом

pф/ , величины рф/ = h/λ/.

Учитывая, что соударение упругое, запишем законы сохранения импульса и энергии:

				pф = p + pф/ ,
				Eo + Eф = E + Eф/ .
			Из первого векторного уравнения,
			используя	векторную	диаграмму
			(рис. 2.13) и формулу элементарной три-
	Рис. 2.13		гонометрии («теорема косинусов»), полу-
электрона р2 выражение:			чаем для	квадрата величины	импульса
	p2 = pф2	+ pф/ 2 − 2 pф pф/ cos Θ ,

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005

Стр. 44 из 142

Кислов А.Н.

Атомная физика

где угол Θ между векторами pф и pф/ – это угол между направлением рас-

пространения первичного и рассеянного излучения (угол рассеяния фотона). Второе уравнение для энергии перепишем в виде

E= Eo + (Eф − Eф/ )

ивозведем его левую и правую части в квадрат:

E 2 = Eo2 + Eф2 + Eф/ 2 − 2EфEф/ + 2Eo (Eф − Eф/ ) .

Разделим это уравнение на с2 и вычтем из него почленно выражение для квадрата величины импульса электрона р2. Тогда, учитывая связь Е и р (1.21), получим:

E 2		2	2	2		Eo2		Eф2
	− p		= mo c		=		+		−
c2						c2		c2
									=0

		E / 2
	pф2 +	ф	− pф/ 2 −
		c2

=0

	− 2/	EфEф/	+ 2/	pф pф/ cos Θ + 2/	Eo (Eф − Eф/ )	.
		c2			c2
				=Eф / c

Принимая во внимание (1.19) и (2.9), проведем сокращение некоторых членов. В результате приходим к выражению:

	Eo	/	EфEф/
		(Eф − Eф) =		(1−cosΘ) .
	c2		c2
	=mo

Учитывая (2.9), перепишем это выражение в виде

moch/(λ1 − λ1/ ) = λh/ λh/ (1 − cos Θ) .

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005

Стр. 45 из 142

Кислов А.Н.

Атомная физика

Умножая полученное соотношение на λλ/ , находим формулу для вычисле- moc

ния изменения длины волны ∆λ при рассеянии:

			/	h	(1 − cos Θ) = 2Λc sin	2	Θ	,	(2.10)
			∆λ = λ − λ =
				moc			2
	где Λc =	h	– это комптоновская длина волны электрона. Ее значение рав-
		moc

но Λс = 0,0243 Å.

Проанализируем формулу (2.10).

1.Она показывает, что комптоновское смещение ∆λ не зависит от длины волны λ падающего излучения. Увеличение длины волны λ/ при рассеянии определяется только массой рассеивающих частиц mo и углом рассеяния Θ.

2.Формула не позволяет объяснить увеличение интенсивности J смещенной линии в рассеянном излучении при увеличении угла рассеяния Θ.

3.При рассеянии фотонов на электронах, которые сильно связаны с атомом, обмен энергией и импульсом происходит уже с самим атомом. Поскольку масса атома много больше массы электрона, то комптоновское смещение ∆λ будет мало. По мере роста атомного номера увеличивается число электронов с сильной связью. Этим и обусловлено ослабление интенсивности J смещенной линии и увеличение интенсивности J несмещенной линии в спектре рассеяния (рис. 2.12).

4.Относительное изменение длины волны ∆λ/ λ при рассеянии видимого света составляет тысячные доли процента от длины волны λ ≈ 5000 Å падающего света, а для рентгеновских лучей это изменение составляет уже проценты, так как λ ≈ 1 Å. Таким образом, для излучения с большой длиной волны вывод классической теории о неизменности длины волны при рассеянии сохраняет свою силу.

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005

Стр. 46 из 142

Кислов А.Н.

