Кислов. атомная физика

Кислов А.Н.

Атомная физика

творять условиям: они являются однозначными, всюду конечными и непрерывными.

Условие нормировки Ψ-функции частицы, находящейся в бесконечном пространстве, записывается в виде равенства

+∞
∫ Ψ(r, t) 2 dVc =1 .	(5.1)

−∞

Интеграл представляет собой вероятность обнаружить частицу в каком-либо месте пространства, а это вероятность достоверного события, следовательно, он равен единице. Нормированная Ψ-функция определена с точностью до множителя, модуль которого равен единице, т.е. до множителя еiα, где α – любое действительное число.

Отметим важный момент. В классической физике работают с формулами, связывающими численные значения fo физических величин f. В квантовой механике используют формулы, связывающие операторы f , соответствующие этим физическим величинам f и действующие в пространстве Ψ- функций. Оператор f действует на Ψ-функцию, и получается другая Ψ/-

функция: f Ψ = Ψ/. Если Ψ-функция является собственной функцией оператора f , то для него справедливо уравнение на собственные функции и значения: f Ψ = foΨ. Собственное значение fo оператора f соответствует чис-

ленному значению физической величины f в состоянии, описываемом Ψ- функцией.

Запишем несколько операторов, широко используемых в квантовой механике. Оператор Гамильтона H :

H = i ∂∂t ;

оператор проекции импульса px на ось х:

px = −i ∂∂x ;

оператор импульса p :

p = −i ,

где – оператор градиента («набла»);

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005

Стр. 81 из 142

Кислов А.Н. Атомная физика

оператор кинетической энергии T кин (нерелятивистский случай):

	T кин =	p2	= −	2	∆ ,
		2m		2m

где ∆ = 2 – оператор Лапласа.

Зная волновую Ψ-функцию, можно вычислить значение fo физической величины f в состоянии, описываемом этой Ψ-функцией. Причем, согласно принципу неопределенности, fo является неким средним значением <f>, кото-

рое в координатном представлении находится по формуле
fo = f = ∫Ψ* (r ) fΨ(r )dVc ,	(5.2)
Vc

где звездочка «*» означает комплексное сопряжение.

5.2. Волновое уравнение Шредингера. Стационарное уравнение Шредингера

Основным уравнением квантовой механики является уравнение Шредингера. Его используют для определения Ψ-функций в любой момент времени t. Подобно тому, как уравнения движения Ньютона в классической механике или уравнения Максвелла в классической электродинамике не могут быть выведены теоретически из каких-либо соотношений, а представляют собой обобщение большого числа экспериментальных фактов, уравнение Шредингера в квантовой механике также нельзя строго вывести из известных ранее соотношений. Его следует рассматривать как исходное предположение, справедливость которого доказывается тем, что все вытекающие из него следствия точно согласуются с опытными фактами.

К уравнению Шредингера можно прийти путем следующих рассуждений, учитывая, что оно является уравнением нерелятивистским. Согласно гипотезе де Бройля, свободно двигающейся частице соответствует плоская гар-

моническая волна с частотой ω = Е/ħ и волновым вектором k = p , поэтому

для этой частицы волновую Ψ-функцию можно записать в виде (комплексная форма)

Ψ(r , t) = A exp(−i(ωt − kr )) = A exp(− i (Et − pr )) .

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005

Стр. 82 из 142

Кислов А.Н.			Атомная физика
Продифференцировав Ψ-функцию по времени t, получим равенство
∂Ψ(r, t)	= −	i	EΨ(r, t) ,
∂t

которое приведем к виду

i∂∂t Ψ(r, t) = EΨ(r, t) .

=H

Данная запись представляет собой уравнение на собственные функции и соб-

ственные значения оператора Гамильтона H .

Дважды продифференцировав Ψ-функцию по координатам r , получим

	соотношение
	∆Ψ(r, t) = −			1		p2 Ψ(r, t) ,
				2
	которое запишем в виде
	−	2	∆Ψ(r, t) =			p 2	Ψ(r, t) .
		2m				2m

=T

Это есть уравнение на собственные функции и собственные значения опера-

тора кинетической энергии T кин.

