Кислов. атомная физика

Кислов А.Н.

Атомная физика

Вычислим напряженность электрического поля E (r), воспользовавшись теоремой Остроградского – Гаусса:

∫E(r)dS =4πq (в системе СГСЭ) ,

S

∫E(r)dS =	q (в системе СИ) ,
S	εo

где εо – электрическая постоянная; q – заряд, расположенный внутри сферы радиуса r и площадью поверхности S.

Поскольку распределение положительного заряда сферически симметрично, то и электрическое поле E (r), создаваемое этим зарядом, обладает такой же симметрией, то

E(r) = E(r) rr ,

где Е(r) – значение напряженности электрического поля на расстоянии r от центра сферы; rr – нормаль к поверхности сферы радиуса r. Учитывая, что

dS = dS rr ,

получим (в системе СГСЭ)

∫E(r)dS =E(r)∫dS = 4πr 2 E(r) = 4πq .

S	S
Следовательно,					q
E(r) =						.
				r 2
За пределами рассматриваемой сферы, когда r > Ro и q = e, имеем
E(r) =					e	.
				r 2
В нашем случае, когда r < Ro , заряд q равен
q = ρ	+ 4πr		3		=		er 3	,
		3					Ro3
ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005								Стр. 61 из 142

Кислов А.Н.						Атомная физика
поэтому
E(r) =	er	.
	Ro3
Зависимость Е(r) представлена на
рис. 4.3. Видно, что внутри сферы величи-
на Е(r) зависит от расстояния до центра
сферы линейно, поэтому напряженность
электрического поля E (r) определяется
						Рис. 4.3.
следующим образом
		E(r) =	e	r .		(4.4)
			Ro3

В этом случае сила F(r) (4.3), которая воздействует на электрон, является квазиупругой и находится по формуле

F(r) = − e2 r . Ro3

=const

Следовательно, уравнение движения для электрона имеет вид

	..		e	2
	m r	= F(r) = −			r .
			Ro3

Перепишем его в виде однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:

	..	+ ωo2 r = 0 ,
	r
где ωo =	e2
	mR3 . Это уравнение гармонического осциллятора, и его решение
имеет вид	o
	r (t)= Acos ωot + B sin ωot ,

где A и B – некоторые постоянные векторы. Их физический смысл следую-

щий. Для времени t = 0: A = r(0) , B = r(0) = v(0) , т.е. A – вектор, задающий

ωo ωo

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005

Стр. 62 из 142

Кислов А.Н.

Атомная физика

смещение электрона из равновесного положения в начальный момент времени; B – вектор, связанный со скоростью электрона в начальный момент времени. Итак, положение электрона в атоме определяется уравнением

r (t)= r (0) cos ωot +	v(0)	sin ωot .	(4.5)
	ωo

Электрон совершает незатухающие гармонические колебания с частотой ωо, и при этом происходит излучение электромагнитных волн на частоте ωо.

Из анализа уравнения (4.5) следует, что модель атома по Томсону не может объяснить линейчатый характер спектра атома водорода, так как модель дает только одну спектральную линию на частоте ωо. Модель Томсона является неверной и в настоящее время представляет интерес как один из этапов развития теории о строении атома.

4.3. Опыты Резерфорда по рассеянию альфа-частиц. Планетарная модель атома, ее проверка и недостатки

Для построения модели атома требовались знания о характере распределения в нем положительных и отрицательных зарядов. Важная информация об этом была получена в 1908-1910 гг. Резерфордом и его сотрудниками при исследовании углового распределения α-частиц, рассеянных веществом. Отметим, что α-частицы испускаются многими радиоактивными веществами и представляют собой дважды ионизированные ионы гелия, т.е. частицы с положительным зарядом q = +2е и с массой, примерно в 4 раза большей массы атома водорода и 7300 раз большей массы электрона. Скорость v α-частицы при вылете из радиоактивного вещества составляет порядка 107 м/с.

В опытах сотрудников Резерфорда – Гейгера и Марсдена изучалось рассеяние α-частиц на тончайшей металлической (золотой, платиновой) фольге.

