Кислов. атомная физика

Кислов А.Н. Атомная физика

невозбужденного (основного) состояния с энергией Е1 в возбужденное с энергией Е2.

Если кинетическая энергия электрона Ткин = mv2/2 = еVкс меньше, чем ∆Е = Е2 – Е1, соударения носят упругий характер. В этом случае кинетическая энергия электронов Ткин после соударения не меняется, потому что не меняется величина их скорости. Последнее утверждение следует из закона сохранения импульса, так как масса электрона много меньше массы атома ртути. При упругих соударениях меняется только направление скорости электронов. Такой вид соударений не мешает электронам достигать анода. При этом величина анодного тока Iа будет тем больше, чем больше напряжение Vкс, определяющее кинетическую энергию Ткин электронов.

Если кинетическая энергия электрона Ткин больше, чем ∆Е, соударения становятся неупругими. В этом случае электроны передают атомам ртути энергию ∆Е и продолжают двигаться с меньшей кинетической энергией Т/кин = Т – ∆Е. При этом число электронов, достигающих анод, уменьшится, поскольку многие столкнувшиеся с атомами ртути электроны не будут обладать энергией, достаточной для преодоления задерживающего поля Vса, между сеткой и анодом. Таким образом, неупругие столкновения являются причиной резкого падения величины анодного тока Iа.

Поскольку ближайшим к основному состоянию атома ртути с энергией Е1 является возбужденное состояние с энергией Е2 , отстоящее от основного на 4,9 эВ, то становится понятной зависимость величины анодного тока Iа от напряжения Vкс в опытах Франка и Герца. Отметим, что и при напряжении Vкс, равном 9,8 В и 14,7 В, наблюдается резкий спад кривой. Это происходит потому, что при этих значениях напряжения электроны могут испытывать соответственно два и три неупругих соударения с атомами ртути. При этом электроны теряют свою энергию и возбуждают атомы, переводя их из состояния с энергией Е1 в состояние с энергией Е2.

4.5. Теория строения водородоподобных атомов по Бору

Рассмотрим, исходя из теории Бора, водородоподобный атом, т.е. систему, состоящую из точечного ядра с зарядом +ze (z – атомный номер) и одного электрона с массой m и зарядом –е, движущегося со скоростью v в кулоновском поле ядра по некоторой круговой орбите радиуса R (рис. 4.10). Движение электрона описывается так же, как и в плане-

тарной модели Резерфорда.

Рис. 4.10

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005

Стр. 71 из 142

	Кислов А.Н.		Атомная физика
	Полная энергия Е электрона, согласно (4.7), равна
	E = −	ze2	,
		2R

а радиус R орбиты можно найти из условия равенства сил, действующих на электрон:

= ze2 R mv2 .

Считаем, что движение электрона происходит в плоскости ХУ, поэтому момент количества движения L (4.8) направлен вдоль координатной оси Z. Его z-я компанента Lz равна

Lz = m(xy − yx) .

Если перейти в полярную систему координат, которая связана с декартовой системой следующим образом:

x = R cos ϕ , y = R sin ϕ ,

то Lz можно записать в виде

Lz = mR2 ϕ = mRv .

=ω=Rv

Основываясь на этом выражении и втором постулате Бора (4.9), напишем равенство

Lz = mRv = n .

Отсюда находим выражение для скорости v электрона:

v = mRn .

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005

Стр. 72 из 142

Кислов А.Н.

Атомная физика

Подставив это выражение в уравнение для определения радиуса R орбиты, получим дискретный ряд радиусов Rn орбит, на которых может находиться электрон в водородоподобном атоме:

Rn =	2n2
		.	(4.11)
	mze2

Подставив это равенство в выражение для скорости v, найдем скорости vn электронов на разрешенных орбитах:

	vn =	ze2	.	(4.12)
		n

Наконец, подставив выражение для Rn (4.11) в формулу для полной энергии Е электрона в модели Резерфорда, найдем значения энергии Еn электрона на n-й стационарной орбите водородоподобного атома:

En = −z	2 me4			1		.	(4.13)
		2	2		n2

Число n, характеризующее определенный энергетический уровень En атома, называется главным квантовым числом. Состояние атома с n = 1 называется невозбужденным (основным) состоянием, все остальные состояния атома с n > 1 называются возбужденными состояниями.