Атомная физика

Глава 3. Волновые свойства частиц

3.1. Корпускулярно-волновой дуализм в световых явлениях

Многочисленные опыты по интерференции и дифракции света, проведенные в XIX веке, приводили к выводу о волновой природе излучения. С другой стороны, ряд опытных фактов, установленных в конце XIX века и начале XX века (фотоэффект, эффект Комптона), противоречили классическим представлениям о волновой природе излучения и для своего объяснения требовали корпускулярного (квантового) подхода к излучению. Таким образом, создалась двойственность (дуализм) в учении о природе света. При этом ни волновая, ни корпускулярная теории не могли объяснить всю совокупность известных фактов. Корпускулярная теория успешно объясняла явления, связанные с обменом энергией и импульсами между излучением и веществом, но не объясняла явления, наблюдающиеся при прохождении света через преграды, распространении в различных средах и т.д., а волновая теория – наоборот.

На первый взгляд кажется, что эти две точки зрения на природу света взаимно исключают друг друга. Однако со временем было показано, что целый ряд оптических явлений (преломление света, прохождение света через дифракционную решетку) можно рассматривать как с волновой, так и корпускулярной точек зрения. Это привело к выводу, что волновые и квантовые понятия о свете являются равноправными и связанными между собой. Двойственная природа света видна и из выражений для корпускулярных характеристик: энергии, массы и импульса, в которые входит частота света, являющаяся волновой характеристикой. Волновой и квантовый подходы не исключают, а взаимно дополняют друг друга и позволяют описать подлинные закономерности распространения света и его взаимодействия с веществом.

Итак, излучение одновременно обладает квантовыми и волновыми свойствами. Квантовые свойства обусловлены тем, что энергия, масса и импульс сосредоточены в фотонах. Волновые свойства обусловлены тем, что для фотона нельзя указать точно место, в котором он находится в определенный момент времени, а можно говорить только о вероятности обнаружения фотона в различных точках пространства, которая определяется квадратом амплитуды световой волны.

В проявлении двойственных свойств света имеется важная закономерность. У длинноволнового излучения, например, инфракрасные лучи квантовые свойства проявляются слабее, чем волновые свойства. У коротковолнового излучения (γ-лучи), наоборот, в большей степени наблюдаются квантовые свойства, а не волновые.

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005

Стр. 47 из 142

Кислов А.Н.

Атомная физика

3.2. Гипотеза де Бройля о двойственной корпускулярно-волновой природе частиц вещества и ее подтверждение

Как отмечалось ранее, при изучении оптических явлений была установлена двойственная природа излучения. В 1924 г. физик Луи де Броль выдвинул смелую гипотезу о том, что корпускулярно-волновой дуализм не является особенностью только одних световых частиц (фотонов), а обладает универсальностью и присущ частицам вещества. По гипотезе де Бройля, частица вещества может вести себя и как волна с определенной длиной, и описываться наряду с корпускулярными характеристиками: массой, энергией и импульсом, также волновой характеристикой – частотой (длиной волны). Причем количественные соотношения между корпускулярными и волновыми характеристиками частиц те же, что и для фотонов: Е = mc2 = hν и р = mv = hν/с.

Таким образом, любой свободной материальной частице с массой m, двигающейся со скоростью v, т.е. обладающей импульсом величины p = mv, соответствует плоская монохроматическая волна, называемая волной де Бройля, с длиной λ, которая вычисляется по формуле

λ =	h	=	h	.	(3.1)
	p
			mv

Отметим, что волны де Бройля не являются физическими материальными волнами.

Оценим порядок величины длины волны де Бройля λ для электронов, ускоряемых разностью потенциалов V < 10 кВ. Это будет нерелятивистский случай, т.е. скорость электронов v << c, поэтому можно пользоваться следующей формулой классической механики для вычисления скорости электронов v (1.9б):

mv2 2 = 300eV .

Исключая из этого выражения скорость v и подставляя ее в (3.1), получим

λ =	h 150	≈	150	10	−10	м =	150	o	12,25	o
	meV		V				V	Α =	V	Α .

Видно, что для электронов, ускоряемых разностью потенциалов V = 150 В, длина волны де Бройля λ равна 1 Å и по порядку величины соответствует длине волны мягких рентгеновских лучей. Таким образом, для обнаружения волновых свойств электронов следует пользоваться теми же методами, кото-

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005

Стр. 48 из 142

Рис. 3.1

Кислов А.Н.

Атомная физика

рые применяются при изучении дифракции и интерференции рентгеновских лучей, т.е. использовать кристаллическую решетку.