Внутри свинцовой полости СП помещается радий Р, который является источником α-частиц (рис. 4.4). Через узкое отверстие в полости α- частицы выходят наружу и направляются на металлическую фольгу МФ толщиной около 1 мкм. После прохождения фольги, т.е. сквозь де-

Рис. 4.4 сятки тысяч ее атомных слоев, рассеянные под различными углами Θ α- частицы попадают на экран Э, спо-

собный вращаться вокруг оси, перпендикулярной плоскости (рис. 4.4) и проходящей через центр фольги. Экран был покрыт люминесцирующим вещест-

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005

Стр. 63 из 142

Кислов А.Н. Атомная физика

вом (сернистый цинк), поэтому при попадании на него α-частиц наблюдается свечение (сцинтилляции). К экрану был прикреплен микроскоп М, с помощью которого можно регистрировать вспышки, появляющиеся при попадании на экран α-частиц.

Опыты показали, что отклонение α-частиц в основном происходит на небольшие углы Θ, в среднем 2о – 3о, и распределение α-частиц по углам в точности соответствует статистической

	кривой случайных явлений (рис. 4.5).
	Наряду с таким рассеянием было
	обнаружено рассеяние, при котором α-
	частицы, примерно 1 на 8000, откло-
	няются на большие углы Θ, иногда
	превышающие 90о и доходящие до
	180о. Теоретические расчеты показали,
	что наблюдаемые большие отклонения
Рис. 4.5	α-частиц нельзя объяснить через нако-
	пление отклонений на небольшие углы.

Анализируя эти результаты, Резерфорд пришел к выводам:

1.Из-за того что масса α-частиц много больше массы электронов, α-частицы не могут отклоняться от своего первоначального пути при столкновении с электронами.

2.Отклонение на большие углы происходит в результате однократного столкновения α-частицы с положительным зарядом атома, имеющим большую массу и заключенным в объеме радиуса r, много меньшем, чем объем атома радиуса Rо, так как только в этом случае а) сила кулоновского отталки-

вания величины	F =	2ze2	, где z – атомный номер атомов фольги, дейст-
	k	r 2

вующая со стороны положительного заряда атома на α-частицу, достаточна велика и может привести к большему отклонению α-частицы от первоначальной траектории, б) вероятность попадания α-частицы в положительный заряд атома маленькая, поэтому мало число α-частиц, отклонившихся на большие углы.

На основе этих заключений в 1911 г. Резерфорд предложил ядерную модель атома. Согласно ядерной модели, атом состоит из положительно заряженного ядра, в котором сосредоточена почти вся масса атома и которое имеет радиус r значительно меньший, чем радиус атома Rо, а также из отрицательно заряженных электронов, расположенных вне ядра, которые образуют некую электронную конфигурацию, определяющую размер атома. Отметим, что электронную конфигурацию можно считать статической, т.е. электроны могут образовывать механически равновесные системы, располагаясь так, чтобы силы притяжения каждого из них к ядру уравновешивались силами отталкивания электронов друг от друга. Однако было установлено, что такие статические системы не являются механически устойчивыми (теорема

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005

Стр. 64 из 142

Рис. 4.6

Кислов А.Н.

Атомная физика

Ирншоу). Это обстоятельство привело Резерфорда к динамической модели атома, согласно которой электроны двигаются вокруг ядра по замкнутым траекториям, подобно планетам, вращающимся вокруг Солнца. Таким образом, была предложена планетарная модель атома. Данная модель была экспериментально подтверждена позднее. Ее экспериментальное подтверждение связано с экспериментальной проверкой задачи о движении α-частицы в кулоновском поле положительного заряда, сосредоточенного в малом объеме – ядре атома.

Рассмотрим такую задачу. На α-частицу с массой М и зарядом +2e , приближающуюся со скоростью v и прицельным расстоянием l к атомному ядру с зарядом +ze (рис. 4.6), действует кулоновская сила отталкивания величиной Fk. В результате этого α-частица будет отклоняться от первоначальной траектории. Из классической механики известно, что при всех

перечисленных условиях α-частица будет двигаться по ветви гиперболы, асимптоты которой совпадают с направлениями скоростей до и после взаимодействия ее с ядром. Угол отклонения Θ определяется по формуле

ctg Θ = Mv2 l . 2 2ze2

Экспериментальная проверка этой формулы невозможна, так как в нее входит недоступное измерению прицельное расстояние l. Резерфорду удалось на основе этой формулы получить выражение, допускающее экспериментальную проверку. Формула Резерфорда для рассеяния α-частиц имеет вид

dN		ze	2			2	dΩ
	= Σ = ndσ = n							,
				2
N		Mv					sin 4 Θ
							2

где dN – число α-частиц, рассеянных на угол Θ в пределах телесного угла dΩ; N – число α-частиц, падающих на поверхность рассеивающего вещества в единицу времени; Σ – макроскопическое сечение, равное сумме эффективных сечений dσ рассеивающих ядер в единице объема; n – число рассеивающих ядер в единице объема.

