1. Определение вероятности.

Основным понятием теории вероятностей является понятие случайного события. Случайным событием называется событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти.

Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно происходит. Невозможным называется событие, которое в результате испытания произойти не может. Случайные события называются несовместными в данном испытании, если никакие два из них не могут появиться вместе. Случайные события образуют полную группу, если при каждом испытании может появиться любое из них и не может появиться какое-либо иное событие, несовместное с ними. Рассмотрим полную группу равновозможных несовместных случайных событий. Такие события будем называть исходами. Исход называется благоприятствующим появлению события А, если появление этого события влечет за собой появление события А. Вероятностью события A называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу P(A) = m/n.

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству 0 1.

2. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А или В.

Теорема сложения вероятностей.

Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий: Р (А + В) = Р (А) + Р (В). В случае, когда события А и В совместны, вероятность их суммы выражается формулой Р (А +В) = Р (А) + Р (В) – Р (АВ), где АВ – произведение событий А и В.

Два события называются зависимыми, если вероятность одного из них зависит от наступления или не наступления другого. в случае зависимых событий вводится понятие условной вероятности события. Условной вероятностью Р(А/В) события А называется вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В произошло. Аналогично через Р(В/А) обозначается условная вероятность события В при условии, что событие А наступило.

Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном появлении события А и события В.

Теорема умножения вероятностей

Вероятность произведения двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого при наличии первого:

Р (АВ) = Р(А) · Р(В/А), или Р (АВ) = Р(В) · Р(А/В).

Следствие. Вероятность совместного наступления двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий:

Р (АВ) = Р(А) · Р(В).

Следствие. При производимых n одинаковых независимых испытаниях, в каждом из которых события А появляется с вероятностью р, вероятность появления события А хотя бы один раз равна ⁿ.

3. Формула полной вероятности и формула Байеса.

Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий B₁, B₂,..., B_n, которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события А вычисляется по формуле

P(A) = P(B₁)P(A\B₁) + P(B₂)P(A\B₂) + … + P(B_n)P(A\B_n).

Эта формула называется формулой полной вероятности.

Вновь рассмотрим полную группу несовместных событий B₁, B₂, …, B_n, вероятности появления которых P(B₁), P(B₂), …, P(B_n). Событие А может произойти только вместе с каким-либо из событий B₁, B₂, …, B_n, которые будем называть гипотезами. Тогда по формуле полной вероятности

P(A) = P(B₁)P(A\B₁) + P(B₂)P(A\B₂) + … + P(B_n)P(A\B_n).

Если событие А произошло, то это может изменить вероятности гипотез P(B₁), P(B₂), …, P(B_n).

По теореме умножения вероятностей

P(AB₁) = P(B₁)P(A\B₁) = P(A)P(B\A), откуда P(B₁\A) = .

Аналогично, для остальных гипотез

P(B_i\A) = , i = 1, …, n.

Полученная формула называется формулой Байеса. Вероятности гипотез называются апостериорными вероятностями, тогда как - априорными вероятностями.