Для атома водорода, у которого z = 1: Первая орбита (n = 1) имеет радиус R1:

		2		o
	R1	=		≈ 0,529 A .
			me2

Эта величина называется первым боровским радиусом. Радиус Rn n-й орбиты равен

Rn = R1n2 .

Энергия Е1 электрона на первой орбите

E1 = − me4 ≈ −13,59 эВ . 2 2

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005

Стр. 73 из 142

Кислов А.Н.			Атомная физика
Энергия электрона на n-й орбите
En	=	E1	.
		n2

Схема энергетических уровней для атома водорода представлена на рис.4.11. Введем ряд терминов. Энергией ионизации Еион n-го состояния атома называется энергия, необходимая для

	того, чтобы оторвать электрон с n-й ор-
	биты атома и удалить его на бесконеч-
	ность: Еион = Е∞ – Еn. Энергия связи Есв
	электрона, находящегося на n-й орбите
	атома, равна значению энергии электро-
	на Еn на этой орбите: Есв = Еn. Например,
	для атома водорода энергия ионизации
	Еион основного состояния атома равна
	13,59 эВ, а энергия связи Есв электрона,
	находящегося на первой орбите атома,
Рис. 4.11	равна -13,59 эВ.
	Используя третий постулат Бора

(4.10) и формулу (4.13) для вычисления энергии Еn электрона, находящегося на стационарных орбитах водородоподобных атомов, найдем частоту ν фотонов, которые излучаются атомами при переходах электронов с n-й на k-ю орбиты (n > k):

	En − Ek		z 2me4		1			1
ν =		=					−		.
	h		4π					n2
				3	k 2

Тогда для волновых чисел ν = νc спектральных линий получим формулу

	z 2me4			1		1
ν =					−		.	(4.14)
	4π	3c				n2
			k 2

=const

Следовательно, для атома водорода пришли к формуле, аналогичной обобщенной формуле Бальмера (4.2), которая была найдена эмпирически:

ν = R k12 − n12 ,

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005

Стр. 74 из 142

Кислов А.Н.

где постоянная Ридберга R =

Атомная физика

me4 = 109735,7 см-1 (теоретическое значение). 4π 3c

Достаточно хорошее совпадение постоянной Ридберга, полученной из теории Бора, с ее экспериментальным значением, а также объяснение закономерностей, наблюдаемых в спектре атома водорода, т.е. получение теоретическим путем обобщенной формулы Бальмера, были первым успехом теории Бора о строении атома.

4.6. Учет движения ядра в теории Бора

Рассматривая теорию водородоподобного атома по Бору, предполагали, что электрон вращается вокруг неподвижного ядра. Такое допущение было бы оправдано, если бы масса ядра M была бесконечно большой по сравнению с массой m электрона. В действительности же отношение массы ядра атома водорода к массе электрона равно M/m =1836,15 и движение ядра c электроном происходит около их общего центра инерции.

Это обстоятельство приводит к небольшим неточностям в теоретических результатах, полученных в теории Бора, в частности в значении постоянной Ридберга. Однако нетрудно внести поправку, учитывающую помимо движения электрона еще и движение ядра. Суть того, как ее внести, заключается в том, что движение двух частиц – ядра и электрона – рассматривается в системе центра инерции. При этом движение двух частиц сводится к движению одной фиктивной частицы около неподвижного центра по окружности с радиусом r, равным расстоянию между данными частицами, и эта частица обладает массой µ, связанной с массами ядра M и электрона m.

Рассмотрим изложенный подход более подробно. Действительное движение ядра с массой М и электрона с массой m в атоме около точки О, взятой за начало координат, показано на рис. 4.12. Положение ядра характеризует радиус-вектор rя, а положе-

ние электрона радиус-вектор rэ ,

расстояние между ними определяет вектор:

r = rя – rэ .