Гипотеза де Бройля получила экспериментальное подтверждение в 1927 г. в опытах Девиссона и Джермера, которые изучали рассеяние электронов на монокристал подробнее.

Схема установки показана на рис. 3.1. Создаваемый электронной пушкой ЭП пучок электронов со скоростью v, задаваемой разностью потенциалов V, направляется под углом скольжения φ на монокристалл никеля Ni, играющий роль дифракционной решетки, и рассеивается на нем. Рассеянные электроны улавливаются приемником электронов ПЭ, который может вращаться вокруг оси, проходящей через кристалл никеля Ni и перпендикулярной к плоскости рис. 3.1. Приемник электронов ПЭ связан с гальванометром Г, определяющим силу тока. По показаниям гальванометра судили об интенсивности рассеяния.

Результаты измерений можно представить в виде полярных диаграмм интенсивности отражения электронов от кристалла никеля Ni, пример изображен на рис. 3.2. Опыты показали, что электроны ведут себя не как классические частицы и отражаются от мишени не по законам геометрической оптики. Было обнаружено, что интенсивность рассеяния

Рис. 3.2 электронов зависит от угла скольжения φ и скорости электронов v.

Девиссоном и Джермером было выполнено два вида опытов. Первый их опыт был точным аналогом интерференционного отражения рентгеновских лучей по методу Вульфа и Брэгга, предложенному в 1913 г. (см. гл. 9). Известно, что рентгеновские лучи испытывают интерференционное отражение от кристалла, если их длина λ и угол скольжения φ удовлетворяют формуле Вульфа – Брэгга:

n λ = 2d sinφ ,

(3.2)

где n = 1,2,… – порядок максимума отраженных лучей; d – постоянная кристаллической решетки.

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005

Стр. 49 из 142

Кислов А.Н.

Атомная физика

Для рентгеновских лучей условие (3.2) создается таким образом. Лучи определенной длины волны λ направляются на кристалл, который может поворачиваться, меняя угол скольжения φ. В опытах с электронами используется другой способ. Поток электронов падает на зафиксированный кристалл никеля Ni, и при этом за счет изменения разности потенциалов V изменяется скорость электронов v, которая связана с длиной волны де Бройля λ. Условие Вульфа – Брэгга (3.2) в этом случае можно записать в виде

V = n	12,25 .
	2d sin ϕ

Результаты опытов по отражению электронов совпадали с результатами для рентгеновского излучения.

Второй опыт Девиссона и Джермера аналогичен опыту Лауэ по дифракции рентгеновских лучей, выполненному в 1912г. (см. гл. 9). В опыте Лауэ, пропуская рентгеновское излучение, имеющее сплошной спектр, через кристалл, наблюдали за ним дифракционную картину. Она обусловлена интерференцией вторичных волн, за счет которой распространение рассеянных лучей будет происходить лишь в определенных дискретных направлениях и для определенной длины волны λ в каждом из направлений. Девиссон и Джермер исследовали отражение электронов, падающих на монокристалл никеля Ni с определенной скоростью v и углом скольжения φ, при разных азимутальных углах кристалла (он поворачивался вокруг вертикальной оси, рис. 3.2). Было установлено, что электроны отражаются лишь в определенных дискретных направлениях и при определенной скорости v в каждом таком направлении.

Таким образом, опыты Девиссона и Джермера показали, что электроны обладают волновыми свойствами, поскольку ведут себя так же, как и рентгеновское излучение.

3.3.Свойства волн де Бройля

1.Волны де Бройля принято трактовать как волны вероятности. Их физический смысл заключается в том, что квадрат амплитуды волны де Бройля

вданной точке пространства, определяющий ее интенсивность, определяет и вероятность обнаружения частицы, соответствующей этой волне, в заданном месте пространства.

2.С увеличением массы частицы длина волны де Бройля уменьшается. Для макроскопических тел волновые свойства вообще не проявляются, так как длина волны де Бройля для них несоизмеримо меньше размеров самих тел.

3.Длину волны де Бройля λ можно выразить через кинетическую энергию Ткин частицы, которой эта волна соответствует.

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005

Стр. 50 из 142