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005

Стр. 65 из 142

Кислов А.Н.

Атомная физика

Данная формула была подвергнута экспериментальной проверке сотрудниками Резерфорда в 1913 г. Они установили, что теоретический результат хорошо согласуется с опытом. Это свидетельствовало в пользу планетарной модели атома.

Рассмотрим с точки зрения планетарной модели Резерфорда атом водорода и водородоподобные атомы, т.е. ионы, у которых в кулоновском поле ядра с зарядом +ze двигается на расстоянии Ro от ядра один электрон с массой m и зарядом –е (рис. 4.7). Найдем полную энергию Е электрона:

Е = Ткин + U(Ro) ,

(4.6)

Рис. 4.7

где Ткин – кинетическая, а U(Ro) – потенциальная энергия электрона. При малых скоростях v вращения электрона (v << c) его кинетическая энергия Ткин равна

Ткин = mv2 2 .

Поскольку

F	(r) = −gradU (r) = −	dU (r)	= −	dU (r)		dr	= −	dU (r)		r	,
k		dr		dr dr				dr r

где Fk(r) – кулоновская сила притяжения, действующая на электрон со стороны ядра, которая равна

F	(r) = −eE(r) = −	ze2		r	= F (r)	r	,
k		r 2		r	k	r

то потенциальную энергию U электрона, находящегося на расстоянии Ro от ядра, вычисляют по формуле

Ro		Ro dr			ze2			Ro		ze2
U (Ro ) = − ∫	Fk (r)dr = ze2 ∫			= −					= −		.
∞		∞ r 2			r			∞		Ro

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005

Стр. 66 из 142

Кислов А.Н.

Атомная физика

Отметим, что за начало отсчета потенциальной энергии взяли энергию системы «ядро с находящимся от него на бесконечности электроном». Таким образом, для полной энергии Е (4.6) справедливо равенство

E =	mv2		ze2
		−		.
	2
			Ro

Согласно второму закону Ньютона, для механической устойчивости атома необходимо, чтобы вращение электрона по орбите радиуса Ro происходило с такой скоростью v, при которой для центростремительной силы, роль которой играет сила кулоновского притяжения Fk(r), выполнялось равенство Fk(r) = ma , которое можно записать следующим образом:

ze2 = mv2 . Ro2 Ro

С учетом этого равенства полная энергия Е электрона, двигающегося в кулоновском поле водородоподобного атома по орбите радиуса Ro, будет иметь вид

E = −	ze2
		.	(4.7)
	2Ro

Планетарная модель атома сыграла важную роль в развитии теории строения атома, однако и она оказалась неверной, так как обладает рядом недостатков, а именно:

а) с точки зрения классической электродинамики она неустойчива, б) вместо линейчатого спектра дает непрерывный.

Покажем это.

а. При движении электрона по окружности радиуса R электрический дипольный момент d атома будет периодически изменяться со временем t:

d (t) = −eR(t) .

В этом случае электрон двигается с центростремительным ускорением а:

a =		R		=	v2	=	ze2	,
					R		mR2

и согласно классической электродинамики он должен излучать электромагнитные волны, что приводит к потере энергии Е атома. Количество энергии,

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005

Стр. 67 из 142

Кислов А.Н.

Атомная физика

излучаемой электрическим диполем d в единицу времени Ф(t) (поток излучения), находится в классической электродинамике по формуле

Ф(t) =	2		d		2 =	2z 2e6		1	.
	3c3					3c3m2 R4
		=e2a2

С другой стороны,

Ф(t) = −	dE	= −	ze2		dR	,
	dt		2R2		dt

где знак «–» учитывает уменьшение энергии при излучении. Следовательно, справедливо следующее равенство:

	R2 dR = −	4 ze4			dt .
		3 m2c3

Проинтегрировав это равенство с пределами интегрирования от 0 до t, приходим к выражению

			R3 (t) = R3 (0) − 4	ze4	t = R3 (0)(1 −	t	) ,
				m2c3
						τ
где τ =	m2c3 R3	(0)	.
	4ze4

Из данного выражения видно, что расстояние от электрона до ядра R(t) со временем t убывает, и в момент времени t = τ электрон, двигаясь по спирали, упадет на ядро. Время τ – это время жизни Резерфордовского атома, и оно равно 10-10 с. Таким образом, электрон почти мгновенно упадет на ядро.