(4.15)

Во всякой системе двух частиц существует замечательная точка С,

Рис. 4.12

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005

Стр. 75 из 142

Кислов А.Н.

Атомная физика

называемая центром инерции, радиус-вектор rc которой определяется следующим образом:

r =

Mrя + mrэ

.

(4.16)

c	M + m

Свойства центра инерции:

1)центр инерции находится на прямой, соединяющей обе частицы;

2)центр инерции делит прямую, соединяющую обе частицы на отрезки, отношение длин которых обратно отношению масс частиц:

	rc	− rя				=	m	;
	r	− r					M
	c	э

3) центр инерции движется равномерно и прямолинейно.

Из (4.15) и (4.16) выразим радиус-векторы rя и rэ через векторы r и rc :

r		я	=		m	r		+ r ,
				M + m				c
					M
r			= −				r	+ r .
					M + m
	э							c

Запишем полную энергию Е системы двух частиц в системе координат с началом в точке О:

E = 12 Mrя2 + 12 mrэ2 +U ( rя − rэ ) .

Проведем замену векторов rя и rэ на векторы r и rc , тогда

E =	1	(M + m)r 2	+	1		Mm	r 2 +U (r) .
	2	c	2			M + m

Теперь перейдем в систему координат с началом в центре инерции: rc = 0, т.е. в систему центра инерции. В этой системе полный импульс P всех частиц системы равен нулю ( Pци = 0) и не рассматривается движение системы

частиц как целого, а учитывается только относительное движение частиц внутри системы.

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005

Стр. 76 из 142

Кислов А.Н.										Атомная физика
В системе центра инерции полная энергия Е двух частиц равна
				Eци=	1		Mm	r 2 +U (r) =	1	µr 2 +U (r) ,
							M + m
			2					2
где µ =	Mm	=		m			– приведенная масса ядра и электрона. Видно, что
	M + m
			1 + m / M

при стремлении массы М к бесконечности (M → ∞) приведенная масса µ стремится к массе m электрона, а центр инерции совпадает с центром ядра.

Таким образом, учет движения ядра и электрона осуществляется, если рассматривается движение фиктивной частицы с массой µ относительно неподвижного ядра. В этом случае постоянная Ридберга определяется по фор-

	муле	me4
	R =				1	,
		4π	3c	1 + m / M

а значение, полученное по этой формуле, совпадает с экспериментальным значением.

4.7. Магнитные свойства атома в теории Бора. Недостатки теории Бора

Вращающийся по круговой орбите радиуса R со скоростью v электрон с зарядом –е и массой m обладает моментом количества движения L (рис. 4.13):

где n – единичный вектор.

Рис. 4.13

L = mRv n ,

(4.17)

С другой стороны, электрон, двигающийся по круговой орбите, эквивалентен контуру с током. Величина силы тока I по определению равна количеству электричества, протекающего в единицу времени через некоторую точку орбиты. В нашем случае это отношение модуля заряда электрона е к его периоду обращения Т = 2πR / v :

I = Te = 2evπR .

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005

Стр. 77 из 142

Кислов А.Н.

Атомная физика

Отметим, что направление движения отрицательно заряженного электрона противоположно направлению тока.

Контур с током обладает магнитным моментом µ, направление которого определяется по правилу буравчика и который вычисляется по формулам:

	µ =	1	IS k	(в системе CГСЭ) ,	(4.18)
		c
	µ = IS k			(в системе СИ) ,

где S = πR2 – площадь, охватываемая контуром; k – единичный вектор нормали к поверхности S, с вершины которого ток виден идущим против часовой стрелки. Подставив в (4.18) вместо силы тока I и площади S соответст-

вующие выражения и заменив k на n , получим (в системе CГСЭ)

µ = − 2ec Rv n .