Из классической физики известно, что в нерелятивистском случае для

	свободной частицы справедливо равенство					E =		p 2	, т.е. полная энергия равна
								2m
	кинетической энергии частицы. Следовательно, для операторов H									и T кин
	выполняется равенство H =T кин.			Таким		образом, для свободной				частицы
	можно записать уравнение
	i	∂	Ψ(r, t) = −			2	∆Ψ(r, t) ,			(5.3)
					2m
		∂t

которое называется уравнением Шредингера для свободной частицы.

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005

Стр. 83 из 142

Кислов А.Н.

Атомная физика

Если частица двигается в силовом поле U(r,t), то ее полная энергия Е равна сумме кинетической энергии Ткин частицы и энергии U(r,t):

Е = Ткин + U(r,t) .

Оператор Гамильтона H в этом случае равен сумме операторов кинетической T кин энергии и энергии силового поля U (r, t) :

H = T кин + U (r, t) =T кин + U (r, t) ,

где учтено, что оператор функции координат равен самой функции. Следовательно, получаем следующее уравнение:

	i	∂	Ψ(r, t) = −	2	∆Ψ(r, t) +U (r, t)Ψ(r, t) ,	(5.4)
		∂t		2m

называемое уравнением Шредингера. Замечания по уравнению Шредингера.

1. Это уравнение позволяет найти волновую функцию Ψ(r,t) для любого

момента времени t, если известно ее значение в начальный момент времени to.

2.Несмотря на то что уравнение содержит только первую производную по времени t, из-за наличия мнимой единицы оно имеет периодические решения, поэтому уравнение Шредингера называют волновым уравнением.

3.Поскольку уравнение содержит первую производную по времени t и вторую производную по координатам, его решения будут комплексными (это отличает его от классического волнового уравнения, имеющего вторую производную по времени t, решениями которого являются действительные числа).

4.Уравнение является дифференциальным уравнением в частых производных. Такие уравнения чаще всего аналитически не решаются. В связи с этим в квантовой физике существует очень узкий круг задач, решаемых в аналитическом виде.

Если оператор Гамильтона H не зависит явно от времени t или, что равносильно, энергия силового поля U(r) не зависит явно от времени t (потенциальное поле), то полная энергия Е является постоянной величиной, и это соответствует случаю стационарных состояний. Волновая функция Ψ(r,t) ста-

ционарного состояния представляется стоячей монохроматической волной

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005

Стр. 84 из 142

Кислов А.Н.

Атомная физика

и записывается в виде произведения двух функций, из которых одна есть функция только координат r , а другая – времени t:

Ψ(r , t) = Ψ(r ) exp(− i Et) .

Из уравнения Шредингера (5.3) для свободной частицы, находящейся в стационарных состояниях, вытекает уравнение, позволяющее найти решения Ψ(r) , зависящие только от координат r :

	∆Ψ(r ) +	2m	EΨ(r ) = 0 ,	(5.5)
		2

которое называется стационарным уравнением Шредингера свободной частицы.

Для стационарных состояний с учетом наличия силовых полей имеем уравнение

	∆Ψ(r ) +	2m	(E −U (r))Ψ(r ) = 0	,	(5.6)
		2

называемое стационарным уравнением Шредингера.

5.3.Применение квантовой механики к простейшим задачам

остационарных состояниях частицы

Рассмотрим простые системы, для которых можно строго решить стационарное уравнение Шредингера (5.6). Хотя такие системы являются идеализацией физических систем, встречающихся в природе, во-первых, их исследование позволяет более полно понять методы квантовой механики, вовторых, полученные результаты в некотором приближении отражают свойства реальных систем.

Точные аналитические решения стационарного уравнения Шредингера могут быть получены для систем, в которых потенциальная энергия U(r) имеет определенный вид, например:

а) имеет постоянное значение во всем пространстве, б) имеет различные постоянные значения в отдельных областях про-

странства, переходя скачком от одного значения к другому на поверхностях, разделяющих такие области. Причем на этих поверхностях на волновую Ψ-функцию накладываются следующие граничные условия: 1) она должна

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005

Стр. 85 из 142

Кислов А.Н.

