Тема 14. Экономико – математические методы в экономическом анализе

14.1. Классификация экономико-математических методов анализа хозяйственной деятельности

Применение экономико-математических методов позволяет более точно учесть влияние факторов на результативные показатели, заменить приближенные расчеты точными расчетами с использованием математических приемов и решения многомерных задач.

К экономико-математическим методам относят:

1) методы элементарной математики, используемые при традиционных экономических расчетах, например, при обосновании потребности в ресурсах, определении сумм затрат на производство, разработке планов, при балансовых расчетах;

2) классические методы математического анализа: дифференцирование и интегрирование, вариационное исчисление, которые применяются в факторном анализе;

3) методы математической статистики, которые используются при изучении изменения анализируемых показателей, когда связь между анализируемыми показателями имеет стохастический характер (случайный). В экономическом анализе из математико-статистических методов часто используются методы множественного и парного корреляционного анализа;

4) методы математического программирования, представляющие основной прием при решении задач по оптимизации деятельности экономического субъекта;

5) эконометрические методы, которые базируются на синтезе знаний экономики, математики и статистики и основой являются экономический модели в виде схематического представления экономического явления или процесса с помощью научной абстракции и отражением их специфики. Распространение получили матричные (балансовые) модели;

6) методы исследования операций, которые предусматривают количественную оценку полученных решений и выбор из них наилучшего (теория игр, теория массового обслуживания и др.).

Наиболее востребовано математическое моделирование экономических процессов, которое позволяет дать характеристику и количественное описание внутренней структуры и внешних связей исследуемого объекта.

Модель представляет условный образ объекта исследования, конструируемый субъектом исследования с целью отображения характеристик экономического субъекта: свойств, взаимосвязей, структурных и функциональных параметров, существенных для цели исследования. Экономическая модель есть условный, искусственно сформированный образец какого – либо экономического процесса.

Стандартный процесс моделирования включает следующие основные этапы:

1. Подготовительный.

На этом этапе проводится предварительный анализ особенностей изучаемого объекта, формируется целевая функция и определяется критерий оптимальности. На основе критерия оптимальности сравниваются различные варианты управленческого решения и выбирается оптимальный. Такими критериями в экономическом анализе выступают следующие: максимальная прибыль, минимальная себестоимость, минимальные потери от брака, наибольшая производительность труда, наименьшие издержки.

На этом этапе важно четко сформулировать конечную цель построения модели, определить критерии для сравнения различных вариантов управленческих решений.

При постановке задач математического программирования предполагается ограниченность ресурсов, подлежащих распределению в себестоимость производства продукции. С этой целью определяют виды решающих и в то же время лимитирующих ресурсов, а также выявляют их запас. При использовании всех производственных ресурсов (сырье, трудовые ресурсы, мощность оборудования) для производства продукции, определяется расход каждого их вида на единицу продукции.

На данном этапе все ограничения, отражающие экономический процесс, должны быть непротиворечивыми, т.е. должно существовать хотя бы одно решение задачи, удовлетворяющее всем ограничениям. В качестве ограничений при построении экономико-математической задачи выступает система неравенств.

2. Определение метода решения задачи.

На этом этапе выбирают наиболее рациональный метод математического решения модели (симплекс – метод, динамическое программирование, метод потенциалов, корреляционно- - регрессивный).

3. Аналитический.

На этом этапе методом, определенным на втором этапе, определяется математическая модель, ее числовые значения.

4. Апробация модели.

На этом этапе экономическая модель проходит процесс внедрения на практике, что подтверждает ее достоверность. В результате этого внедрения, если полученные результаты не соответствуют реальным производственным условиям, то определяются причины несоответствия, вносятся соответствующие корректировки.

5.Анализ полученных результатов.

На этом этапе проводится комплексный экономический анализ модели, определяется экономическая эффективность внедрения. При несоответствии полученных результатов реальным производственным условиям проводится экономический анализ причин такого несоответствия. При этом причинами могут быть: недостаточная достоверность информации, несоответствие используемых математических средств особенностям и сущности изучаемого объекта анализа.

Например, рассмотрим проблему принятия инвестором решения о вложении имеющего у него капитала. При этом вводятся следующие ограничения:

1. Суммарный объем капитала, который должен быть вложен, составляет 400000 руб.

2. Доля средств, вложенных в один объект (чтобы избежать высоких рисков потерь в случае разорения этого объекта), не может превышать 1\4 всего объема.

3. Более половины всех средств должны быть вложены в активы долгосрочного характера использования (предположим, на рассматриваемый период времени таковыми являются активы со сроком погашения после 2014г.).

4. Доля активов с низкой надежностью (менее 4 баллов) не может превышать трети от суммарного объема.

Набор характеристик потенциальных объектов для инвестирования, имеющих условные названия от А до Е, представлен в следующей таблице 34:

Таблица 34

Набор характеристик потенциальных объектов для инвестирования

Название объекта инвестирования	Доходность ,%	Срок выкупа, год	Надежность, балл
А	5,5	2011	5
Б	6	2015	4
В	8	2020	2
Г	7,5	2012	3
Д	5,5	2010	5
Е	7	2013	4

Составим экономико-математическую модель по данным таблицы, начиная с процесса определения структуры управляемых переменных.