Следовательно, магнитный момент µ, обусловленный орбитальным движе-

нием электрона, может быть выражен через момент количества движения L (4.17) электрона следующим образом:

µ = − 2mce L = −γl L ,

где γl = 2mce – это гиромагнитное отношение; знак «–» указывает на то, что

векторы µ и L противоположно направлены. Отметим, что для положительно заряженной частицы был бы знак «+».

В теории Бора величина момента количества движения L принимает дискретные значения L = n (второй постулат), поэтому и величина магнитного момента µ является квантованной величиной:

µ = γl n = 2emc n = µb n ,

где µb = 2emc – это элементарный магнитный момент, называемый «магнетон

Бора». Таким образом, в теории Бора величина магнитного момента µ атома, обусловленного орбитальным движением электрона, кратна «магнетону Бора» µb .

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005

Стр. 78 из 142

Кислов А.Н.

Атомная физика

Дальнейшее развитие физики показало, что теория Бора обладает рядом недостатков. В частности, с ее помощью невозможно было создать теорию нейтрального атома гелия, следующего в периодической системе за атомом водорода. Это объясняется внутренней противоречивостью теории Бора, которая являлась соединением классической физики с квантовыми постулатами, противоречащими ей. Теория Бора была переходным этапом на пути создания последовательной теории строения атома, которой стала квантовая механика.

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005

Стр. 79 из 142

Кислов А.Н.

Атомная физика

Глава 5. Физические основы квантовой механики

5.1. Основные положения квантовой механики

Как отмечалось в гл. 3, микрочастицы обладают одновременно свойствами частиц и волн, поэтому не являются ни частицами, ни волнами в обычном смысле этих слов. В связи с этим классическая физика не может дать правильного описания поведения подобных частиц. В первой половине XX века возникла необходимость в создании механики микрочастиц, которая учитывала бы присущий им корпусклярно-волновой дуализм. Такая теория была построена и называется квантовая механика.

При создании квантовой механики были использованы два подхода. Первый, заложенный Борном, привел в начале 1925 г. к созданию Гейзенбергом «матричной механики», которая основывалась на корпускулярных свойствах микрочастиц. Второй, включающий идеи де Бройля, позволил Шредингеру в конце 1925 г. создать «волновую механику», которая опиралась на волновые свойства микрочастиц. В дальнейшем выяснилось, что это две интерпретации, две разные формы записи квантовой механики.

В квантовой механике состояния микрочастиц описываются волновыми Ψ-функциями, не имеющими непосредственного физического смысла. Эти функции являются вспомогательными величинами и используются для вычисления значений fo различных физических величин f в состояниях, определяемых этими Ψ-функциями. Волновая Ψ-функция является комплексной функцией, зависящей от координат r и времени t: Ψ = Ψ(r,t). Она удовле-

творяет дифференциальному уравнению, называемому уравнением Шредин-

гера (см. п.5.2).

Одним из основных положений квантовой механики является принцип суперпозиции состояний, который состоит из двух утверждений: а) если система может находиться в состояниях 1 или 2, описываемых Ψ1- или Ψ2- функциями, то она может находиться и в состоянии 3, описываемом Ψ3- функцией, образующейся из Ψ1- и Ψ2-функций с помощью линейного преобразования: Ψ3 = а1Ψ1 + а2Ψ2, где а1 и а2 – комплексные числа, не зависящие от времени t; б) если волновую Ψ-функцию умножить на любое не равное нулю комплексное число а, то новая функция Ψ/ = аΨ будет соответствовать тому же состоянию.

Квадрат модуля Ψ(r, t) 2 волновой Ψ-функции частицы для какой-либо

точки пространства r интерпретируется как плотность вероятности обнаружить частицу в окрестности этой точки. Следовательно, вероятность dW об-

наружения частицы в пределах объема dVс равна dW = Ψ(r, t) 2 dVс. Из-за то-

го, что плотность вероятности Ψ(r ,t) 2 должна быть однозначной функцией координат r и не обращаться в бесконечность, Ψ-функции должны удовле-

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005

Стр. 80 из 142