Атомная физика

быть непрерывной, 2) если скачок потенциальной энергии U(r) конечный, то и grad Ψ тоже должен быть непрерывный.

Рассмотрим два простых примера, которые допускают точное решение стационарного уравнения Шредингера.

Пример 1. Исследуем поведение частицы с массой m в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Предположим, что частица двигается вдоль координатной оси х. Ее движение ограничено двумя непроницаемыми стенками с координатами

х = 0 и х = l. Потенциальная энергия U(х) частицы должна удовлетворять требованиям:

	∞,	при	х ≤ 0 и x ≥ l	,
U (x) =				Рис. 5.1
	0,	при	0 < x < l .

График потенциальной энергии U(х) приведен на рис. 5.1. Назовем область с х ≤ 0 областью 1, область 0 < х < l областью 2 (потенциальной ямой), а область с х ≥ l областью 3.

Рассмотрим вначале, как ведет себя в такой яме классическая частица. В области 2 частица двигается с кинетической энергией Ткин, равной полной энергии Е. При этом полная энергия Е частицы может иметь любое значение от 0 до ∞. Подойдя к области 1 или 3, частица отразится от стенки и будет двигаться в противоположную сторону. Таким образом, частица не может находиться вне потенциальной ямы, а может с равной вероятностью находиться в любом месте потенциальной ямы с произвольным значением полной энергии Е.

Частица, подчиняющаяся законам квантовой механики, ведет себя иначе. Для того чтобы показать это, необходимо решить стационарное уравнение Шредингера:

	d 2	Ψ(x) +	2m	(E −U (x))Ψ(x) = 0 .
	dx2		2

За пределы потенциальной ямы, т.е. в областях 1 и 3, частица попасть не может, поэтому вероятность ее обнаружения, а следовательно, и ее волновая Ψ-функция в этих областях равны нулю. Из условия непрерывности

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005

Стр. 86 из 142

Кислов А.Н.

Атомная физика

Ψ-функции следует, что она должна равняться нулю на границе потенциальной ямы, т.е. получаются следующие граничные условия:

Ψ(0) = 0 и Ψ(l) = 0 .

(5.7)

В области 2 Ψ-функция не равна нулю, а стационарное уравнение Шредингера принимает вид однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:

d 2 Ψ(x) + k 2 Ψ(x) = 0 , dx2

где k 2 = 2m2 E .

Решения данного уравнения можно записать в виде

Ψ(x) = Asin kx + B cos kx .

Используя граничные условия (5.7), найдем вид Ψ-функции, удовлетворяющей им. Из условия для х = 0: Ψ(0) = Asin 0 + B cos 0 = 0 – следует, что

для выполнения этого равенства необходимо, чтобы коэффициент В был равен нулю, поэтому Ψ(x) = Asin kx . Из условия для х = l: Ψ(l) = Asin kl = 0 –

следует, что это равенство выполняется, когда sin kl = 0 . Последнее равенст-

во справедливо при kl = nπ или k = nlπ , где n = 1, 2,…. Следовательно, вол-

новая Ψ-функция , характеризующая n-е стационарное состояние частицы в области 2, имеет вид

Ψn (x) = Asin nlπ x .

Значение коэффициента А находится из условия нормировки Ψ-функции

(5.1):

A2 ∫l sin 2 nπxdx = 1 .

0 l

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005

Стр. 87 из 142

Кислов А.Н.							Атомная физика
Понизим степень подынтегрального выражения и вычислим интеграл
l	2 nπx		l	1 − cos( 2nπx / l)
∫sin			dx = ∫				dx = 1 / 2 .
		l				2
0			0
В результате находим A =			2 .
			l
Окончательно получаем
			Ψn (x) =		2 sin nπ x .		(5.8)
					l	l

На рис. 5.2 приведены графики собственных Ψ-функций для состояний с n = 1 и n = 2.