б. При движении электрона по окружности в сферически-симметричном поле его момент количества движения L (момент импульса)

L = [R × p]=m[R × v]

(4.8)

является постоянной величиной (интегралом движения). Для компоненты момента количества движения L, перпендикулярной плоскости, в которой

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005

Стр. 68 из 142

Кислов А.Н.

Атомная физика

двигается электрон и которая тоже является постоянной величиной, справедливо равенство

L = mRv = mR2ω = const .

Из данного равенства следует, что при непрерывном уменьшении расстояния R от электрона до ядра будет возрастать скорость v электрона и непрерывно увеличиваться частота ω излучения. Вследствие этого получается непрерывный спектр, а не линейчатый, который наблюдается в эксперименте.

4.4.Квантовые постулаты Бора и их экспериментальное подтверждение

Вп.4.3 отмечалось, что планетарная модель Резерфорда, построенная в рамках классической физики, оказалась электродинамически неустойчивой и неспособной объяснить линейчатый характер атомного спектра. В 1913 г. Нильс Бор, опираясь на предположения, которые противоречили классической электродинамике, создал первую неклассическую теорию атома. В основе этой теории лежала идея объединить в единое целое три результата, полученные к тому времени в области физики, а именно:

1) линейчатый характер атомных спектров; 2) квантовый подход к излучению и поглощению, предложенный Эйн-

штейном; 3) планетарную модель атома, созданную Резерфордом.

Для того чтобы связать эти научные достижения, Бор принимает классический подход к описанию движения электрона в атоме, т.е. планетарную модель, но при этом выдвигает три постулата, противоречащих принципам классической физики.

1. Первый постулат называется постулатом стационарных состояний и заключается в следующем: атомы могут находиться только в определенных стационарных состояниях, не изменяющихся во времени без внешних воздействий. Находясь в этих состояниях, атом обладает энергией Е, образую-

щей дискретный ряд: Е1, Е2, …(систему энергетических уровней). Стационарным состояниям соответствуют стационарные орбиты, по которым движутся электроны. Несмотря на то что электроны движутся с ускорением, они не излучают электромагнитных волн.

2. Второй постулат называется правилом квантования орбит и утверждает, что стационарными орбитами будут те, для которых величина момента

количества движения L электрона кратна постоянной Планка ħ:

	L		= n = n	h	,	(4.9)
				2π
где n = 1, 2, 3,….
ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005						Стр. 69 из 142

Рис. 4.9

Рис. 4.8

Кислов А.Н.

Атомная физика

3. Третий постулат называется постулатом частот. Он устанавливает связь между возможными значениями энергии атома Еn и частотами ν испускаемого или поглощаемого излучения и при этом утверждает, что при переходе атома из одного стационарного состояния с энергией Еn в другое с энергией Еk испускается или поглощается один фотон строго определенной частоты ν , которая определяется из условия

hν = Еn – Еk .

(4.10)

Если Еn > Еk , то происходит излучение фотона, т.е. излучение происходит при переходе из состояния с большей энергией в состояния с меньшей энергией, при этом осуществляется переход электрона с более удаленной от ядра орбиты на более близкую. Если Еn < Еk, то происходит поглощение фотона.

Квантовые постулаты Бора о существовании стационарных состояний атома нашли экспериментальное подтверждение в опытах, выполненных в 1913 г. Франком и Герцем. В этих опытах изучалось прохождение пучка электронов, ускоренных электрическим полем, через пары ртути.

Схема установки, используемая в опытах, представлена на рис. 4.8. В стеклянном сосуде, заполненном парами ртути под небольшим давлением (≈ 0.1 мм рт. ст.), имеются три электрода: катод К, сетка С и анод А. Вылетающие из катода вследствие термоэлектронной эмиссии электроны ускоряются разностью потенциалов Vкс, приложенной между катодом и сеткой, которую можно плавно менять потенциометром R и измерять вольтметром Vкс. В пространстве

между катодом и сеткой электроны двигаются, испытывая соударения с атомами ртути. Между сеткой и анодом создается слабое задерживающее поле с разностью потенциалов Vса ≈ 0.5 В. Это поле должны преодолеть электроны, не осевшие на сетке, чтобы достигнуть анода и создать анодный ток Iа, регистрируемый гальванометром.

В опытах определялась зависимость силы анодного тока Iа от величины напряжения Vкс. Результат измерений приведен на рис. 4.9. Такой пилообразный ход кривой можно объяснить следующим образом. По Бору, атом ртути при соударении с электроном не может от него принять любую порцию энергии, а только такую ∆Е, которой достаточно для перехода атома из

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ − 2005

Стр. 70 из 142