В качестве таких переменных используются объемы средств, вложенных в активы. Обозначим их Ха, Хб, Хв, Хг, Хд, Хе. При этом суммарная прибыль от размещения активов, которую получит инвестор, может быть рассчитана следующим образом:

П= 0,055Ха + 0,06Хб + 0,08Хв + 0,075 Хг +0,055 Хд + 0,07 Хе (1)

Сформируем систему ограничений:

1. Ха+ Хб+ Хв+ Хг+Хд+Хе ≥ 400000 (2)

2. Ха≤ 100000; Хб≤ 100000; Хв≤100000; Хг≤100000;

Хд≤100000; Хе≤100000. (3)

3. Хб + Хв≥ 200000 (4)

4. Хв + Хг ≤ 150000 (5)

Приведенную систему ограничений следует дополнить условиями неотрицательности для искомых переменных:

5. Ха ≥ 0, Хб≥ 0, Хв ≥ 0, Хг≥ 0, Хд≥ 0 ,Хе≥ 0. (6)

В факторном анализе используют детерминированные (функциональные) и стохастические (корреляционные) модели.

Детерминированные факторные модели позволяют исследовать связь результативного показателя (функции) с факторами (аргументами). Для этого необходимо выполнить условия:

- включаемые в модель факторы и сами модели должны реально существовать и не быть абстрактными величинами и явлениями;

- факторы должны находиться в математической и причинно- следственной связи с исследуемыми показателями;

- показатели факторной модели имеют количественное измерение;

- сумма влияния отдельных факторов должна быть равна общему приросту результативного показателя.

В детерминированном анализе выделяют часто встречающиеся типы факторных моделей, таких как:

1. Аддитивные модели (модели сложения):

Ỳ = ∑ х_i = х₁+ х₂ + х₃+ … + х_n .

Аддитивные модели применяются, когда результативный показатель представляет собой алгебраическую сумму нескольких факторных показателей.

2. Мультипликативные модели (модели умножения):

Ỳ = Пх_i = х₁ × х₂× х₃ × …× х_n .

Мультипликативные модели используются в случае, когда результативный показатель является произведением нескольких факторов. Например, выручку от реализации продукции можно представить как произведение количества реализованных изделий на их цену.

3. Кратные модели (модели деления):

Ỳ = х₁/х₂.

Кратные модели используются в случае, когда результативный показатель представляет собой отношение одного факторного показателя к другому факторному показателю. Например, материалоемкость, фондоотдача.

4. Смешанные (комбинированные) модели представляют собой сочетание в различных комбинациях выше приведенных моделей:

Ỳ = х₁/ (х₂- х₃);

Ỳ = х₁× (х₂/х₃).

Стохастический факторный анализ представляет собой методику исследования факторов, связь которых с результативным показателем в отличие от функциональной является неполной, вероятностной (корреляционной).

Методы решения сложных проблем, когда из-за недостаточности информации нельзя четко очертить границы применения формализованных методов, оценить допустимые ошибки, получили название «эвристических».

Эвристика (нахожу, отыскиваю, открываю) наука о творческом мышлении. Эвристические методы основаны на опыте, интуиции исполнителя. Для того чтобы использовать эвристические методы в экономическом анализе, у экономического субъекта должна быть благоприятной атмосфера для творческой мысли и существовать эффективная система обмена идеями.

При применении эвристических методов достигается творческий поиск решения экономических задач. Рассмотрим наиболее часто используемые методы.

Прием мозгового штурма (мозговой атаки) состоит в том, что небольшая творческая рабочая группа занимается поиском идей для решения четко сформулированной проблемы или задачи, а также разработкой альтернативных вариантов.

Мозговой штурм является не процессом анализа или принятия решения, а процессом генерации идей и их анализом. В процессе мозгового штурма, участники выдвигают и развивают собственные идеи, идеи своих коллег, используют идеи для развития других, комбинируют их.

Запрещается критиковать выдвинутые идеи на первой стадии штурма, так как критические замечания прерывают творческий процесс, мешают выдвижению идей.

Прием синектики состоит в том, что в отличие от приема мозгового штурма творческая группа включают индивидуумов, которые занимались целым рядом различных видов деятельности.

Термин «синектика» имеет греческое происхождение и подразумевает объединение разных и не имеющих отношения друг другу элементов.

Сторонники этого метода полагают, что умственная деятельность человека более продуктивна в новой, незнакомой ему обстановке, поэтому при использовании этого метода способ решения проблемы ищет группа специалистов разных профессий.

Синектические группы создаются для решения проблем, возникающих в любой части организации, так как входящие в них специалисты отличаются нетрадиционным мышлением.

Метод ассоциаций и аналогий заключается в отыскивании и использовании сходства, подобия для ответа на конкретную аналитическую задачу. Сущность данного метода в том, что новые идеи и предложения возникают на основе сопоставления с другими аналогичными объектами. При использовании приема аналогии необходимы такие качества, как наблюдательность, способность к переносу опыта.

Метод коллективного блокнота обеспечивает выдвижение независимых идей каждым участником, который получает блокнот, где в общих чертах излагает существо анализируемого вопроса, приводятся необходимые вспомогательные и справочные материалы. По окончании периода все участники сдают блокнот руководителю творческой группы с целью обобщения идей, выбора наилучших. Затем следует окончательное творческое обсуждение систематизированного материала всеми членами группы.

Метод контрольных вопросов заключается в решении аналитической задачи при помощи тщательно подготовленного заранее списка наводящих вопросов. Вопросы зависят от специфики рассматриваемого объекта, от целей и задач экономического анализа. Трудность состоит в формулировке наводящих вопросов, чтобы они были поняты однозначно.

Метод Дельфи относится к методам групповых экспертных оценок и используется для прогнозирования явлений и событий, для которых отсутствует достаточная теоретическая база.