Рис. 5.2

Для нахождения собственных значений энергии E стационарных состояний воспользуемся равенством

откуда следует, что

Рис. 5.3

k	2	nπ			2	2m	E ,
		=			=
			l			2

	E = En =	π2	2	n2 .	(5.9)
		2ml 2

Таким образом, граничным условиям удовлетворяют значения энергии Е только из дискретного ряда En, а это означает, что частица в потенциальной яме может иметь только квантованные значения полной энергии En, зависящие от n-го состояния частицы (рис. 5.3). При-

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005

Стр. 88 из 142

Рис. 5.5

Кислов А.Н.

Атомная физика

чем расстояние ∆Еn между соседними энергетическими уровнями с ростом n будет возрастать:

	∆En = En+1	− En =	π2	2	(2n +1) .
			2ml 2

Вероятность обнаружения частицы, находящейся в n-м состоянии в потенциальной яме, характеризует квадрат мо-

	дуля				Ψn (x)					2 волновой функции Ψn (x) .
	На		рис. 5.4 представлены графики
Рис. 5.4		Ψn (x)					2	для состояний с n = 1 и n = 2. Из

них видно, что вероятность обнаружения частицы в потенциальной яме зависит от ее состояния и места ее обнаружения в яме.

Пример 2. Рассмотрим прохождение частицы с массой m и полной энергией Е через одномерный прямоугольной потенциальный барьер. Допустим, что координатная ось х сонаправлена с направлением движения частицы. Частица движется в силовом поле, потенциальная функция которого изображена на рис. 5.5. Потенциальная энергия U(х) частицы в этом случае удовлетворяет требованиям:

0,

U (x) =

U ,o

при х ≤ 0 и x ≥ l , при 0 < x < l .

Назовем область с х ≤ 0 областью 1, область 0 < х < l областью 2 (прямоугольным потенциальным барьером высоты Uo), а область с х ≥ l областью 3.

Рассмотрим, как ведет себя классическая частица при прохождении этого потенциального барьера. Если

полная энергия Е частицы меньше значения Uo (Е < Uo), то частица отразится от потенциального барьера и останется в области 1. Если Е > Uo, то частица свободно преодолеет потенциальный барьер и перейдет в область 3.

Квантовая частица ведет себя совершенно иначе. Всегда имеется некоторая вероятность, что при Е < Uo частица пройдет через потенциальный барьер (это явление называется «туннельный» эффект) и окажется в области 3, а при Е > Uo частица отразится от барьера и обнаружится в области 1.

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005

Стр. 89 из 142

Кислов А.Н.

Атомная физика

Для характеристики этих вероятностей вводятся такие величины, как коэффициент прозрачности D и коэффициент отражения Rотр потенциального барьера. Коэффициент прозрачности D равен вероятности прохождения частицы сквозь потенциальный барьер и определяется как отношение интенсивности Iпр, прошедшей сквозь барьер, к интенсивности Iпад, падающей на барьер волны де Бройля:

D = Iпр / Iпад .

Коэффициент отражения Rотр – это вероятность того, что частица испытает отражение от потенциального барьера, он равен отношению интенсивности Iотр, отраженной от барьера, к интенсивности Iпад, падающей на барьер волны де Бройля:

Rотр = Iотр / Iпад.

Причем выполняется такое равенство:

D + Rотр = 1 ,

так как сумма D и Rотр дает вероятность достоверного события: частица либо пройдет через барьер, либо отразится от барьера.

Для того чтобы найти коэффициенты D и Rотр, нужно решить стационарное уравнение Шредингера:

	d 2	Ψ(x) +	2m	(E −U (x))Ψ(x) = 0 .
	dx2		2

Учитывая, что потенциальная энергия U(х) является разрывной функцией, необходимо решить данное стационарное уравнение Шредингера для каждой области 1, 2 и 3, т.е. найти волновые функции Ψ1, Ψ2 и Ψ3, описывающие состояние частицы в этих областях.

Из условия непрерывности Ψ-функции и ее первой производной Ψ/ по координате х на границах областей, где происходит конечный скачок функции U(х), получаются следующие граничные условия:

Ψ (0) = Ψ			(0) ,		и	Ψ		(l)
	1	2		(0)			2	(l)
	Ψ/ (0) = Ψ/						Ψ/
	1		2				2

	= Ψ3(l) ,		(5.10)
	= Ψ/	(l) .
	3

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005

Стр. 90 из 142